| Die absolute Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl zu
würfeln |
 | Wir betrachten die
Wahrscheinlichkeit WN(x), mit N Würfeln, die alle binär sind, d. h. nur Zahl oder Wappen, rot oder grün, oder wie wir es hier
verwenden, die Zahl +1 oder –1 als Augenzahl haben können. Nach einem Wurf addieren wir
(vorzeichenrichtig) und bekommen als Ergebnis eine Zahl x die zwischen –N und +N liegen
muss. Die Definition dieser Wahrscheinlichkeit ist |
| |
| WN(x) | = | Zahl der
Möglichkeiten x zu würfeln
Zahl aller
Möglichkeiten in einem Wurf | = | Px
PN |
|
|
| Wie groß ist Px
und PN? |
|  | PN, die Anzahl aller Möglichkeiten des Ausgangs
des Würfelns, ist leicht zu konstruieren:
Mit N = 1 gibt es 2 Möglichkeiten (+1 und
–1); PN = 2
Mit N = 2 gibt es 4 Möglichkeiten (+1/+1 und
+1/–1 und –1/+1 und –1/+1); PN = 4
Mit N = 3 gibt
es 8 Möglichkeiten (+1/+1/+1 und +1/+1/-1 und ....); PN = 8. |
| | Eine Tabelle der Möglichkeiten zeigt dies
graphisch; die gelben Spalten in den einzelnen Tabellen zeigen die möglich Ergebnisse x |
| |
| N = Zahl der Würfel | Mögliche
Würfe
und Summe (gelb) | PN = Zahl der
möglichen Würfe | | 1 |
| 2 | | 2 |
| +1/+1 | +2 | -1/+1 | 0 | | +1/-1 | 0 | -1/-1 | -2 |
| 4 | | 3 |
| +1/+1/+1 | +3 | -1/+1/+1 |
+1 | | +1/+1/-1 | +1 | -1/+1/-1 | -1 | | +1/-1/+1 | +1 | -1/-1/+1 | -1 | | +1/-1/-1 | -1 | -1/-1/-1 | -3 |
| 8 | | 4 |
| +1/+1/+1/+1 | +4 | -1/+1/+1/+1 | +2 | | +1/+1/+1/-1 | +2 | -1/+1/+1/-1 | 0 | | ... | ... | ... | ... | | +1/-1/-1/+1 | 0 | -1/-1/-1/+1 | -2 | | +1/-1/-1/-1 | -2 | -1/-1/-1/-1 | -4 |
| 16 |
|
| | Das
Bildungsgesetz ist klar: |
| |
|
| | Dabei haben wir aber
unausgesprochen eine sehr wichtige Annahme gemacht: .
|
| |
Die Würfel sind
unterscheidbar!
|
|
| | In den obigen Tabellen ist die
erste Zahl immer der 1. Würfel, die 2. Zahl immer der 2. Würfel usw., d.h. die Würfel tragen fiktive Nummern
oder Farben als Unterscheidungsmerkmal. In anderen Worten: wir können für ein-und-dasselbe Ergebnis
unterscheiden auf wie viel verschiedene Arten wir es bekommen können.
Falls wir "Würfel" mit
mehr als 2 "Augen" betrachten, bekommen wir, leicht einzusehen, für den allgemeinen Fall eines
Würfels mit A Augen die nachfolgende Formel. Wer's nicht leicht einsieht betätigt diesen Link. |
|
|
|
| Es bleibt, Px (= Zahl
der Möglichkeiten x zu würfeln) zu bestimmen. Auch das läßt sich durch nachdenken und
probieren ermitteln; allerdings müssen wir mehr Aufwand treiben und sehr
sorgfältig überlegen, was genau ermittelt werden soll. |
| | Betrachten wir dazu ein Beispiel. Wir haben 10
unterscheidbare digitale Würfel (N =
10), und fragen nach der Zahl der Möglichkeiten, für die Summe x eine +2,
eine +3 oder eine –8 zu würfeln. |
| | Wie auch immer die Würfel fallen, es
werden N+ Würfel die +1 zeigen und N– Würfel die
–1. Für unser Beispiel gelten die Gleichungen |
| |
| | Summe x = +2 |
Summe x = +3 | Summe x = –8 | | | N+ +
N– = 10
N+ – N– = 2
oder
2 +
N– + N– = 10
N– = 4
N+ =
6 | N+ +
N– = 10
N+ – N– = 3
oder
3 +
N– + N– = 10
N– = 7/3
????
| N+ + N– = 10
N+ – N– =
–8
oder
N– – 8 + N– = 10
N– =
9
N+ = 1 |
|
|
| | |
| Erste wichtige
Erkenntnis: Es gibt keine Möglichkeit, eine 3 oder
verallgemeinert, eine ungerade ganze Zahl zu würfeln, da die allgemeien
Gleichung N– = (10 – x)/2 für ungerade x keine ganzzahligen Werte für
N hergibt. |
| | Man kann das auch
anders ausdrücken, indem man die gesamte Augenzahl x über die Zahl der
N+ oder N– Würfe koppelt, es gilt |
| |
| x | = N+ – (N – N+) = |
2N+ – N |
|
|
| | Dabei sind aber immer nur
ganzzahlige Werte für die N und x zugelassen! |
| Wir können
Px damit auch über PN+, die Zahl der Möglichkeiten N+
mal eine +1 zu würfeln, berechnen. Das ist einfacher. Px würden wir dann erhalten,
indem wir in der abzuleitenden Formel N+ durch 1/2 · (x + N) ersetzen. |
| Dabei
haben wir aber ein mögliches Problem - hier liegt ein erster großer Fallstrick der Kombinatorik. Denn bei
geradzahliger Würfelanzahl N können wir nur geradzahlige Augenzahlen x erzielen,
und bei ungeradzahliger Würfelanzahl N werden wir ungerade x haben. |
| | Da wir aber eine Formel suchen, die
für alle N gilt, wir aber für jedes gegebene N immer nur
die Hälfte der insgesamt vorhandenen Möglichkeiten sehen, müssen wir
bei der Berechnung von Px später etwas vorsichtig sein. |
| | Aber nun zu Px oder
PN+. Natürlich ist die Formel dazu
bekannt, wir wollen sie hier aber ausführlich ableiten.
