8.2.3 Bandstruktur und Impulserhaltung

Wir basteln ein Banddiagramm
Im vorhergehenden Modul haben wir uns klargemacht, wie die E(k)-Kurven eines realen Kristalls prinzipiell aussehen.
Jetzt möchen wir aber wissen, wie sie wirklich aussehen. Dazu fließen einige prinzipielle Erkenntnisse ein, die von den Festkörperphysikern mit harten Rechnungen bzw. mühsamen Messungen erarbeitet wurden.
Was damit gemeint ist, sehen wir sofort, wenn wir einfach unsere "Prinzipkurve" und die reale Kurve eines realen Kristalls einander gegenüberstellen:
Reale Dispersionskurve
Aha: Im Grunde brauchen wir nur zwei, "irgendwie" auch ohne lange Rechnung verständliche Verallgemeinerungen!
1. Die Größe der Aufspaltung, d. h. die Breite der Energielücke, ist kristall- und richtungsspezifisch. Das ist im linken Ast für die Kurve in der 1. BZ angedeutet.
Das heißt z. B., daß die Energielücke in der {100}-Richtung des Si verschieden sein wird von der im Ge oder im GaAs oder ... (immer im reziproken Gitter natürlich).
Es heißt auch, daß die Energielücke in der {100}-Richtung des Si verschieden sein wird von der Energielücke in der {111}-Richtung des Si (oder der {110}-Richtung oder der {hkl}-Richtung). Allerdings sind natürlich Kristallsymmetrien gewahrt, d. h. die geschweiften Klammern sind absichtlich gesetzt.
2. Der genaue Verlauf der E(k)-Kurve kann sich kräftig von der einfachen Parabel des freien Elektronengases unterscheiden. Das ist im rechten Ast für die Kurve in der 2. BZ angedeutet.
Insbesondere muß das Minimum oder Maximum des Energiewertes für irgendeinen Zweig, so wie im rechten Ast gezeigt, nicht unbedingt auf dem Rand einer BZ liegen. Das wird weitreichende Konsequenzen haben!
Unterstellen wir einfach, daß die richtigen Kurven für einen gegebenen Kristall in allen Details bekannt sind, dann haben wir alles, was wir brauchen. Das Problem ist nur: Viele Kurven in all diese Richtungen – es wird äußerst unübersichtlich!
Wir gehen deshalb zu einer stark vereinfachten Darstellung der Energien von Kristallelektronen über: Wir betrachten nur noch, welche Energiewerte erlaubt und welche verboten sind – und das ganz und gar unabhängig von der Richtung im reziproken Raum. Das Ergebnis ist dann ein Banddiagramm.
Wie man vorgeht, ist im nächsten Bild schematisch gezeigt:
Konstruktion der Energiebänder
Wir projizieren einfach alle erlaubten Energiewerte für alle Richtungen auf die Energieachse und unterscheiden nur zwischen "erlaubten" und "nicht erlaubten" Energiebereichen.
Gezeigt ist zwar nur die Projektion von zwei Ästen der Dispersionskurve, die zwei Teilbänder ergeben; wir können die Vorgehensweise aber natürlich "leicht" auf alle Äste ausdehnen. Die dadurch erhaltenen "Bänder" aller möglichen Energiewerte geben dem Diagramm den Namen: Es heißt Banddiagramm.
Die Energielücke ist prominent zu sehen, wir nennen sie ab jetzt auch Bandlücke (bzw. im Laborslang auch "Bandgap").
Es gibt zwar nach wir vor zu jeder beliebigen herausgegriffen Energie (mehrere) bestimmte k-Werte, aber die interessieren uns nicht mehr im Detail; wir merken uns lediglich die Tatsache an sich, daß es sie gibt.
Da wir das Banddiagramm als stark vereinfachte Darstellung der Gesamtheit der E(k)-Kurven betrachten, steht an der x-Achse keine Achsenbezeichnung, da sie keinerlei Information mehr enthält. (Das in der Zeichnung oben angegebene "alle k" ist rein symbolisch zu verstehen!)
Wir können sogar einen Schritt weitergehen und z. B. auch "x" oder "z" oder <110> an die Abszisse schreiben, d. h. eine Darstellung der erlaubten Energien im Ortsraum wählen – das Banddiagramm sieht weiterhin genauso aus. (Davon werden wir später bei der Beschreibung einer Diode oder anderer Bauelemente viel Gebrauch machen!)
