2.3.4 Merkpunkte zu Kapitel 2.3: Essenz der Quantentheorie

Für alle Rechnungen sieht das Schema so aus:
  • "Input" ist das Potential U(r).
  • "Output" ist die komplexe Wellenfunktion y(r) plus die zugehörige Gesamtenergie E.
  • Die Verknüpfung von Input und Output leistet die Schrödingergleichung, rechts in Kurzform notiert (mit dem Skalarprodukt · = Summe der zweiten partiellen Ableitungen nach allen drei Ortskoordinaten).
  • Das Betragsquadrat y · y* · dV gibt die Wahrscheinlichkeit an, das behandelte Teilchen im Volumenelement dV zu finden.
 
–  2
2m
· y +   (U – E)y   =  0
 
Im allgemeinen gibt es viele (meist ¥ viele) Lösungen, die mit Quantenzahlen n, m, ... durchnumeriert werden.  
Potentialtopfmodell eines Atoms
Die Ionisierungsenergie I ist im Bild enthalten!
Eine der Lösungen = ein möglicher Zustand des Systems.  
Zu jedem Zustand yn, m, ... gehört eine Energie En, m, ...  
Verschiedene Zustäden können dieselbe Energie haben. Die Energie ist dann bezüglich der zustandsbeschreibenden Quantenzahlen entartet.  
Was man erhält, z. B. für ein Atom, kann wieder in einem Potentialtopfmodell visualisiert werden Þ  
Gezeigt sind zwei Wellenfunktionen = 2 Zustände mit zugehörigen E-Werten und weitere Energieniveaus ohne Wellenfunktionsbild.  
Welche Lösungen realisiert werden (= welche Zustände mit Elektronen besetzt werden), entscheidet
  • die Natur der betrachteten Teilchen sowie
  • die "Temperatur" oder die Einbettung in die "Umwelt" (in der Regel das Prinzip der Minimierung der Energie).
 
 
Alle Teilchen haben auch Welleneigenschaften und können interferieren, im Extremfall mit sich selber (Doppelschlitzexperiment).  
p   =   k
l   =   2p
|k|
Entscheidende Größen sind die Wellenlänge l, der Wellenvektor k und der Impuls p.  
Sie sind durch die de Broglie-Beziehung gekoppelt.  
   
Es gibt zwei fundamentale Teilchensorten:
  • Bosonen; mit ganzzahligem Spin (s = 0, ±1, ±2, ...); z. B. Photonen: s = ±1
  • Fermionen; mit halbzahligem Spin (s = ±½, ±3/2, ...); z. B. Elektronen, Protonen, Neutronen: s = ±½
 
Elektronen in einem
System können nie
denselben Zustand einnehmen
Für Fermionen (und nur für Fermionen) gilt das unglaublich wichtige Pauli-Prinzip Þ  
     
Wichtig ist, was passiert, wenn man aus einzelnen Potentialtöpfen für Elektronen einen Kristall macht – durch Überlappung der Einzeltöpfe.  
Bändermodell
Das Pauli-Prinzip erzwingt die Aufspaltung von überlappenden Einzelniveaus in Bänder (bei gleichzeitiger Energieabsenkung; sonst tritt keine Bindung auf).  
Wie diese Bänder genau aussehen, d.h. wieviele Plätze (= Zustände) sie Elektronen bei der Energie E bieten, entscheidet über die wesentlichen elektronischen Eigenschaften des Materials (Leiter, Halbleiter, Isolator, ...).  
       
Aufgaben:    
Diese beiden Aufgaben sind sehr lehrreich. Þ
Man sollte sie zumindest nachvollziehen!
 
Übungsaufgabe
Aufgabe 2.3-1
Übungsaufgabe
Aufgabe 2.3-2
   
Fragebogen
Einfache Fragen zu 2.3
 
   
Hier noch ein "Multiple Choice"-Test, der zwar etwas über den Stoff hinausgeht, aber man kann es ja mal probieren!  
   
Fragebogen
"Multiple Choice"-Fragen zu 2.3
 
     

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)