Um Bildungsgesetze in der Kombinatorik zu
erkennen oder zu überprüfen, empfiehlt es sich zunächst immer, eine Tabelle zu machen. Bleiben wir also
bei N = 10 Würfeln und betrachten die erzielbaren Ergebnisse für die 10 Möglichkeiten
für N+. Dabei bedenken wir, daß die Würfel unterscheidbar sind. Man kann das so ausdrücken: |
| | Würfeln wir mit 10 roten,
grünen, blauen, .... Würfel, sind auch die Kombinationen
-1, +1, +1, ....
+1, -1, +1. ....
usw. alle
unterscheidbar - obwohl das Ergebnis immer +9 ist. |
| | Hier versteckt sich schon die nächst wichtige
Lehre: Wir müssen nicht nur aufpassen, ob die Würfel unterscheidbar oder
ununterscheidbar sind, sondern diese Frage auch auf Kombinationen anwenden. Selbst
wenn die obigen Würfel alle rot und damit ununterscheibar wären, könnten wir dennoch evtl. die Kombiuationen noch unterscheiden. Wir werden das gleich näher kennenlernen. |
| Jetzt noch schnell ein weiterer Punkt.
Falls wir mit einem Würfel 10 mal würfeln, statt mit 10
Würfeln 1 mal, erwarten wir - statistisch - dasselbe Ergebnis. Das ist die "Zeitmittel = Scharmittel" Hypothese, die uns schon früher
begegnet ist. Das scheint zwar selbstverständlich zu sein, aber bei genauem Hinsehen kann es hier durchaus
Probleme geben. |
| | Falls wir mit
einem Würfel 3 mal hintereinander würfeln würden, drückt
sich die jetzt sinnlose Unterscheidbarkeit des Würfels in der Unterscheidbarkeit des
Wegs zum Ziel aus: Die Sequenz +1, +1, -1 ist ein anderer Weg zum Endpunkt +2 als die
Sequenz –1, +1, +1. |
| Hier ist die entsprechende
Tabelle |
| | |
| N+ | N– | S | Zahl
Möglichkeiten | Kommentar | Formel
PN+ = | | 0 | 10 | -10 | 1
| Würfelnummer | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 |
|
| ? | | 1 | 9 | -8 | 10
| Würfelnummer | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | | -1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | | 10 Zeilen...... | | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | +1 |
| Nicht nur die Würfel, auch alle ihre Anordnungen sind unterscheidbar.
Dies bedeutet: Wenn
man einen bestimmten Würfel auf +1 setzt und dann die Möglichkeiten für die anderen Würfel
"durchdekliniert", wird keine der auftretenden Kombinationen identisch sein mit den Kombinationen, die man
erhält wenn man diese "Deklinationsübungen" mit einem anderen auf +1 gesetzten Würfel
durchführt. | N (?) | | 2 |
8 | -6 | 45
Wir bräuchten jetzt eine dreidimensionale Tabelle - ersatzweise machen wir mehrere Tabellen
1. Tabelle: 1. Würfel
immer +1
| Würfelnummer | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| +1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | | 9 Zeilen...... | | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | +1 |
2. Tabelle: 2. Würfel immer +1
| Würfelnummer | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| +1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | | 9 Zeilen...... | | -1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | +1 |
3. Tabelle: 3. Würfel +1; 9 Möglichkeiten für den Rest.
.....
Und so weiter - Insgesamt 10 Tabellen | Es gibt 9 Möglichkeiten falls der 1.
Würfel +1 zeigt.
Es gibt 9 Möglichkeiten falls der 2 Würfel +1 zeigt.
usw.; das Ganze N mal.
Aber: Es gibt trotz unterscheidbarer Würfel jetzt ununterscheidbare Anordnungen:
Ob der m-te Würfel auf +1 gesetzt ist
und der k-te Würfel bei der "Durchdeklination" +1 zeigt ist ununterscheidbar von der Anordnung, in der der k-te Würfel auf +1 gesetzt
ist und der m-te Würfel beim "Durchdeklinieren" +1 zeigt.
Bei allen Kombinationen gibt
es zwei dieser ununterscheidbaren Annordnungen.
In den beiden ausgeführten Tabellen sind sie rosa markiert! Nur die Hälfte aller Möglichkeiten darf also berücksichtigt werden - wir müssen
durch 2 dividieren. Insgesamt erhalten wir (9 · 10)/2 = 45 Möglichkeiten eine
8 zu würfeln. | (N · (N - 1))/2 (?) |
| 3 | 7 | -4 | 120
Siehe
nebenstehenden Text | Wir setzen einen 1. Würfel auf +1:
Dann haben wir (N - 1) Möglichkeiten für einen weiteren Würfel mit +1 und (N - 2)
Möglichkeiten für den letzten Würfel, der +1 zeigen muß.