Wir können es leicht wieder etwas komplizierter (aber damit auch aussagekräftiger) machen und die Abszisse für die Zustandsdichte D(E) nutzen. Auf die Details gehen wir hier nicht weiter ein, sondern nehmen einfach nur (ohne weitere Erläuterung; die gibt's im nächsten Unterkapitel) schon mal das Ergebnis an einem konkreten Beispiel (Germanium) zur Kenntnis:
Zustandsdichte Ge
Aufpassen: Wir haben es bei der Zustandsdichte D(E) zwar mit einer Funktion "D von E" zu tun, in der hiesigen Darstellung sind aber die Achsen absichtlich vertauscht – die Funktionswerte D sind auf der Abszisse, die Werte der Variablen E, von der sie abhängen, auf der Ordinate zu finden.
Auf diese Art der Darstellung von Funktionen, die von der Energe abhängen, werden wir im Zusammenhang mit dem Banddiagramm übrigens noch öfters stoßen; wir tun gut daran, uns an die zugehörige Denkweise zu gewöhnen, denn wir werden sie später selber verwenden – in einer sehr wichtigen Übungsaufgabe.
In Form der Zustandsdichte "überlebt" immerhin ein Teil der Eigenschaften der E(k)-Kurven die Vereinfachung der Bandstruktur zum Banddiagramm. Aber auch die Details der Zustandsdichte interessieren uns nur selten; wir merken uns lediglich die Tatsache an sich, daß es sie gibt.
Ein Detail der Zustandsdichte ist allerdings sehr wichtig: In der Bandlücke des idealen Kristalls ist die Zustandsdichte per definitionem = 0.
Das läßt sich aber durch gezielte Abweichungen von der Idealität gezielt ändern, wie wir später noch sehen werden!
 
Energieerhaltung beim Band-Band-Übergang
Wir betrachten jetzt nur noch Halbleiter. Sie unterscheiden sich von Isolatoren zunächst nur durch die Möglichkeit, daß die bei Raumtemperatur verfügbare thermische Energie (kBT)RT » 1/40 eV ausreicht, um einigen wenigen Elektronen den Sprung vom (vollen) Valenzband ins (leere) Leitungsband zu ermöglichen.
Der Übergang von Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband sowie der umgekehrte Prozeß, der Übergang von Elektronen im Leitungsband zu freien Plätzen im Valenzband, sogenannte Band-Band-Übergänge, sind also unmittelbar verantwortlich für die elektrische Leitfähigkeit der Halbleiter. Wir müssen sie etwas näher betrachten.
Jeder solcher Übergang bedeutet einen Wechsel von einem Zustand mit einem Wellenvektor k1 zu einem neuen Zustand mit einem Wellenvektor k2. Dabei ändern sich Energie und Impuls des Elektrons.
Da aber der Energie- und der Impulserhaltungssatz auch in der Quantentheorie gelten, müssen wir uns mit den damit verbunden Konsequenzen beschäftigen.
Wir betrachten zunächst den Energieerhaltungssatz. Der Klarheit halber nehmen wir Photonen, also Licht, mit der eindeutig definierten Energie EPhoton = h · n, um Elektronen aus dem Valenz- ins Leitungsband zu lupfen.
Das Photon trifft ein Elektron irgend"wo" im Valenzband unseres Halbleiters. Das "wo" bezieht sich dabei sowohl auf den Ort im Ortsraum als auch im k-Raum. In der folgenden Zeichnung hat das "getroffene" Elektron den Zustand k; damit ist alles über den Zustand "vorher" gesagt:
Band-Band-Übergänge
Für den Zustand "danach" gibt es nun zwei Möglichkeiten:
1.) Die Energie des Photons reicht aus, um das Elektron mindestens bis zur Unterkante des nächsthöheren Bandes zu heben.
2.) Die Energie des Photons reicht dafür nicht aus.
Eine weitere Möglichkeit gibt es nicht, da das untere Band das Valenzband und also komplett gefüllt ist; freie Plätze stehen nur im oberen Band (dem Leitungsband) zur Verfügung.
Zur ersten Möglichkeit: Falls die Photonenenergie groß genug ist, um das Elektron mindestens bis zur Unterkante des nächsthöheren Bandes zu heben, wird das mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auch passieren.
