Lösung zur Übung 2.3-1

Lösung der Schrödingergleichung für einen Kristall in der Approximation des "freien Elektronengases"

1. Zeige, dass die allgemeine eindimensionale Lösung (unter Benutzung der Normierungsbedingung) die folgende Form hat:
Wir starten mit zweimaliger Differentiation der zu verifizierenden Lösung in einer Dimension. Wir erhalten
y(x)  =  æ
ç
è
1
L
ö
÷
ø
1/2 · exp (i · k · x)  

dy
dx
 =  æ
ç
è
1
L
ö
÷
ø
1/2 · i · k · exp (i · k · x)  

d2y
dx2
 =  æ
ç
è
1
L
ö
÷
ø
1/2 · (– 1) · k2 · exp (i · k · x)
Eingesetzt in die Schrödingergleichung und mit (1/L)1/2 = L* (um Schreibarbeit zu sparen), ergibt sich im Gebiet mit U = 0 eV
2
2me
 ·  L* · k2 · exp(i · k · x)  =  E · L* · exp(i · k · x)
Unser Lösungsansatz ist also dann, und nur dann eine Lösung, falls folgende Bedingung erfüllt ist:
E  =  2 · k2
2me
Das ist die postulierte Gleichung für die Gesamtenergie; der erste Teil der Aufgabe ist damit erledigt.
Die Normierungsbedingung schenken wir uns hier; sie kommt gleich noch dreidimensional.
2. Zeige, daß wir damit auch die dreidimensionale Lösung für einen Kristall der Ausdehnung Lx = Ly = Lz = L haben (unter Benutzung der dreidimensionalen Normierungsbedingung), in der Form
Die dreidimensionale Schrödingergleichung kann wegen des gegebenen Potentials durch einen Produktansatz der Form y(r) = y1(x) · y2(y) · y3(z) gelöst werden.
Was für die x-Richtung galt, gilt auch für die y- und z-Richtung, also für die Komponenten eines Ortsvektors r = (x, y, z) und eines Vektors k = (kx, ky, kz), der notwendigerweise die Dimension [1/cm] hat und den wir Wellenvektor nennen.
Wir haben also
y(r)  =  L** · exp (i · k · r)
Der Vorfaktor L** muss jetzt aus der dreidimensionalen Normierungsbedingng bestimmt werden:
L
ó
õ
0
L
ó
õ
0
L
ó
õ
0
(L**)2 · exp(i · k · x) · exp(– i · k · x) · dxdydz  !=  1  =  (L**)2 · L
ó
õ
0
L
ó
õ
0
L
ó
õ
0
dxdydz
Das Integral ist natürlich schlicht = L3; wir erhalten
L3 · (L**)2  =  1      L**  =  æ
ç
è
1
L
ö
÷
ø
3/2      q.e.d.
Wir sehen auch, wo die lästigen Potenzen 3/2 etc. herkommen, die fast jede Formel der Quantentheorie verunstalten:
Die 2 kommt von der immer erforderlichen Quadrierung der Vorfaktoren bei der Betragsquadratbildung der Wellenfunktion, und die 3 oder was immer von den Dimensionen des betrachteten Problems.
Lästig, unschön, zu Fehlern verführend - aber eigentlich trivial.
 
3. Zeige, daß die unten angeführten Gleichungen für den Wellenvektor k sich aus der (periodischen) Randbedingung y(r + L) = y(r) ergibt.
Für den dritten Teil müssen wir die Randbedingungen in die Lösung einsetzen, d.h.
L* · exp(i · kx · x)  =  L* · exp[i · kx · (x + L)]
   
 =  L* · exp(i · kx · x)  · exp(i · kx · L)
Die Gleichungen für ky und kz sind natürlich entsprechend. Diese Gleichungen können nur befriedigt werden, falls gilt
L* · exp(i · kx, y, z · L)  =  1
   
kx, y, z  =  nx, y, z ·   2p
L
 
       
nx, y, z  =  0, ±1, ±2, ±3, ....
Die Quantenzahlen, die unsere Lösungsmannigfaltigkeit sortieren, kommen also aus den Randbedingungen!
 
4. Jetzt zu den schwierigen Fragen:
Was bedeutet diese Lösung für Elektronen im "Kristall" anschaulich?
Ein Ausdruck der Form A  = A0 · expi(kr) beschreibt grundsätzlich eine ebene Welle, die in k-Richtung mit der Wellenlänge l= 2p/|k|. Damit die Welle "läuft", multipliziert man noch mit dem Phasenfaktor exp(iwt). Unbedingt nachlesen!
Was "wellt" ist y, die dimensionslose Wellenfunktion. Was das bedeutet erschließt sich erst, wenn man aus der Wellenfuntion meßbare Parameter ableitet.
Die möglichen Richtungen im Kristall, in denen es "wellen" darf, sind durch die gequantelten Werte für k vorgegeben.
Wo befindet sich das Elektron eigentlich?
Das ist einfach: Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte W ist
W = y(r) · y*(r)  =  æ
ç
è
1
L
ö
÷
ø
3 · exp (i · k · r) · exp –(i · k · r)  =   æ
ç
è
1
L
ö
÷
ø
3
Die Wahrscheinlickeit, das Elektron irgendwo im Kristall zu finden ist überall gleich groß! Es "gehört" damit dem ganzen Kristall und hat sich "gleichmäßig verteilt".
Wo sind die Energieniveaus in diesem rechteckigen Potentialtopf? Die ersten 10 oder so kann man ja leicht ausrechnen und einzeichnen.
Das macht jetzt Arbeit. Am besten wir machen eine Tabelle und schauen mal, was wir für größer werdende Quantenzahlen nx, y, z so bekommen:
Quantenzustand Energie
(× Konstante )
Zustände Zahl der e
pro E
nx ny nz
0 0 0 0
1 2
±1
0
0
0
±1
0
0
0
±1

1
2
2
2

6

12
±1
±1
0
±1
0
±1
0
±1
±1

2
4
4
4

12

24
±1 ±1 ±1 3   8 16
±2
0
0
0
±2
0
0
0
±2

4
2
2
2

6

12
Weiter ohne Details
2 1 0 5     48
2 1 1 6     ?
2 2 0 8     ?
2 2 1
9
   
?
3 0 0    
und so wie weiter?
Damit können wir die Energieniveaus und die Maximalzahl an Elektronen pro Niveau (= Entartungsgrad) für kleine Quantenzahlen mal einzeichnen:
Energieniveaus im Kastenpotential
Schon merkwürdig. Ein einfach erkennbares Bildungsgesetz gibt es nicht - es fehlt z. B. das Energieniveau bei "7"; vom Entartungsgrad mal ganz zu schweigen. Daran werden wir noch arbeiten müssen!
Was passiert, falls wir mehr als ein Elektron betrachten?
Immer dieselbe Leier. Wir betrachten immer nur das "letzte", alle anderen schlagen wir gemittelt dem Grundpotential zu. Damit bleibt die Struktur der Lösung erhalten, während Zahlenwerte sich vielleicht ändern.
Wir haben weiterhin diskrete Niveaus mit irgendeinem Entartungsgrad, und diese Niveaus füllen wir "von unten her kommend" mit Elektronen auf, bis das letzte untergerbracht ist.

Falls es jemand nicht gemerkt haben sollte: Wir haben hier erstmalig in primitiver Form die bereits postulierten Energiebänder für die bindenden Elektronen im Kristall ausgerechnet!
 

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)