Insgesamt gibt es N(N -
1)(N - 2) Möglichkeiten der "Durchdeklination"
Darunter sind aber jeweils 6 ununterscheidbare Anordnungen. Dies wird klar, wenn wir beispielsweise die Anordnungsmatrix
betrachten, bei der die Würfel Nr.1, Nr.4 und Nr.8 die +1 zeigen. Alle diese Anordnungen sind ununterscheidbar!
Die Farbcodierung bedeutet:
rot =
primär "gesetzt"
blau = sekundär gesetzt
grün = verbeibende Möglichkeit
| + | - | - | + | - |
- | - | + | - | - | | + | - | - | + | - | - |
- | + | - | - | | + | - | - | + | - | - |
- | + | - | - | | + | - | - | + | - | - |
- | + | - | - | | + | - | - | + | - | - |
- | + | - | - | | + | - | - | + | - | - |
- | + | - | - |
| (N(N - 1)(N - 2))/1· 2 · 3 (?) | | Allgemein | | x | 10 - x | -10
...
+10 | ... | (Zahl der möglichen
"Deklinationen")/(Zahl der ununterscheidbaren Anordnungen) Das Bildungsgesetz ist offenbar
| PN+ = | N · (N – 1) · (N - 2) · ... · (N –
N+ + 1)
1 · 2 · 3 · ... · N+ |
|
|
| |
|
| Das ist dieselbe Formel wie bei der Zahl der Anordnungen von Leerstellen. Bevor wir die obige Formel
weiterentwickeln, aber noch einige Anmerkungen zu den Fallstricken der
Kombinatorik. |
| | Man muß sorgfältig
trennen zwischen unterscheidbaren oder ununterscheidbaren Würfeln (oder Teilchen) und Anordnungen. Die Würfel in obiger
Tabelle sind unterscheidbar (durch ihre Nummer bzw. Spalte in der Tabelle), einige
ihrer Anordnungen in der obigen Systematik aber nicht. Man müßte ein zweites Merkmal
einführen (in der Tabelle ist das die Farbe für die Nummer der "Setzung"), um auch alle
Anordnungen unterscheiden zu können. |
| | Die
unterscheidbaren Anordnungen sind oft leichter zu sehen, wenn man nicht mit N Würfeln gleichzeitig wirft,
sondern mit einem Würfel N mal - das Ergebnis wird dasselbe sein, aber man wird identische Anordnungen nicht doppelt zählen. Dies ist am
einfachsten in einer Graphik darstellbar. |
| Die Sprache ist manchmal zu begrenzt, um die Feinheiten eindeutig darzustellen oder gibt Anlaß zu
Mißverständnissen. Betrachten wir einen Satz aus obiger Tabelle: |
| | Wir setzen
einen 1. Würfel auf +1: Dann haben wir (N - 1) Möglichkeiten
für einen weiteren Würfel mit +1 und (N - 2) Möglichkeiten für den letzten
Würfel, der +1 zeigen muß. |
| | Man hätte auch schreiben können:
Wir setzen die 1.
Münze auf +1: Dann haben wir (N - 1) Möglichkeiten für die
2. Münze mit +1 und (N - 2) Möglichkeiten für die
3. Münze die +1 zeigen muß. |
| | Oder vielleicht:
Wir setzen den 1. Würfel auf +1: Dann haben wir (N - 1) Möglichkeiten für den
2. Würfel mit +1 und (N - 2) Möglichkeiten für den
3. Würfel, der +1 zeigen muß. |
| | Das wäre nicht falsch gewesen, aber möglicherweise mißdeutig. Denn mit den Bezeichnungen
1., 2. und 3. Würfel meinen wir in diesem Zusammenhang nicht die Würfel mit den Nummern 1, 2 und 3 (das Unterscheidungsmerkmal der Würfel),
sondern die Reihenfolge, in der wir die Werte "setzen". |
| Das größte Problem ist vielleicht, daß normale Menschen kein Gefühl
für das ungefähre Ergebnis einer kombinatorischen Aufgabe haben. Wieviele fünfstellige Zahlen kann man
mit den Ziffern 0, 3, 5, 9 bilden? Wenn die 0 nicht am Anfang stehen darf? Wenn keine Ziffer mehr als
2 mal vorkommen darf? Wenn jede Ziffer mindesten 1 mal vorkommen muß? |
| | Wenige Menschen werden bei dieser simplen Aufgabe ein
Gefühle für die Größenordnung der Antwort und die Reihenfolge der Lösungen geordnet nach
Größe haben - es hilft nichts, man muß rechnen. |
| Jetzt aber zu unserer Formel für
PN+. Wie bei der Berechnung der Leerstellenkonzentration, erweitern wir erst mit (N - x)! um
eine besserer Darstellung zu bekommen. Die Ausgangsformel ist |
| |
| P+ | = | N(N –
1)(N – 2) · .. · (N – N+ + 1)
1 · 2 · 3 · ...
· N+ | = | N(N – 1)(N – 2)
· ... · (N – N+ + 1)
N+! |
|
|
| | Multiplizieren mit (N -
N+)!/(N - N+)! ergibt N! im Zähler und N+! · (N -
N+)! im Nenner, wir erhalten |
| |
| PN+ | = | N!