Im obigen E(k)-Diagramm gibt es aber bei der Energie hn über dem Start-Zustand k gar keinen Zustand; wir müssen das Elektron also in den energetisch passenden Zustand in der 2. BZ "transferieren" (roter Pfeil nach rechts). Dadurch hat das Elektron dann einen anderen (größeren) Wellenvektor.
Das Elektron "sitzt" also nun im Zustand k'1 im sonst leeren Leitungsband. Da es nun für unser Elektron jede Menge freie Plätze bei kleineren Energien gibt, wird es nicht lange auf seinem ersten Platz bleiben, sondern sich von Platz zu Platz "nach unten" sinken lassen, bis es das Energieminimum des Leitungsbandes bei k'2 erreicht hat; angedeutet durch die kleinen roten Pfeile nach unten.
Die Überschußenergie geht dabei portionsweise ins Gitter, d. h. der Kristall wird ein bißchen wärmer. In der Zeichnung ist das formal-abstrakt so dargestellt, daß das hinunterhüpfende Elektron Phononen emittiert. (Phononen sind die Teilchen, die quantisierten Gitterschwingungen entsprechen – analog zu den Photonen als Lichtteilchen.)
Dieser Prozeß heißt Thermalisierung. Er erfolgt sehr schnell – in 10–13 bis 10–11 Sekunden ist alles vorbei.
Zur zweiten Möglichkeit: Falls die Photonenenergie nicht groß genug ist, um das Elektron mindestens bis zur Unterkante des nächsthöheren Bandes zu heben, passiert nichts! Und das ist eine sehr wichtige Aussage!
Denn das bedeutet, daß es für hn < EG keine Absorption des Photons geben kann. Für Photonen mit kleinerer Energie als die der Bandlücke ist der (perfekte) Kristall komplett durchsichtig!
Es sind also auch fundamentale optische Eigenschaften im Banddiagramm enthalten!
Die Darstellung im Banddiagramm rechts ist natürlich wieder viel einfacher, weil wir uns nicht um die k-Werte kümmern. Dafür können wir hier eine andere wichtige Sache einfacher wiedergeben als im E(k)-Diagramm: Das ins Leitungsband transferierte Elektron hinterläßt einen unbesetzten Platz im Valenzband, ein "Loch"; es ist als kleines blaues Quadrat eingezeichnet.
Das Loch ist der einzige freie Platz, auf den das Elektron aus dem Leitungsband zurück ins Valenzband springen könnte. Weil aber auf diesen freien Platz sehr leicht auch die anderen Elektronen im Valenzband springen können, die energetisch höher sitzen als das Loch, rückt das Loch ziemlich fix an die Oberkante des Valenzbandes.
Das geschieht sehr schnell – denn auch hier geht es um Thermalisierung. Weiter unten (und in den folgenden Abschnitten) mehr zu den Löchern, jetzt wir müssen uns erst noch um folgendes Thema kümmern:
 
Impulserhaltung beim Band-Band-Übergang
Wir müssen nun den Impuls des Systems vorher und nachher betrachten. Das ist erheblich schwieriger als die Betrachtung der Energie, da der quantenmechanische Impuls von Photon, Kristall und Elektron nicht so unmittelbar klar ist wie die Energie.
Wir müssen hier etwas an der Oberfläche bleiben und werden einige "Dinge" einfach postulieren. Trotzdem läßt sich eine wichtige Beziehung leicht verständlich machen:
In der Quantenmechanik ist der Impuls immer gegeben durch
Impuls   =  p  =  · k
Das gilt für Elektronen, Photonen und Phononen. Da die Wellenlängen von (Licht-)Photonen immer sehr viel gößer sind als die der Elektronen und Phononen (l von Photonen liegt im Bereich von 1 µm, bei Elektronen und den hier wichtigen Phononen eher im nm-Bereich), ist ihr Wellenvektor entsprechend viel kleiner. Damit können wir den Impuls der Photonen in 1. Näherung schlicht komplett vernachlässigen.
Zum Merken:
Photonen haben Energie, aber kaum Impuls.
Phononen haben Impuls, aber kaum Energie.
Elektronen haben Impuls und Energie.
