Übung 2.3-1

Lösung der Schrödingergleichung für einen Kristall in der Approximation des "freien Elektronengases"

Das in die Schrödingergleichung einzusetzende Potential haben wir schon mal gezeichnet:
Einfaches Potentialtopfmodell für Kristall
Wir könnten das mal in einer ersten Näherung als eine Sinusfunktion ausdrücken (oder gleich als Fourierreihe), in die Schrödingergleichung einsetzen und mal sehen, wie weit wir mit dem jetzt rein mathematischen Problem kommen.
Nicht weit. Also machen wir eine radikale Vereinfachung: Wir ersetzen das reale periodische Potential durch ein mittleres konstantes Potential U = 0 eV, d. h. wir legen auch den Energienullpunkt auf dieses Potenial. Außerdem schauen wir zunächst nur die x-Richtung an, d. h. wir behandeln das Problem erst mal eindimensional
 
Gegeben ist damit eine auch im 2. Semester lösbare eindimensionale Schrödingergleichung mit dem Potential:
–    2
2me
 ·  d2y(x)
dx2
 + U(x) y(x)  =  E y(x)

U(x)  =  {  U0 = const. = 0 eV
¥
    für 0 £ x £ Lx
    sonst
Wir haben damit sozusagen einen eindimensionalen "Modellkristall" der Länge Lx postuliert.
Nun zur Aufgabe.
1. Zeige, dass die allgemeine eindimensionale Lösung (unter Benutzung der Normierungsbedingung) die folgende Form hat:
y(r)  =  æ
ç
è
1
Lx
ö
÷
ø
1/2 · exp (i kx x)
Immer vorausgesetzt, daß gilt:
E  =  2 kx2
2me 
2. Zeige, daß wir damit auch die dreidimensionale Lösung für einen Kristall der Ausdehnung Lx = Ly = Lz = L haben (unter Benutzung der dreidimensionalen Normierungsbedingung), in der Form
y(r)  =  æ
ç
è
1
L
ö
÷
ø
3/2 · exp (i k · r)
Mit Wellenvektor k = (kx, ky, kz) und Ortsvektor r.
3. Zeige, daß die unten angeführten Gleichungen für den Wellenvektor k sich aus den periodischen Randbedingungen y(r + L) = y(r) ergibt.
(Wer Lust hat, darf auch gern alternativ für feste Randbedingungen der Form y(0) = y(L) = 0 ausprobieren.)
kx = ±   nx · 2p
L
  ky = ±   ny · 2p
L
  kz = ±   nz · 2p
L
Dabei sind die nx,y,z offenbar die Quantenzahlen mit denen die ¥ vielen Lösung durchnumeriert werden können; ihr Wertebereich ist 0, ±1, ±2, ...
4. Jetzt zu den schwierigen Fragen:
Was bedeutet diese Lösung für Elektronen im "Kristall" anschaulich?
Wo befindet sich das Elektron eigentlich?
Wo sind die Energeniveaus in diesem rechteckigen Potentialtopf? Die ersten 10 oder so kann man ausrechnen und einzeichnen. Wie groß ist dabei der Entartungsgrad, d. h. wieviel Elektronen haben auf einem Niveau Platz?
Was passiert, falls wir mehr als ein Elektron betrachten?
Die Aufgabe mag schwierig erscheinen; das darin codierte "freie Elektronengasmodell" ist aber das grundlegende Paradigma der gesamten Halbleiterei! Es wird uns nicht erspart bleiben!
 
Lösung


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gehe zu 8.3.3 Zustandsdichte, Fermiverteilung, effektive Zustandsdichte und Boltzmann-Naeherung

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