N+! · (N –
N+)! | = | æ
è | N
N+ | ö
ø |
|
|
| Diese Formel hat einen eigenen Namen:
Es ist der Binominalkoeffizient von N und
N+; geschrieben in Klammern ohne Bruchstrich wie oben gezeigt. |
| | Der Binominalkoeffizient ist die Lösung einer
Standardaufgabe der Kombinatorik, die in verschiedenster
Gestalt immer wieder vorkommt: Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus N Elementen
N+ auszuwählen, wobei wir zwar die Elemente, nicht aber die Anordnungen
unterscheiden. |
| In unserer ursprünglichen
Fragestellung wollten wir aber nicht N+ ausrechnen, d.h. die Zahl der Möglichkeiten, daß
N+ von N Würfeln +1 zeigen (oder nach N mal würfeln mit einem
Würfel N+ mal die +1 kam) , sondern P(x), die Zahl der Möglichkeiten die Zahl
x zu würfeln. Wie weiter oben schon festgehalten, müssen wir dazu
N+ durch 1/2 · (x + N) substitutionieren. Wir erhalten dann für
Px |
| |
| | |
| |
| Px | = | N!
{1/2 · (x + N)}! · {N –
[1/2 · (x + N)]}! | | | | | |
= | N!
{1/2 · (N + x)}! · {1/2 · (N – x)}! |
|
|
| Damit können wir
unsere ursprüngliche Fragestellung beantworten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit WN(x),
mit N Würfeln, die alle digital sind, d. h. nur +1 oder -1 als Augenzahl haben, mit einem
Wurf eine Summe x zwischen -N und +N zu würfeln. Die Definition dieser Wahrscheinlichkeit
war |
| | WN(x) = (Zahl der
Möglichkeiten x zu würfeln)/(Zahl aller Möglichkeiten in einem Wurf) =
Px/PN. Somit ergibt sich mit den jetzt bekannten Formeln für Px und
PN = 2N |
| |
| WN(x) = |
N!
2N · {1/2 · (N + x)}! · {1/2 · (N - x)}! |
|
|
| Diese Formel ist noch
exakt richtig. |
| | Sie gibt
jedoch nur sinnvolle Antworten, falls N und x beide geradzahlig, oder beide ungeradzahlig sind. |
| | Das ist leicht zu sehen: Setzen wir z.B. N = 8 und x = 3, bekommen wir im Nenner die
Ausdrücke 5,5! und 2,5! - und das gibt es nicht (zumindest nicht in der Kombinatorik).
|
|
In anderen Worten: Unsere obige Formel deckt nur die Hälfte aller Möglichkeiten ab, die wir im allgemeinen Fall haben werden. Bei
der jetzt erfolgenden Verallgemeinerung müssen wie deshalb schreiben: |
| |
| WN(x) = 0,5 · |
N!
2N · {1/2 · (N + x)}! · {1/2
· (N - x)}! |
|
|
| | | |
| | Die genäherte Wahrscheinlichkeitsdichte |
| Da man mit Fakultäten nicht allzuviel anfangen kann, wird jetzt mit Hilfe der Stirlingsche Formel mathematisch
genähert. Aus Gründen, die wir später noch genauer diskutieren, verwenden wir hier aber die
"bessere" Version der Stirlingschen Formel, nämlich den Ausdruck |
| | Stirlingsche Formel: |
| |
| ln N! » (N + 1/2) · ln N – N + ln (2p)1/2 |
|
|
| Es bleibt noch die reine Rechenaufgabe,
aus WN(x) mit Hilfe der obigen Stirlingschen Formel und evtl. weiteren sinnvoller Näherungen
eine passende analytische Gleichung zu machen. Da der Umgang mit der Stirlingschen
Formel geübt sein will, wollen wir das in einer Übungsaufgabe tun. |
| | Dabei gibt es noch einige weitere Überraschungen
mathematischer Art; es lohnt sich unbedingt hier zu üben oder zumindest die Lösung der Aufgabe anzuschauen. |
|
|
|
|
| Übung 6-5 | | Umgang mit Fakultäten und der Stirlingformel |
|
| |
| Die obige Formel oder Gauss Verteilung
gibt jetzt auch sinnvolle Antworten auf Fragen, die unsere Ausgangsformel
verweigert hätte. Wir erhalten jetzt auch Zahlenwerte falls wir x ungeradzahlig wählen und N geradzahlig (und
umgekehrt). Besteht hier ein Zusammenhang? |
|
Ja! Denn wir suchen ja eine Formel, die für alle N gilt, bisher erhalten wir aber für jedes gegebene N immer nur die
die Hälfte der insgesamt vorhandenen Möglichkeiten aus der Menge der
N. In anderen Worten: Wenn ich nicht weiß, ob N geradzahlig
oder ungeradzahlig ist, wird eine Wahrscheinlichkeit z.B eine geradzahlige Zahl x zu würfeln nur halb so
hoch sein wie für geradzahlige N errechnet, denn die Wahrscheinlichkeit für ein geradzahliges N ist
natürlich ½. |
| Die
Gaussverteilung (wie auch unsere analytische Formel) ist keine abolute
Wahrscheinlichkeit mehr, sondern eine Wahrscheinlichkeitsdichte (das wird gleich im Detail erläutert). |
| | Sie gibt uns auch
einen Zahlenwert für die Wahrscheinlichkeitsdichte, die Zahl 6,5 oder
auch die Zahl p zu würfeln. Sowas gibt es nicht, und damit kann es auch keine
absolute Wahrscheinlichkeit dafür geben.