Es geht damit nur noch um den Impuls des Elektrons "vorher" (im Valenzband; Wellenvektor k) und "nachher" (im Leitungsband; Wellenvektor k').
Für den Unterschied schreiben wir Dp, die Differenz des Impulses nachher minus dem vorher. Wir haben:
Dp  =   · (k'  –  k)
Diese Differenz ist auf jeden Fall nicht null, und das ist ein Problem, denn der Impulserhaltungssatz sagt, daß diese Impulsdifferenz exakt ausgeglichen werden muß – und das bedeutet, daß der Impulserhaltungssatz für das Elektron ohne dritten Partner (der sich um diese Impulsdifferenz kümmert) nicht zu erfüllen ist.
Das Besondere an dieser Situation ist zudem, daß im perfekten Kristall auch der Impulserhaltungssatz von der Perfektheit des Kristalls beeinflußt ist; ohne weitere Herleitung nehmen wir zur Kenntnis, daß der Impulserhaltungssatz im Kristall lautet:
k'  –  k  =  G

G  =  reziproker Gittervektor
Das sollte uns nun sehr bekannt vorkommen. Es ist die gute alte Bragg-Bedingung – mit einer Verallgemeinerung: |k| = |k'| braucht nicht mehr erfüllt zu sein! Wir lassen jetzt auch inelastische Streuung zu. Das ist nun wirklich einfach, hat aber einschneidende Konsequenzen!
 
Reduziertes Banddiagramm
Wenn wir die Darstellung des Band-Band-Übergangs im E(k)-Diagramm oben wieder betrachten, bedeutet Impulserhaltung nun, daß der nach rechts weisende rote Pfeil entweder die Länge null oder die Länge eines reziproken Gittervektors haben muß.
Das hat er aber sicher nicht, denn in der Zeichnung wäre der kürzestmögliche reziproke Gittervektor so lang wie beide Brillouinzonen zusammen – man erinnere sich, daß die Ränder der Brillouinzonen in etwa bei der Hälfte der reziproken Gittervektoren liegen!
Die Konsequenz ist einfach: Der oben gezeichnete Band-Band-Übergang kann gar nicht stattfinden, denn er verletzt den Kristallimpulserhaltungssatz!
Um Energie- und Kristallimpulserhaltung gleichzeitig zu erfüllen, müßten wir also im E(k)- Diagramm solange mit zwei vorgegeben Strecken (den beiden roten Pfeilen) an der Dispersionskurve rauf- und runterfahren, bis wir zwei k-Werte finden, bei denen alles paßt. Das tun wir aber nicht, sondern wir lassen uns etwas einfallen, das die Arbeit sehr stark erleichtert.
Die E(k)-Diagramme lassen sich sehr viel platzsparender zeichnen, wenn man eine kleine Vereinbarung bezüglich eines zeichentechnischen "Tricks" trifft: Wir malen alle Zweige der E(k)-Kurven der diversen Brillouin-Zonen in die 1. Brillouin-Zone. Man weiß ja, zu welcher BZ irgendein Ast gehört – man muß nur von unten kommend abzählen.
Praktisch geht das ganz einfach: Wir verschieben jeden Ast solange um reziproke Gittervektoren nach innen, bis er in die 1. BZ fällt. Das sieht so aus:
Reduziertes Banddiagramm
Diese "Sparversion" der E(k)-Kurven heißt reduzierte Darstellung oder reduziertes Banddiagramm. (Es ist die allgemein übliche Form des Banddiagramms, daher läßt man das "reduziert" in der Praxis wieder weg.)
Damit sparen wir nicht nur eine Menge Platz, sondern die von Impuls- und Energieerhaltungssatz aus erlaubten Übergänge liegen jetzt einfach senkrecht übereinander.
 
Absorption im reduzierten Banddiagramm
Das ist leicht einzusehen: Jeder Übergang, der energetisch paßt, erfüllt automatisch den Kristallimpulserhaltungssatz, denn die diversen Äste der E(k)-Kurve unterscheiden sich ja genau durch einen reziproken Gittervektor.
Die Absorption eines Photons sieht jetzt also so aus wie links dargestellt. Die Länge des Pfeils mit der Energie hn muß nur noch an die passende Stelle zwischen den zwei Ästen gezeichnet werden.
