3.1.2 Kristall = Gitter + Basis

Allgemeine Bemerkungen

Kristallstrukturen sind mathematisch erfaßbar. Das Vorgehen dabei ist wie folgt:
Zuerst betrachten wir eine rein mathematische Konstruktion: Das Punktgitter. In ihm sind mathematische Punkte so angeordnet, daß sie eine Translationssymmetrie besitzen. Das Punktgitter ist kein Kristall; denn ein Kristall ist ein physikalisches Objekt, er bedarf der Atome!
Vom Punktgitter zum Kristall kommt man, indem jedem Punkt des Punktgitters ein Baustein des Kristall zugeordnet wird, die sogenannte Basis. Das kann ein einziges Atom sein, aber auch Verbände oder Moleküle von hunderten von Atomen.
Das war eine wörtliche Wiederholung des vorhergehenden Unterkapitels. Denn erfahrungsgemäß fällt es schwer, die Begriffe "(Punkt)gitter" und "Kristall" auseinanderzuhalten; sie werden leider auch im Sprachgebrauch und in der Literatur oft (fälschlich) synomym verwendet.
Bevor die formale Beschreibung näher erläutert wird, schauen wir ein einfaches Beispiel an, das verdeutlicht was beachtet werden muß.
 
Kristall = Gitter + Basis
Kristall2 = +
krist3 = +
basis3
oder
basis4

Die Gitterpunkte sind hier wie in den folgenden Darstellungen als kleine Kreise dargestellt,
die zur besseren Visualisierung teilweise durch durch Gitterlinien verbundenen sind.
 
Die Versuchung den zweiten Kristall zu erzeugen, indem man auf das engmaschige Gitter der obigen Reihe abwechselnd blaue und rote Kugeln legt ist groß - und das ist falsch, denn wir hätten dann die falsche Gitterkonstante zum richtigen Kristall!
Wir haben aber zwei verschiedene Gitter; sie unterscheiden sich in ihren Gitterkonstanten, den Abständen zwischen den Gitterpunkten.
Das zweite Beispiel zeigt auch schon, daß in der Kristallographie manchmal Situationen vorliegen, die nicht eindeutig sind - die Basis des Kristalls kann auf mehrere Weisen gewählt werden. Befestigt man sie aber in immer gleicher Weise an den Gitterpunkten, entsteht jedesmal derselbe Kristall.
Als Faustregel merken wir uns: Kompliziert aussehende Kristalle haben in der Regel eine komplizierte Basis - das Gitter kann ganz einfach sein. Der Link illustriert dies recht drastisch.
Dazu eine kleine Übungsaufgabe:
 
Übung 3.1-1
Identifikation von Gitter und Basis
 

Mathematische Beschreibung des Gitters

Jedes dreidimensionale Gitter ist eine Folge von Parallelepipeden, das durch drei elementare Translationsvektoren a1, a2, a3 gegeben wird. Man nennt dies Vektoren oft auch die Basisvektoren des Gitter; das Wort "Basis" hat in diesem Zusammenhang jedoch nichts mit der Basis, d.h. dem Arrangement der Atome wir oben eingeführt, zu tun
   
Parallelepiped
Es ist wichtig zu beachten, daß zwischen den drei Basisvektoren ai beliebige Winkel a, b, g vorliegen können.
   
Jeder Gitterpunkt eines mathematischen Gitters ist damit durch einen Vektor T erreichbar, der gegeben ist durch
 
T  =  u · a1 + v · a2 + w · a3   
 
Wobei die u, v, w ganze Zahlen sind, z.B. (u, v , w) = ( 0, 17, -352)
Der VektorT heißt Translationsvektor oder auch Gittervektor des Gitters.
Die Basisvektoren a1, a2, a3 sind per Definitionem auch Translationsvektoren des betrachteten Gitters; das von ihnen aufgespannte Parallelepiped heißt Einheitszelle oder Elementarzelle des Gitters, abgekürzt EZ.
Mit einer geeignet gewählten EZ kann damit ganz offenbar jeder beliebige Gittertyp beschrieben werden.
Die Umkehrung dieses Satzes gilt aber nicht: Ein gegebenes Gitter kann immer mit mehr als einer EZ beschrieben werden. Ein-und-dasselbe Gitter kann durch verschiedene EZ generiert werden.Wir machen uns das an dem zweidimensionalen Gitter mit der folgenden Graphik klar. Zur Abwechslung ist das Gitter mal mit kleine blauen Kreisen statt mit (schwer erkennbaren) Punkten dargestellt.
 