Zu absoluten Wahrscheinlichkeiten für die Fälle, die es gegen kann, kommt man, indem
man den (Mittel)wert der Gaussverteilung in dem Intervall zwischen den wirklich erreichbaren Werten mit dem Wert des
Intervalls multipliziert - und in unserem Fall wäre dieses Intervall = 2, da wir ja immer nur von geraden
zu geraden oder ungeraden zu ungeraden Zahlen "materialisieren" dürfen. |
| In der Ableitung der
Gauss-Verteilung im "Atkins", an der sich dieser
Modul ausrichtet, sind im übrigen ebenfalls Fehler zu verzeichnen; das Endergebnis aber ist richtig. |
| Nach viel Mühen erhalten wir also
tatsächlich als Ergebnis die berühmte Gaußverteilung, die Normalverteilung oder die Gaußsche
Glockenkurve, benannt nach dem berühmten Mathematiker Gauß, eine der wichtigsten Funktionen der Statistik. |
| |
| | | Einige Eigenschaften und
Besonderheiten |
| Mit der Herleitung der Gaußschen
Glockenkurve für ein Münzwerfspiel haben wir unsere eigentliche Aufgabe
noch nicht gelöst. Wir wollten wissen, wie weit im Mittel bei einem "Random Walk" ein Teilchen sich nach N Sprüngen von seinem Ausgangspunkt
entfernt hat. |
| | Mit der zugehörigen
Gaußverteilung kennen wir erstmal die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen bei
eindimensionaler Diffusion nach N Schritten x Einheiten vom Ursprung
entfernt zu finden. |
| | Dazu verschieben wir einfach
unser Teilchen um eine Einheit nach rechts (+x) oder links (–x) je nachdem ob wir +1 oder
-1 würfeln. Oder, falls wir mit N Würfeln auf einmal würfeln, verschieben wir es eben um
den Wert x der sich ergibt. |
| Wir müssen nun, um zum Ziel zu
kommen, erstmal die entsprechenden Wahrscheinlickeiten für die dreidimensionale Diffusion betrachten und daraus dann die entsprechenden Schlüsse
ziehen. |
| | Das kann man auf verschiedene Weisen tun.
Ein Weg ist sicherlich, die obige Betrachtung auf die normalen Würfel mit
6 Augen auszudehnen, mit einer Konvention für die Zuordnung der Augenzahlen zu den Bewegungen, z.B. 1 =
+x, 2 = –x, 3 = +y, usw.. |
| | Man kann aber auch 3 Sätze von digitalen Würfeln (=
Münzen) nehmen, z.B. 1-, 2- und 5 DM Münzen (so man sie nach Einführung des Euro
noch hat), und eine Münzsorte für die Bewegung in einer Koordinatenachse verwenden. Wiederum ist es egal, ob wir N (unterscheidbare;
z.B. numerierte) Münzen jeder Münzsorte gleichzeitig werfen oder sequentiell, d.h. erst fürdie
x-Achse, dann für die y-Achse, schließlich für die z-Achse (in dieser
Vorgehensweise genügte auch schon eine Münzsorte, wir müssen aber immer wissen für welche Achse
wir werfen). |
| | Die Vorgehensweise ist
deswegen egal, weil die Bewegungen in den drei Achsen vollständig
unabhängig voneinander sind. Was auf der y- Achse geschieht wird in keinster Weise davon
beeinflußt, was auf den beiden anderen Achsen vor sich geht. |
| Das
hat eine wichtige Konsequenz, die uns die Rechnung sehr erleichtert: Die Einzelwahrscheinlichkeiten für die
einzelnen Koordinaten sind alle identisch, unabhängig voneinander und
gehorchen der bereits abgeleiteten Formel. Die Gesamtwahrscheinlichkeit wN(x,y,z), das Teilchen bei
den Koordinaten (x,y,z) zu finden, ist damit das Produkt der
Einzelwahrscheinlichkeiten: |
| | wN(x,y,z) = wN(x) · wN(y) · wN(z) |
|
Wenn man die Gauss-Verteilung einsetzt (mir Koordinaten oder
Ortsvektor r) erhält man |
| | |
| wN(x,y,z) = | æ
è | 1
2pN | ö
ø | 3/2 | · exp – | æ
è | x2 + y2 + z2
2N | ö
ø | | | | | | | |
| | | | = | æ
è
| 1
2pN | ö
ø | 3/2 | · exp – | æ
è | r2
2N | ö
ø |
|
|
| Das war recht einfach und schmerzlos.
Das Ergebnis zeigt Kugelsymmetrie, wie es auch sein muß, d. h. die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo bei
(x,y,z) zu finden, hängt nur vom Abstand |r| = r = (x2 + y2+
z2)1/2 des Teilchens vom Ursprung ab. Grundsätzlich aber ist r ein Vektor;
das muß immer berücksichtigt werden (auch wenn wir jetzt den Unterstrich wieder weglassen). |
| Haben wir damit unsere Aufgabe
gelöst? Wir haben jetzt schließlich eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen bei jeder
beliebigen Koordinate r = (x,y,z) zu finden.
Aber die Antwort ist trotzdem: Nein!