Wir wollen diese Vereinbarung, für Band-Band-Übergänge das reduzierte Bandschema zu verwenden, zukünftig automatisch einhalten. (Dies ist im übrigen auch durch die harte Theorie zu rechtfertigen, die unter der Bezeichnung "Bloch-Theorem" bekannt ist.)
Band-Band-Übergänge zeichnen wir zukünftig auch im einfachen Banddiagramm nur noch senkrecht nach oben – und nach unten. Denn alles, was wir bisher gelernt haben, gilt selbstverständlich nicht nur für die Schaffung eines Elektron-Loch-Paares durch den Übergang eines Elektrons vom Valenz- ins Leitungsband, sondern auch für die Rekombination, die Wiedervereinigung von Elektron und Loch.
Versuchen wir, das im obigen Bild einzutragen, bekommen wir ein Problem: Nach der Thermalisierung von Elektron und Loch sitzen sie im gezeichneten Beispiel nicht mehr senkrecht übereinander! Ein Übergang nach unten und damit Rekombination ist ohne Verletzung des Kristallimpulserhaltungssatzes nicht möglich!
  Das ist eine ziemlich aufregende Erkenntnis – mit weitreichenden Konsequenzen, wie wir gleich sehen werden.
 
Direkte und indirekte Halbleiter
Der entscheidende Punkt ist, daß es in einem reduzierten Banddiagramm ganz generell genau zwei Möglichkeiten für die Bandkanten gibt, durch welche die fundamentale Bandlücke definiert wird:
1.) Das Maximum des Valenzbandes sitzt im k-Raum genau unter dem Minimum des Leitungsbandes.
2.) Das Maximum des Valenzbandes und das Minimum des Leitungsbandes liegen bei verschiedenen k-Werten.
Wir schauen uns mal an, wie das (schematisch) in realen Materialien aussieht:
Direkte und indirekte Bandstrukturen
In der oberen Reihe sind Minima und Maxima übereinander; wir nennen Materialien mit dieser Eigenschaft direkte Halbleiter. Das freie Elektronengas als Referenz gehört formal auch dazu.
Die untere Reihe zeigt indirekte Halbleiter (wir zählen Diamant mal dazu, obwohl das eigentlich ein Isolator ist). Man beachte, daß auch Germanium ein indirekter Halbleiter ist, denn Maximum und Minimum liegen eben nicht beim selbem k-Wert und lassen sich auch nicht durch Addition oder Subtraktion von reziproken Gittervektoren untereinander bringen.
Wie kommt man darauf? Kann man denn einem Halbleiter "ansehen", ob er eine direkte oder indirekte Bandlücke hat?
Im Prinzip ja: Man muß nur schauen, wie sich die Lichtabsorption als Funktion der Frequenz bzw. Wellenlänge (d. h. der Farbe des Lichtes) verhält. Setzt sie bei einer bestimmtem Frequenz bzw. Wellenlänge schlagartig und kräftig ein, handelt es sich um einen direkten Halbleiter. Denn sobald hn = EG, wird Absorption möglich.
In einem indirekten Halbleiter kann bei hn = EG nicht kräftig absorbiert werden, denn es gibt bei dieser Energie ja keine unmittelbare Impulserhaltung. Erst bei höheren Photonenenergien, die hn = Edirekt entsprechen, dem direkten Übergang mit der kleinsten Energie, wird die Absorption kräftig einsetzen. Im Bereich zwischen EG und Edirekt wird zwar auch absorbiert (über einen "Umweg"), aber nur schwach.
Dieser Unterschied wirkt sich auf den Absorptionskoeffizienten a aus; a ist definiert über die exponentielle Abschwächung von Licht beim Durchdringen des Materials: Je größer a, desto geringer die Eindringtiefe des Lichtes.
Hier ein paar Beispiele für Messungen (vor allem mit infrarotem Licht) der Wellenlängenabhängigkeit von a bei einigen Materialien; man beachte die Form der jeweiligen "Absorptionskante":
Lichtabsorption
Si und Ge sind die einzigen indirekten Halbleiter in diesem Diagramm, man sieht den weichen Einsatz der Absorption sehr deutlich.
Damit soll's erst mal genug sein; wir werden später auf dieses Thema zurückkommen.
Zu diesem Abschnitt gibt es derzeit weder eine Übungsaufgabe noch schnelle Fragen.


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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)