 |
In den vorangegangenen Moduln haben
wir einerseits postuliert, dass
"Dielektikum" erstmal nur ein
anderes Wort für Isolator sei, aber
andererseits Zahlenwerte für die DK von Halbleitern
angegeben. Was den nun? Halbleiter
sind nun mal keine Isolatoren; Standard
Si hat z. B. einen spezifischen Widerstand so um 1
Wcm. |
|
 |
Man darf also beim
Begriff einer Dielektrizitätskonstanten
für einen Halbleiter ein gewisses Puristenbauchweh bekommen. |
|
Es ist Zeit, nach der
"erstmals" Definition das "zweitmal" anzugehen. Beim
zweiten Mal hat man ja auch schon ein bißchen Erfahrung; das kann dann
sogar mehr Spaß bringen. |
|
|
Für Halbleiter können wir
uns im Prinzip noch einfach aus der Patsche helfen: Wir kühlen das halbleitende Material.
Spätestens in der Nähe des absoluten Nullpunkts wird es ein guter
Isolator sein. Dann kann man die DK in der
gewohnten Weise messen. |
|
OK - aber das klingt ein
bißchen künstlich. Deswegen machen wir jetzt die folgende sehr
allgemeine und ohne Tricks umsetzbare Überlegung: |
|
|
Bei einem idealen Isolator im Plattenkondensator fließt
bei anliegender Gleichspannung oder besser Feldstärke keine Gleichstromdichte; bei Wechselspannung ist die
fließende Wechselstromdichte exakt 900 phasenverschoben
zur Spannung. Rein elektrisch haben wir dafür das Symbol
 . |
|
|
Falls das Material rein
"ohmsch" ist, also eine spezifische Leitfähigkeit s = 1/r ¹ 0 hat, fließt Gleichstrom oder
Wechselstrom in Phase (Phasenverschiebung 00). Dafür
gibt's dieses Symbol
 . |
|
Wir zerlegen jetzt gedanklich das
Material in seinen ideal-dielektrischen Teil und seinen nicht
vernachlässigbaren ohmschen Widerstandsteil, d.h. beschreiben es so: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wir haben einen idealen ohmschen
Widerstand R parallel zu einem idealen Kondensator
C mit zugehörigem Zeigerdiagramm. |
|
|
Der Winkel d wäre für ein ideal isolierendes Dielektrikum d = 0o. Für ein reales Dielektrikum mit R <
¥ W ist
tgd = I0/I90 >
0. Die resultierende Zahl, die ja bei Frequenzen im kHz
Bereich oder so leicht zu messen ist, wird oft in Tabellen angegeben, der
sogenannte "Tangens Delta ist eine Art
Qualitätsmaß für Dielektrika / Isolatoren. |
|
An den Achsen des Zeigerdiagramms
steht nun verwirrenderweise neben den Strömen auch e' und e''. Was soll
das bedeuten? |
|
|
Na ja - wir
schreiben mal die frequenzabhängige Stromdichte j(w) =dD/dt durch einen Kondensator hin,
der einem elektrischen Wechselfeld E = E0
exp(iwt) ausgesetzt ist. Wir haben
beim idealen Kondensator natürlich nur Verschiebungsströme,
also: |
|
|
|
|
|
| j(w)
= |
dD
dt |
= e(w) · |
dE
dt
|
= e(w) · |
d[E0 exp(iwt)]
dt |
= e(w) · i ·w · E0 · exp (iwt) = e(w) · i ·
w · E(w)
|
|
|
|
|
|
|
|
Dabei habe wir aus schreibtechnischen
Gründen das e0 gleich in das
e(w) mit
hineingenommen.. |
|
Die Phasenverschiebung von
90o steckt im i (mit i2 = -1).