Mehrdeutigkeit derEZ
 
Die 4 eingezeichneten Einheitszellen mit ihren jeweiligen Basisvektoren spannen alle dasselbe Gitter auf.
Im Dreidimensionalen ist das nicht anders, nur schwerer darzustellen. Im folgenden Beispiel sind vier Einheitszellen eingezeichnet; weitere Einheitszellen wären möglich.
Ez im Dreidimensionalen
 
Wir brauchen ein Kriterium, um eine definierte Einheitszelle wählen zu können. Wir machen es uns einfach und definieren:
Die Einheitszelle mit dem kleinsten Volumen heißt primitive Einheitszelle
Wobei das Volumen V einer Einheitszelle durch das Spatprodukt der Basisvektoren gegeben ist:
 
V  =  a1 · (a2 × a3)
 
Wie man für ein gegebenes Gitter die kleinste Einheitszelle findet, und ob es möglicherweise mehrere mit demselben kleinsten Volumen gibt, soll uns nicht weiter interessieren, denn letztlich haben die mathematischen Einheitszellen keine allzugroße Bedeutung wie wir gleich sehen werden.
Eigentlich sind wir fertig. Wir haben eine Methodik um alle denkbaren Gitter zu generieren. Aber so wie es sinnvoll war, die große Klasse der Tiere noch weiter zu unterteilen, ist es auch sinnvoll die Menge aller möglichen Gitter in Gruppen zu unterteilen.
Dabei bietet es sich an, die einem Gitter innewohnende Symmetrie als Kriterium zu nehmen. Wir unterscheiden die Symmetrieoperationen.
Translation um einen beliebigen Gittervektor. Dies läßt per Definitionem das Gitter unverändert, d.h. überführt das Ausgangsgitter bei Anwendung der Symmetrieoperation in sich selbst. Alle Gitter haben Translationssymmetrie.
Spiegelungen an Ebenen (die durch 2 Translationsvektoren aufgespannt wird). Nicht alle Gitter sind spiegelsymmetrsich.
Inversionen bzgl. eines Gitterpunktes, d.h. der Ersatz aller R die vom Gitterpunkt ausgehen durch R
Rotation mit einem Gittervektor als Drehachse. Erlaubt sind 2-, 3-,4- und 6 - zählige Drehachsen, d.h. Drehungen um 3600, 1800, 1200, 900 und 600 und natürlich die ganzzahligen Vielfachen. Alle Gitter haben mindesten eine Rotationssymmetrie.
Es gibt keine 5- oder 7- zählige Drehachsen für Gitter, wohl aber für die Basis (Vergleiche Übungsaufgabe 3-1)!
Drehungen wurden absichtlich an das Ende der Aufzählung gestellt, denn hier muß einfach eine der faszinierendsten Entwicklungen der Materialwissenschaft in den letzten Jahren kurz erwähnt werden: Die Quasikristalle.
In jedem Textbuch der Kristallographie oder Festkörperphysik, das etwas näher auf die Symmetrien in Kristallen eingeht, wird prominent hervorgehoben, daß es zwar 1-, 2-, 3-, 4- und 6-zählige Drehachsen gibt, aber keine 5-zähligen, da es unmöglich ist die Ebene mit gleichseitigen Fünfecken vollständig zu bedecken.
Das ist nach wie vor richtig. Richtig ist es aber auch, daß 1984 ein Material gefunden wurde, das sich in vielen Experimenten wie ein Kristall mit einer 5-zähligen Sysmmetrie benahm. Da es ein echter Kristall nicht sein kann, wurde die Bezeichnung Quasikristall gewählt.
Quasikristalle haben nicht nur ungewöhnliche Eigenschaften, sondern sind auch als mathematische Objekte hochinteressant. Beispielsweise kann ein (realer und anfaßbarer) Quasikristall aus der Projektion eines (mathematischen) 6-dimensionalen Gitters auf einen geeignet gewählten normalen dreidimensionalen Raum gewonnen werden - mit unmittelbaren Konsequenzen auf die realen Quasikristalle, z.B. bei der Definition von Defekten in Quasikristallen!
Mehr dazu im Link "Quasikristalle".
Sortiert man alle möglichen (und nicht notwendigerweise primitiven) Einheitszellen nach abnehmender Symmetrie, erhält man genau 14 Gittertypen, die sogenannten Bravais - Gitter, mit denen alle überhaupt vorkommenden Fälle abgedeckt werden können.
Warum gerade 14 Bravaisgitter existieren, und warum es gerade die sind, die in der untenstehenden Tabelle gezeigt werden, ist nur aus nicht ganz trivialen Betrachtungen der Gruppentheorie erschließbar; wir werden das hier aber nicht weiter begründen.
Die 14 Bravaisgitter lassen sich wiederum in 7 Kristallsysteme zusammenfassen (die alle einen Namen haben), und die sich nur durch die Länge der Basisvektoren und den Winkeln zwischen ihnen unterscheiden.
Achtung! Eigentlich müßte es Gittersysteme heißen - wir sind noch beim mathematischen Gitter - aber die Konvention ist leider anders
Die nachfolgende Tabelle zeigt eine Gesamtschau.
     
