8.2.4 Merkpunkte zu Kapitel 8.2: Elektronenwellen und Bandstruktur

Von einer Beugung am Kristallgitter sind auch die Elektronen betroffen, die sich im Kristallgitter befinden – weil sie quantenmechanisch durch (modifizierte) ebene Wellen beschrieben werden.  
sinQB = n · l
2 · dhkl
n  =  1, 2, 3, ...

|Ghkl| = 2p
dhkl
Für den Beugungswinkel QB gilt die Bragg-Bedingung Þ  
Wenn die Bragg-Bedingung nicht erfüllt wird, läuft die Welle unverändert durch den Kristall.  
Daher verhalten sich Kristallelektronen, die von einer nicht gebeugten Welle beschrieben werden, wie freie Elektronen.  
In Vektorschreibweise lautet die Bragg-Bedingung:  
kk'  = Ghkl   und   | k |  = | k' |
 
Dabei ist Ghkl ein Vektor des reziproken Gitters.  
 
Das reziproke Gitter läßt sich in eineindeutiger Weise aus den Raumgitter konstruieren:
Geometrische Konstruktion des reziproken Gitters
Raumgitter Reziprokes Gitter
Das reziproke Gitter ist Teil des reziproken Raumes.
 
Die Vektorschreibweise der Bragg-Bedingung zeigt, daß auch die Wellenvektoren k im reziproken Raum liegen.  
Brillouin Konstruktion der Beugung
Alle Wellenvektoren kBr, die die Bragg-Bedingung erfüllen, liegen auf der Mittelhalbierenden eines reziproken Gittervektors Þ  
Im dreidimensionalen Fall haben wir Flächen als Mittelhalbierende.  
Diese Flächen schneiden sich und bilden ein System von ineinandergeschachtelten Polyedern, genannt Brillouin-Zonen.  
Das kleinstmögliche dieser Polyeder ist die erste Brillouin-Zone, abgekürzt 1. BZ.  
   
Die elektronischen Wellenfunktionen mit einem solchen Wellenvektor kBr sind stehende Wellen.  
Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf Brillouinzone
Aufgrund der zugehörigen Aufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich für die betreffenden Elektronen ein Zusatzbeitrag der potentiellen Energie.  
Dabei gibt es zwei Möglichkeiten, je nach Lage der Maxima der Aufenthaltswahrscheinlichkeit zwischen den Atomen (blaue Kurve; Bereiche hohen Potentials) oder nahe bei den Atomen (rote Kurve; Bereiche niedrigen Potentials) Þ  
Die Energie für Wellenvektoren auf den Rändern der BZ nimmt daher zwei Werte an; wir haben eine Energieaufspaltung.  
     
Die Energie als Funktion des Wellenvektors ist an all den Stellen, an denen die Wellenvektoren auf den Rändern (und in der Nähe) einer BZ liegen, durch die Aufspaltung modifiziert gegenüber dem parabelförmigen Verlauf beim freien Elektronengas.  
Energieaufspaltung an BZ
Für verschiedene Richtungen im reziproken Gitter geschieht das an verschiedenen Stellen.  
Die orangefarbene Parabel im Bild rechts ist die Energie der quasi-freien Elektronen, denn für diese gilt E(k) ~ k2.  
An den Schnittpunkten der E(k)-Kurve mit den Rändern der BZ haben wir zwei Energiewerte.  
Bei realen Materialien kann sich genaue Verlauf der E(k)-Kurve erheblich von der einfachen Parabel des freien Elektronengases unterscheiden (und insbesondere weit mehr sein als eine bloße Aufspaltung).  
     
Wegen der Kompliziertheit der vollständigen Bandstruktur geht man zu einer stark vereinfachten Darstellung der Energien von Kristallelektronen über: Es wird nur noch betrachtet, welche Energiewerte erlaubt und welche verboten sind – und das ganz und gar unabhängig von der Richtung im reziproken Raum. Das Ergebnis ist dann ein Banddiagramm:
Konstruktion der Energiebänder
Das Banddiagramm ist eine stark vereinfachte Darstellung der Gesamtheit der E(k)-Kurven, daher steht an der x-Achse keine Achsenbezeichnung – sie enthält keinerlei Information mehr. (Das in der Zeichnung oben angegebene "alle k" ist rein symbolisch zu verstehen!)  
Zustandsdichte Ge
An der Abszisse kann auch "x" oder "z" oder <110> stehen, dann ist es eine Darstellung der erlaubten Energien im Ortsraum – das Banddiagramm sieht weiterhin genauso aus. (Davon werden wir später bei der Beschreibung einer Diode oder anderer Bauelemente viel Gebrauch machen!)  
Aussagekräftiger ist es, auf der Abszisse die Zustandsdichte D(E) aufzutragen. Hier ist es an einem konkreten Beispiel (Germanium) gezeigt Þ  
In der Bandlücke des idealen Kristalls ist die Zustandsdichte per definitionem =0. (Das läßt sich aber durch wohldosierte Abweichungen von der Idealität gezielt ändern, wie wir später noch sehen werden!)  
 
Für den Übergang von Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband (sowie für den umgekehrten Prozeß, der Übergang von Elektronen im Leitungsband zu freien Plätzen im Valenzband), sogenannte Band-Band-Übergänge, gelten der Energie- und der Impulserhaltungssatz.  
Die Bandstruktur der Elektronen
in einem Kristall, d. h. die Zustands-
dichte D(E), bestimmt die
elektronischen Eigenschaften!
In anderen Bereichen gibt es entweder keine Elektronen (z. B. hohe Energie) oder sie haben keine freien Plätze in der Nachbarschaft (kleine Energiedifferenz), auf die sich "ändern" könnten.  
Damit folgt eine weitreichende Aussage über die Relevanz der Zustandsdichte Þ  
         

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)