Unserer Formel ist mit zwei Besonderheiten
behaftet, die wir berücksichtigen müssen! |
| | 1. Die
Gaußschen Glockenkurve ist zunächst eine Näherungsformel. Wir haben
zwei Näherungen gemacht: eine mathematische (Stirlingsche Formel)) und eine physikalische (x/N <<1). Über die damit verbundenen Konsequenzen sind wir uns halbwegs klar: Die
Gaußsche Glockenkurve ist aber für große N schon gut genug, und hier liegt nicht das
Problem. |
| | 2. Die Gaußsche Glockenkurve hat aber eine
ganz andere Qualität, als die Ausgangsformel
mit den Fakultäten! Sie ist nicht mehr diskret wie die Ausgangsformel, sondern
eine Kontinuumsformel, d.h. sie ist auch für nicht-ganzzahlige x
definiert. |
| | Damit haben wir eine
subtile Änderung der Bedeutung des Begriffs Wahrscheinlichkeit
durchgeführt. Wir haben einen Übergang von einer absoluten
Wahrscheinlichkeit zu einer Wahrscheinlichkeitsdichte
gemacht. |
| Was das bedeutet, kann man sich auf
mehrere Arten verdeutlichen: |
| | In unserem Beispiel (und in
jedem beliebigen anderen Beispiel), ist die absolute Wahrscheinlichkeit W
(zur Unterscheidung jetzt groß geschrieben) nur für diskrete Werte von
(X,Y,Z) definiert. Um diese Werte aus der kontinuierlichen Formel zu erhalten, müssen wir den Raum in
Zellen einteilen mit Zellabstand = Abstand zwischen den diskreten Werten und die Wahrscheinlichkeitsdichte in der
gewünschten Zelle aufintegrieren. Wir erhalten W(X,Y,Z) =  w(x,y,z)dV wobei die Integration über die Zelle führt. Ist die Zelle so klein, daß in
ihr w(x,y,z) » const. gilt, erhalten wir direkt W(X,Y,Z)
» w(x,y,z) ·V |
| | Daß man w(x,y,z) nicht mit W(X,Y,Z) verwechseln darf, ergibt sich auch rein logisch
aus der Definition einer absoluten Wahrscheinlichkeit. Denn jedes beliebige Volumen enthält ¥ viele Punkte (x,y,z), so daß die absolute Wahrscheinlickeit, eine endliche Zahl von Teilchen oder Vorgängen bei
irgendeinem von ¥ vielen Punkten zu finden immer W(x,y,z) = 0 sein
muß. w(x,y,z) ist aber nicht = 0 für beliebige Koordinaten; es kann also nicht eine absolute Wahrscheinlichkeit ausdrücken. |
| | Wir hatten exakt die gleich Situation bereits bei der Interpretation der Wellenfunktion y(x,y,z) kennengelernt. Auch dort war nur y(x,y,z) ·
dV, und nicht y(x,y,z) selbst ein Maß für die absolute Wahrscheinlichkeit. |
| Das bringt uns
auf eine Übungsaufgabe: Da die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo zu finden = 1 sein muß, gilt
für Wahrscheinlichkeitsdichten immer die Normierungsbedingung |
|
|
+¥
ó
õ
–¥ | w(x,y,z)dxdydz = 1 |
|
|
| | Da wir bei der Herleitung der Glockenkurve keine freien
Parameter haben, sollte diese Bedingung eigentlich erfüllt sein (allerdings möglicherweise nur
ungefähr, da wir bei der Herleitung der Gaußverteilung genähert haben?) Das läßt sich
überprüfen - auf zur Normierung Gaußverteilung, aber bitte mal selbst machen. |
| Mit der Gaußverteilung als Wahrscheinlichkeit(sdichte), das Teilchen in einem gegebenen
Volumenelement zu finden, kann man nun eine Vielzahl von Fragen stellen und lösen, jeweils noch getrent nach ein-
zwei- und dreidimensionalem "Random Walk". Wir stellen uns einigen der möglichen Fragen und
illustrieren was gemeint ist für den zweidimensionalen Fall |
|
|
| 1. Was ist der Mittelwert aller möglichen Vektoren r
vom Startpunkt bis zum Endpunkt nach N Sprüngen? |
| | Die Antwort darauf ist trivial: Da für jeden beliebigen Vektor r, der einen Endpunkt
charakterisiert, mit gleicher Wahrscheinlichkeit auch der Vektor –r vorkommen wird, gilt für
den Mittelwert von r - wir schreiben <r> - immer
<r> =
0. |
| |
 |  | | Mögliche Endpunkte eines zweidimensionalen "random walks" nach einer Zahl von N Schritten. | Verteilung der Endpunkte der Vektoren r in der x-y-Ebene. |
|
| | Diese Frage ist also bei einem echten "random
walk" nicht spannend - das Ergebnis ist immer <r> = 0. Man kann das Ganze aber auch
"rückwärts" betrachten: Falls wir <r> ¹ 0
finden - zum Beispiel als experimenteller Befund - haben wir keinen "random
walk". |
| 2. Eine viel bessere Frage ist die nach dem
Mittelwert der Beträge von r. |
| | Das läßt sich am einfachsten machen, indem wir r quadrieren und
für den Betrag |r| = r = (r2)½ schreiben. Das bedeutet, wir fragen
jetzt primär nach dem Mittelwert von (r2)½. |
| | Dazu müssen wir die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Wertes
