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Die "regelmäßige Anordnung"
läßt sich mathematisch durch ein Raumgitter erzeugen. |
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Vier Punkte im
Raum; einer davon der Ursprung.
Drei Basisvektoren
ai
führen zu den drei anderen Punkten |
Fortsetzung der
Raumpunkte;
ziemlich klar aber auch ziemlich unübersichtlich |
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Wie man sieht, sind Zeichnungen von
mathematischen Punkten (= ¥ klein), die
gleichmäßig im Raum verteilt sind (von – ¥ bis + ¥)
- unmöglich, und
- selbst mit Einschränkungen noch recht unübersichtlich.
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Mit Hilfslinien oder
"Gitterlinien" und Kreisen statt Punkten wird's
besser: |
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Deutlich
besser.
Große Gitter"punkte" und Gitterlinien als Hilfslinien |
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Noch besser ist eine formale
Definition: Ein (periodisches) Raumgitter ist definiert durch:
- Einem Vektortripel bestehend aus den Basisvektoren a1,
a2, a3, mit denen man ein
Parallelepiped aufspannen kann, das wir Elementarzelle (oder manchmal auch
Einheitszelle) nennen.
- Einem Satz von ¥ vielen
Translationsvektoren
T dieses Gitters, die durch T =
ua1 + va2 +
wa3 (mit (u, v, w) = alle
ganzen Zahlen) definiert werden, und deren Endpunkte die Punkte des Gitters
repräsentieren.
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Damit ist ein beliebiges Raumgitter eindeutig definiert. |
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Was sind die "identischen Bausteine" die wir die
Basis des Kristalls nennen? |
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In einfachsten Fall besteht die
Basis nur aus einem einzigen Atom oder mindesten 2 Ionen (warum?). Wenn wir auf jeden Gitterpunkt dann
ein einziges solches "Kügelchen" setzen oder eien
"hantel" aus zwei Kugeln, bekommen wir die Kristallbildchen, die in
Kapitel. 2.1.4
schon mal gezeigt wurden. |
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Wir halten als Definition eines
Kristall also fest: |
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| Kristall |
= |
Gitter |
+ |
Basis |
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= |
 |
+ |
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 |
= |
 |
+ |
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| Die Gitterpunkte sind hier die kleinen roten Punkte |
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Die beiden zweidimensionalen Beispiele zeigen:
- Eine klare
dichteste
Kugelpackung mit einem Atom in der
Basis. Das Gitter ist offenbar hexagonal.
- Einen möglichen Ionenkristall. Das Gitter ist
offenbar kubisch. Die Basis besteht aus
zwei (verschieden) geladenen Ionen.
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Mit den begriffen kubisch und hexagonal haben wir übrigens ganz bestimmte
(und unmittelbar völlig klare) Symmetrien beschrieben, die diese beiden
speziellen Gitter haben. |
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Ein unangenehmer Verdacht kommt hoch.
Kann es sein, dass die Kombination eines Gitter plus einer möglicherweise
komplizierten Basis in drei Dimensionen
eine Unzahl von Kristallen - von einfachen kubischen Strukturen bis zu
hochkomplexen Gebilden - produzieren kann? |
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Ja! Gottseidank - die Welt wäre
sonst erheblich langweiliger! Wer Lust hat schaut sich mal
die
Bildchen einiger noch relativ einfacher Kristalle an, oder gleich die
Edelsteine. Bemerkenswert
ist beispielsweise der Opal. |
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Wir machen uns das Leben hier aber
einfach, und schauen uns nur einen kleinen, aber wichtigen Ausschnitt aus der Welt der Kristalle etwas genauer
an. Das tun wir, indem wir die Oberklasse "allgemein definiertes
Gitter" in Unterklassen einteilen, so wie man die Oberklasse
"Lebewesen" ja auch unterteilt in z. B. Tiere, Pflanzen, Schleimpilze
und Banker. Wir unterteilen "Gitter" in 14 Untergruppen
genannt "Bravais Gitter". Der
Link führt zum
vollen
Programm; hier schauen wir nur auf wenige wichtige Punkte: |
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Erstens betrachten wir hier nur 2 Bravais
Gitter mit hoher Symmetrie, nämlich
das kubische und das
hexagonale (Bravais) Gitter. Das
kubische Gitter betrachten wir aus reiner Zweckmäßigkeit noch in
drei Varianten: |
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Die gezeigten Gitter haben einen
hohen Grad an Symmetrie - im Gegensatz zu dem
allgemeinen Gitter, bei dem alle drei Basisvektoren verschieden lang sind, und
die drei Winkel zwischen den Basisvektoren beliebige Werte haben
können. |
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Die kubischen Gitter haben
beispielsweise 4-fache Rotationssysmmetrie um drei Achsen,
Spiegelsymmetrie an drei Ebenen (Bild und Spiegelbild sind identisch) und
Inversionssymmetrie (Vertauschen von r mit
-r bringt nichts Neues). |
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In den drei kubischen Gittern haben
alle drei Basisvektoren dieselbe Länge; beim hexagonalen Gitter ist die
Länge von a3 = c im Prinzip zwar frei, aber
spätestens dann eindeutig gegeben wenn wir das Gitter
für einen dichtest gepackten Kristall verwenden. Man bezeichnet dann die
jeweilige Länge der relevanten Basisvektoren als Gitterkonstante a. |
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Zweitens beschränken wir uns auf eine Basis mit nur 1-2 Atomen / Ionen |
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Damit können wir folgende,
weitreichende Aussagen machen |
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- Die Kombination von 1 Atom in der Basis mit dem
kubisch flächenzentrierten oder
fcc (face centered cubic) Gitter ergibt
immer eine
dichteste Kugelpackung.
Etwa 30 % der Elemente kristallieren in einem solchen fcc
Gitter oder Kristall (hier ist der Unterschied bedeutungslos),
z.B. Al, Ni, Cu, Pd, Ag, Pt,
Au, sowie alle Edelgase.
- Die Kombination von 2 identischen Atomen in der Basis (eines bei
(0,0,0) das andere bei
(½,½,½) mit dem hexagonalen Gitter ergibt ebenfalls eine
dichteste Kugelpackung.
Etwa 35 % aller Elemente kristallisieren in einem solchen
hcp-Kristall (hexagonally close packed), darunter
beispielsweise Mg, Re, Co, Zn, Cd, C
(als Graphit) aber auch z.B N bei tiefer Temperatur.
- Die Kombination von 1 Atom in der Basis mit dem kubisch
raumzentrierten oder
bcc (body centered cubic) Gitter ergibt
keine dichteste Kugelpackung.
Etwa 30 % der Elemente kristallieren in dieser Form, z. B. K,
Rb, Cs, V, Nb, Ta, Cr, Mo und
W.
- Die Kombination von 2 Atomen in der Basis (bei
(0,0,0) und (¼, ¼, ¼)
) mit dem kubisch flächenzentrierten oder
fcc (face centered cubic) Gitter ergibt
keine dichteste Kugelpackung, dafür
aber die Grundstruktur der meisten Halbleiter wie Si,
Ge, GaAs, InP, ...
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Diese 4 Punkte werden hier absichtlich
nicht illustriert, denn dafür gibt es eine Übung! |
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© H. Föll (MaWi für ET&T - Script)