Materialwissenschaftler sind boshafte Menschen und
verwenden für die imaginäre Einheit den Buchstaben i und
für die Stromdichte den Buchstaben j - genau andersrum als
Elektrotechniker. Wer jetzt darüber nachdenkt, wer "recht" hat,
sollte was einfaches studieren und Jurist werden. |
|
Wenn wir jetzt ein beliebiges
Realmaterial beschreiben wollen, das halt auch außer seiner DK
auch noch eine endliche Leitfähigkeit hat, d. h. zu seiner kompletten
Beschreibung noch einen ohmschen Widerstand parallel zum idealen, durch die
DK beschriebenen Kondensator braucht, können wir das Ganze durch
einen simplen Trick erledigen: |
|
|
|
|
|
Wir nehmen für die
(frequenzabhängige) Dielektrizitätskonstante e die komplexe Zahl:
e(w) =
e'(w)
– i · e''(w) |
|
|
|
|
|
|
Das Minuszeichen ist hier Konvention, damit in der
nachfolgenden Gleichung das bequemere +
steht. Wir betrachten also den negativen
Imaginärteil einer komplexen Zahl. |
|
Das gibt uns eine simple Beziehung,
die wir noch brauchen werden: |
|
|
|
|
|
| j(w) |
= |
w · e'' · E(w) |
+ |
i · w ·
e' · E(w) |
| |
|
|
|
|
| |
|
Realteil
von j(w) = j0;
Phase = 0o |
|
Imaginärteil von
j(w) = j90;
Phase = 90o |
|
|
|
|
|
|
Das ist eine ziemlich coole
Gleichung! Denn jetzt können wir auch für ein beliebiges Material eine DK definieren! Wir
nennen das dann auch nicht mehr "Dielektrizitätskonstante", wäre ja albern, sondern
dielektrische Funktion. |
|
|
Wir packen also einfach den
Leiteranteil in den Imaginärteil der dielektrische Funktion eines Materials; der Realteil
beschreibt dann die "klassische" DK. |
|
|
Wenn man da mal kurz darüber
nachdenkt, kommt man zum folgenden Schluss: |
|
|
|
|
|
In der (komplexen) dielektrischen
Funktion eines Materials stecken alle
elektrischen und
optischen
Eigenschaften des Materials. |
|
|
|
|
|
Das ist doch was! Zwei Kurven - Real
und Imaginärteil über die Frequenz - ist alles was man braucht um ein
Material elektrisch und optisch vollständig zu charakterisieren! Die
dielektrische Funktion eins Materials gehört damit zwingend in die
universitären Grundlagen der Materialwissenschaft für Elektro- und
Informationstechniker. |
|
|
Na ja. Wenn man ganz genau hinschaut,
endeckt man noch so ein paar Klauseln und Nebenbedingungen Die sind aber
für das Gesamtbild unwichtig und sollen uns hier nicht weiter
interessieren.. |
|
|
|
|
Wenn man Strom und Spannung
multipliziert, bekommt man bekanntlich die im "Verbraucher"
umgesetzte Leistung L in Watt (W). |
|
|
Wenn man Stromdichte und Feldstärke multipliziert, bekommt man
bekanntlich (?) die im "Verbraucher"
umgesetzte Leistungsdichte in Watt pro
cm3 (W ·
cm–3). |
|
Wenn Stromdichte und Feldstärke
oszillieren, muss man auf die
Phasenbeziehung der beiden achten. |
|
|
Man teilt dann die Stromdichte auf in den Teil
j0, der in Phase fließt, und den Teil
j90,der um 90o phasenversetzt
fließt; mit Zeigerdiagrammen geht das sehr einfach. |
|
|
Dann gilt
- Feldstärke mal j0 =
LW = Wirkleistung, wird meist in
Wärme umgewandelt.
- Feldstärke mal j90 =
LB = Blindleistung, macht weiter
nichts.
|
|
Gleich oben stehen Ausdrücke
für beide Stromdichtekomponenten. Multipliziert mit
E(w) = E0 ·
exp (iwt) erhält man |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fein. Das war wohl zu erwarten. Mit
e' haben wir ja die klassische DK
beschrieben, die im Kondensator leistungsmäßig ja außer
Blindleistung nichts macht. Mit e'' haben wir
den noch vorhandenen ohmschen Widerstand beschrieben, und die werden bei
Stromfluß ja auch heiß weil Wirkleistung deponiert wird. |
|
Was wir aber noch lernen werden ist:
Selbst absolut ideale Dielelektrika haben
in bestimmten Frequenzbereichen Imaginärteile ihrer DK! |
|
|
In diesen Frequenzbereichen sind auch
"ideale" Dielektrika (mit verschwindender
Gleichstromleitfähigkeit) verlustbehaftet - wir haben dielektrische Verluste; das Dielektrikum wird
heiß! |
|
|
In diesen Frequenzbereichen werden
dann auch ideale Dielektrika heiß - hier steckt das Wirkprinzip der
"Mikrowelle"! |
|
|
|
|
Jetzt noch die schnellen Fragen: |
|
|
|
|
|
|
© H. Föll (MaWi für ET&T - Script)