|r| kennen, oder - wir behandeln den zweidimensionalen Fall - die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß r zwischen |r| und |r| + D|r|
liegt. |
|
Wir fragen - und das ist sehr wichtig - jetzt nur noch
nach der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer bestimmten Länge von r , eben
|r|, und nicht mehr danach in welchem (cartesischen) Flächenelement DF(x,y) = DxDy der Vektor
r endet. |
| | |
| |  | | Das Flächenelement Dx·Dy muß
jetzt (im zweidimensionalen) durch die Fläche des Rings der Breite Dr im Abstand r ersetzt werden,
d.h. das Flächenelement heißt jetzt
DF(r) = 2p·r · Dr (= Umfang der Kreises mit Radius r mal
"Höhe" - gut genug für differentiell kleine Dr). Dies ist unten
graphisch dargestellt (wobei wir D = "d") um anzudeuten daß wir immer
differentiell kleine Änderungen meinen). |
| | |
| | Dreidimensional fragen wir nur noch nach der Wahrscheinlichkeit, daß r
irgenwo in der Kugelschale zwischen |r| und |r| + D|r| endet. Das cartesisiche
Volumenelement DV(x,y,z) = DxDyDz wird zu DV(r) = 4p·r2 · Dr. |
| | Für die
Wahrscheinlichkeit, r irgendwo zwischen r und r + Dr zu finden gilt
entsprechend der obigen Ableitung für den zweidimensionalen Fall |
| |
| wN(r)·pr ·Dr =
WN(r) = | æ
è | 1
2pN |
ö
ø | 1 | · exp – |
æ
è | x2 +
y2
2N | ö
ø |
·2pr ·Dr = | r ·Dr
2N | · exp
– | r2
2N |
|
|
| | | |
| | Wir haben ein Produkt einer ansteigenden Geraden mit
einer abfallenden Exponentialfunktion | 
|
| Das sieht
ungefähr so aus ®
|
| Wiederum ist die Verteilungskurve nur für positve
Werte von r definiert, und wenn alles stimmt, muß das Integral über die Kurve = 1 sein |
| | | |
| Damit haben wir jezt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Autreten gewisser
Abstände r vom Ursprung - für den ein- und zweidimensionalen Fall
siehe den Link. |
| | Die Formel zur Berechnung des Mittelwerts von r2 bei gegebener Verteilung w(r) lautet in der
bekannten Integralformel für Mittelwerte: |
| | | |
| | |
| <r2> = | r2w(r)dr
w(r)dr | = | +¥
ó
õ
–¥ |
r2w(r)dr |
|
|
| | | |
| | Dabei ist mitgenommen, dass der Wert des Nenners per
Definition = 1 sein muß. Die Integrationen laufen selbstverständlich alle von –¥ bis +¥ |
| Diese
Größe hat zentrale Bedeutung und deshalb einen eigenen Namen, sie heißt "Mittleres Verschiebungsquadrat". |
| | Damit ist die Frage nach den Mittelwerten im Prinzip gelöst; die
entsprechenden Formeln finden sich in einer gesonderten Tabelle. |
| 3. Wir können aber auch fragen: In welchem Abstand
|r|wahr (wieder nur Betrag bei r; wir lassen die Betragsstriche aber zukünftig
weg!) ist die Wahrscheinlicheit, das Teilchen zu finden am höchsten? Wir
fragen nach dem wahrscheinlichsten Abstand. |
| | Das ist die Frage nach dem Maximum der Funktion
w(r). Die obige Figur zeigt, daß ein Maximum vorhanden ist; die Frage ist also sinvoll. |
| | Daß wahrscheinlichste Werte und Mittelwerte ganz verschieden sein können, sieht man sofort ein, wenn man sich fragt,
was das wahrscheinlichste und das mittlere
Gehalt einer Gruppe von 100 Personen ist, in der 95 Personen € 2.000.- pro Monat verdienen, und 5 Personen €
20.000.000.- pro Monat bekommen. |
| | Eine Antwort findet sich ein einem eigenen Modul und in der großen
Tabelle. |
| 4. Wir können weiterhin fragen, bei
welchem r die Wahrscheinlichkeitsverteilung eine bestimmte Breite hat, oder
andersherum, wie groß die Halbwertsbreite, d.h. die Breite (ausgedrückt
in r) in halber Höhe ist? Oder ganz allgemein, wie die Breite der verteilung von den Parametern (hier
N) abhängt. |
| Alle diese Fragen sind sinnvoll und haben wichtige
Bedeutungen. Sie sind in weiteren Modulen behandelt. Der wahrscheinlichste Abstand
beim dreidimensionalen "Random Walk" ist ausführlich dargestellt, die Gesamtheit der Fragen und
Antworten tabellarisch. |
| |
| |
| Die letzte Frage ist jetzt:
Wie hängen der Diffusionskoeffizient und die oben betrachteten
Größen <r2> oder rwahr zusammen? Ein Zusammenhang muß existieren, da wir letztlich mit dem "Random Walk" und den
Diffusionsgleichungen der Fickschen Gesetze sehr ähnliche Abläufe beschreiben. |
| | Um diesen Zusammenhang zu erhalten müssen wir uns nur klar machen, daß wir mit der
Herleitung der obigen Formeln für den "Random Walk" ein sehr allgemeines Diffusionsproblem gelöst
haben. Wir haben betrachtet, wie sich eine Konzentration an Teilchen, die zum Zeitpunkt t = 0 alle bei (x,y,z) = 0 zu finden waren, im Laufe der Zeit im gesamten Volumen