Name des Kristallsystems
Länge der Basisvektoren
Achsenwinkel Zugehörige Bravaisgitter
(gelegentlich sind nur "sichtbare" Gitterpunkte (= blaue Kreise) eingezeichnet)
Kubisch
a1= a2 = a3
= a
= Gitterkonstante
a = b = g = 900 kub.-primitiv
kubisch-primitiv
kub.-raumzentriert
kubisch-raumzentriert
kub.-flächenzentriert
kubisch-flächenzentriert
Tetragonal
a1= a2 ¹ a3
a = b = g = 900 Tetragonal-primitiv
Tetragonal-primitiv
Tetragonal-raumzentriert
Tetragonal-raumzentriert

Hexagonal
a1= a2 ¹ a3
Üblich: a3 = c
Hex. Ebene =
Basisebene
a = b = 900,
g = 1200
Hexagonal
Hexagonal (EZ ist ergänzt um hex. Symmetrie zu zeigen)


Rhomboedrisch
oder
Trigonal
a1= a2 = a3
a = b = g ¹ 900 Rhomboedrisch
Rhomboedrisch


Othorhombisch
a1 ¹ a 2 ¹ a3
a = b = g = 900 Othorhombosch-primitiv
Orthorhombisch-primitiv
Orthorhombisch-raumzentriert
Orthorhombisch-raumzentriert
Orthorhombisch-basisflächenzentriert
Orthorhombisch-basisflächenzentriert
Orthorhombisch -flachenzentriert
Orthorhombisch-flächenzentriert
Monoklin
a1 ¹ a2 ¹ a3
a = b = 900,
g ¹ 900
Monoklin-primitiv
Monoklin-primitiv

Monoklin-basisflächenzentriert
Monoklin-basisflächenzentriert
Triklin
a1 ¹ a2 ¹ a3
a ¹ b ¹ g ¹ 900 Triklin
Triklin


   
Mir diesen 14 Gittern lassen sich alle Kristalle darstellen, indem man auf jeden Gitterpunkt die Basis aus dem jeweiligen Atomen setzt.
Die "fehlenden" Gittertypen, z.B. das tetragonal-raumzentrierte Gitter, haben eine Symmetrie, die in einem der 14 Bravaisgittern schon abgedeckt ist.
Der Vorteil der Bravaisgitter ist, daß sie die jeweils größtmögliche Symmetrie unmittelbar erkennen lassen.
Der Nachteil der Bravaisgitter ist, daß sie nicht immer primitive Einheitszellen sind. Das ist aber nur in seltenen Fällen ein Problem. In der Regel ist das Erkennen der Symmetrien wichtiger und hilfreicher - und wir benutzen von jetzt an Bravaisgitter!
Nehmen wir als Beispiel das kubisch-flächenzentrierte Bravaisgitter, abgekürzt fcc ( für das englische "face centered cubic").
Es ist die Grundlage für viele der Elementkristalle, die man erhält, indem auf einen Gitterpunkt des fcc - Gitters als Basis ein Atom des betreffenden Elementes setzt. Die hohe Symmetrie des kubischen Gitters ist unmittelbar erkennbar.
Würde man die zugehörige primitive Einheitszelle wählen - die natürlich mit derselben Basis denselben Kristall ergeben muß - sähe das so aus:
 
primitive EZfcc
Dreidimensionale Darstellung
 
zweidim. fccprimitiv
Zweidimensionale Darstellung
 
Der primitiven EZ des fcc - Gitters sieht man die einfache kubische Symmetrie des Gitters nicht an; sie wird deshalb kaum verwendet.
Es gibt aber noch weitere Möglichkeiten, sich EZ für ein gegebenes Gitter zu konstruieren. Später werden wir noch mit der sogenannten Wigner - Seitz Elementarzelle zu tun haben, für alle Zwecke der Materialwissenschaft I genügt es aber, die (wichtigsten der) 14 Bravais Gitter zu kennen.
Im nächsten Abschnitt werden wir die Bezeichnungsweisen für Richtungen und Ebenen in einem Gitter kennenlernen.
Vorher machen wir aber noch die Übungen:
 
Fragebogen
Multiple Choice Fragen zu 3.1.2
 

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© H. Föll (MaWi 1 Skript)