einstellt, d.h. wir haben eigentlich das 2 Ficksche Gesetz für die Randbedingung einer Anfangsverteilung in Form
einer d-Funktion gelöst ohne es zu kennen oder
vorauszusetzen. Mit den in der tabellarische Darstellung gegebenen
Funktionen kennen wir jetzt die Konzentrationsverteilung für alle
Dimensionen. |
| | Wir müssen jetzt nur noch das 2 Ficksche Gesetz für
diese Bedingungen formal lösen, und diese Lösung mit der hier gegebenen
vergleichen. Dabei rechnen wir die Konzentration c, die im Fickschen Gesetz auftritt, über folgende
Beziehung auf die Wahrscheinlichkeiten um, die wir hier abgeleitet haben: |
| | w(r,t)
= Wahrscheinlichkeit ein Teilchen zur Zeit t im Intervall r, r + dr zu finden = Zahl der Teilchen bei
(r,t)/Zahl aller Teilchen, oder |
| |
| w(r,t) = | c(r,t)
c(r,t)dr |
|
|
| Es genügt der eindimensionale Fall. Welcher Randbedingung entspricht unser
Würfelexperiment? Da w(r) immer = 1 ist, haben wir offenbar
eine bestimmte Anzahl von Teilchen, die bei t = 0 alle bei r = 0 waren; d.h. eine durch eine d-Funktion symbolisierte Quelle im Inneren eines Körpers. |
| | Die entsprechende Lösung des
eindimensionalen 2. Fickschen Gesetzes geben wir sowohl mit x als
Koordiante, als auch mit |r| als Koordinate an - dies ist sehr lehrreich und hilft, die oft vorliegende
Konfusion zu vermeiden. |
| |
| wN(x)dx |2.FG = | æ
è | 1
p4D·t | ö
ø | 1/2 | · exp – | æ
è | x2
4D·t |
ö
ø |
|
| wN(r)dr |2.FG = | æ
è | 1
pD·t | ö
ø | 1/2 | · exp – | æ
è | r2
4D·t |
ö
ø |
| | Mit Koordinate x | Mit Koordinate |r| |
|
| | Graphisch sieht das so aus
(immer bedenken: Es gibt keine negativen |r|; daher der Faktor
2 im eindimensionalen Volumenelement dr |
| | |
.png "click to enlarge size") | .png "click to enlarge
size") | | Mit Koordinate x | Mit Koordinate |r| |
|
| | | | | |
| | Aus der Betrachtung des eindimensionalen "Random Walks" erhielten
wir für |r|:
|
| | |
| wN(r)dr |RW = | æ
è | 2
a02pN | ö
ø | 1/2 | · exp – | æ
è | r2
2Na02 |
ö
ø |
|
|
| | Aus einem Vergeich des Exponentens oder des Vorfaktors erhalten wir sofort: |
| |
oder
| | (n = Sprungrate = N/t) |
|
| | Das ist die
bereits abgeleitete Beziehung für den rein eindimensionalen Fall (d.h. ohne Sprünge in y-
oder z-Richtung; so daß nicht 1/6 sondern 1/2 der Sprünge in die betrachtete
x-Richtung führen). |
| Das ist zwar erfreulich, aber noch nicht was wir wollten. Um einen Zusammenhang zwischen dem Mittelwert
(<r2>)1/2 von r, oder dem wahrscheinlichsten Wert (rwahr)
von r und dem Diffusionskoeffizienten zu bekommen, müssen wir jetzt aber nur
noch die gewünschte Größe aus der Lösung des 2. Fickschen Gesetzes berechnen, da wir
soeben gezeigt haben, daß diese Lösung vollständig äquivalent zur Betrachtung mit Hilfe der
reinen Statistik, des "Random Walks" ist. |
| | Wir müssen
<x2> = x2 · w(x) dx
(von 0
bis ¥). berechnen. Dieses Integral ist im Tabellenmodul gelöst, das Ergebnis ist |
| | |
| | |
|
| | Für rwahr bekommen wir, mit den Wert aus
der Tabelle für eindimensionale
Diffusion schlicht und ergreifend rwahr = 0
Es ist an wahrscheinlichsten, ein
Teilchen am Ursprung zu finden. Daran ändert sich auch nichts mit fortschreitender Zeit - obwohl der mittlere
Abstand der Teilchen vom Ursprung immer größer wird. |
| Damit ist die eindimensionale Diffusion erledigt. Aber damit haben wir noch nicht - auch nicht im Prinzip - die zwei und dreidimensionale Diffusion erledigt! |
| | Im Gegensatz zu vielen anderen physikalischen Phänomenen, bei
den die Dimensionalität für das Prinzip dessen was passiert keine große Rolle spielt, gilt das nicht für
die Diffusion: |
| | In der eindimensionalen
Diffusion ist rwahr = 0 - die Teilchen kommen nicht so recht vom Fleck. Das gilt nicht für
höhere Dimensionen. Die Teilchen sind nicht mehr mit größter Wahrscheinlicheit an der Quelle zu
finden, und rwahr ist nicht mehr Null sondern wächst mit der Wurzel aus der Zeit bzw. Sprungzahl
- siehe die Tabelle |
| Den Zusammenhang zwischen
Diffusionskoeffizient D und Diffusionslänge L für zwei- und
dreidimensionale Diffusion bekommt man sofort aus der Überlagerung der
eindimensionalen Lösungen. Dabei setzen wir aber voraus, daß die Diffusion isotrop erfolgt, oder anders
ausgedrückt, das D ein Skalar und kein Tensor zweiter Stufe ist. |
| | Wir erhalten
damit - Eindimensional: D = L2/2t
- Zweidimensional: D = L2/4t
- Dreidimensional: D = L2/6t
|
| | |
© H. Föll (MaWi 1 Skript)
Kurzfassung der Ableitung der Gauss Verteilung 
Mit Frame