 | Wir erweitern nun das Konzept des Potentialtopfes auf die Elektronen, die an einen Atomkern gebunden sind. Um ein Elektron aus dem Atom zu
entfernen, müssen wir die entsprechende für das betreffende Elektron geltende Bindungsenergie aufbringen; sie ist für jeden Elektronenzustand definiert. |
|  | Obwohl wir dasselbe Wort verwenden, hat die Elektronenbindungsenergie
natürlich nichts mit der Bindungsenergie von Molekülen oder
Festkörpern zu tun. |
|  | Wir brauchen einen
Abstand. Das ist zwar keine gut definierte Größe für die
Elektronen, aber wir können einfach das Maximum der entsprechenden Wellenfunktion nehmen - für den Zweck der
Visualisierung von Bindungen werden sowieso nur qualitative Verläufe gebraucht. |
|  | Qualitiativ sieht
ein Potentialtopf, z.B. für die Elektronen eines Na - oder Cl - Atoms dann so aus: |
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 | Nochmal: Die Form der Töpfe und die Lage der Energieniveaus ist rein
qualitativ. Was jedoch stimmt ist die Anzahl
der Elektronen auf den Niveaus (wieder symbolisiert durch Pfeile) und
die relativen Unterschiede in der Topfgröße und der Lage der obersten Niveaus. |
|  | Die Niveaus liegen - im Gegensatz zu den
Niveaus bei den Atomen - recht weiter auseinander wegen der geringen Masse der Elektronen. Sie sind natürlich
nichts anderes als die Gesamtenergien, die aus der Lösung der Schrödingergleichung für das betrachtete
Atom resultieren. |
|  | Jedes Niveau trägt damit
als "Namen" sein zugehöriges Triplett (ohne den Spin) der passenden Quantenzahlen. Das tiefste Niveau
ist damit in jedem Potentialtopf immer das 1s1-Niveau. |
 | Analog zur Potentialtopfdarstellung der Atome, können wir die Elektronenniveaus als Energieniveau der
"Schwingung" der Elektronen um den Kern betrachten. Es ist die Summe ihrer potentiellen und kinetischen
Energie, die durch das E - Niveau gegeben wird. |
 | Die
Ionisierungsenergie ergibt sich aus der
Darstellung sofort als Abstand des obersten besetzten Niveaus von der Null-Linie. |
|  | Der Nutzen einer derartigen Darstellung
erschließt sich, wenn man jetzt die Potentialtöpfe für die Elektronen eines Moleküls
betrachtet. |
|  | Dazu bringen wir einfach die
beiden individuellen Potentialtöpfe zusammen (im Bindungsabstand r0) und addieren die
Kurven der potentiellen Energie. Im Beispiel des NaCl stellt sich dies so dar: |
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 | Wiederum sitzen die 3s - Niveaus außerhalb der Potentialtopfes des
Atoms; das Niveau erstreckt sich jetzt durch den ganzen Kristall. |
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 | Aber die dort vorhandenen Elektronen können ihre Energie nicht senken; es gibt keine
tiefer gelegenen freien Niveaus. |
|  | Das Pauli Prinzip verbietet, daß mehr als zwei Elektronen in
einem Zustand sitzen - und das 3s - Niveau, obwohl es sich jetzt durch den ganzen Festkörper erstreckt, ist
ein Niveau! |
|  | Es muß etwas geschehen, damit alle Elektronen Platz finden. Die Lösung ist eine Aufspaltung
der s - Niveaus. Es bilden sich ungeheuer viele (N = Zahl der
beteiligten Atome) s - Niveaus aus, die energetisch zwar dicht beieinander liegen, aber im Sinne des Pauli
Prinzips individuelle Zustände sind; ein sogenanntes Elektronenband. Das ist
als ein farbliches Kontinuum dargestellt,; nur einige Niveaus sind als Linien markiert. |
 | Die Elektronen des Na besetzen die Hälfte der möglichen Zustände in dem s -
Band; sie sind das "Elektronengas" der Metallbindung. |
|  | Die Elektronen sind nicht mehr einzelnen Atomen
zugeordnet; sie "laufen" frei durch das Metall |
|  | Na ist damit (wie alle Metalle) ein elektrischer Leiter! |
 | Es ist wichtig, sich klarzumachen, dass das Bild oben und das alte
Bild zur Metallbindung exakt dieselbe Sache zeigen - nur aus anderen Blickwinkeln und mit anderen Vereinfachungen
und Schematisierungen. |
 | Wie sehen kovalente Bindungen aus.
Betrachten wir den Si - Festkörper (einen Kristall) mit 4 gesättigten Bindungen in der
sp3 - Hybridkonfiguration, erhalten wir schematisch folgendes Potentialtopfbild: |
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 | Was die Graphik darstellt, ist der typische Fall eines Halbleiters. Allerdings ergibt sich das nicht direkt aus der Überlagerung der
Einzelpotentiale, sondern es wird in diesen Bildern Wissen illustriert, das man aus tiefergehenden Betrachtungen
gewonnen hat. Was wirklich passiert bei der Bindung läßt sich nicht direkt graphisch, wie hier insinuiert,
erschließen. |
 | Die sp3 -
Zustände sind mit 4 Elektronen besetzt und hätten Platz für 8. Wiederum überlappen
sich die Zustände benachbarter Atome und spalten dabei in N Zustände auf mit N =
Zahl der beteiligten Atome. |
|  | Aber
das gebildete Band ist zweigeteilt. Ein Teilband (es heißt Valenzband) liegt
gerade noch im Potentialtopf eines Atoms; es ist voll besetzt mit den 4 Elektronen pro Atom. Da unsere
Potentialtopfdarstellung scharfe Grenzen vorgibt obwohl keine da sind, ist das Band gestrichelt durch die
Potentialschwelle gezeichnet. |
|  | Das zweite Teilband
ist vom ersten durch eine Energielücke getrennt. Es ist vollständig leer
und heißt Leitungsband. |
|  | Der Name ist klar: Würde das Leitungsband Elektronen enthalten, wären sie frei beweglich;
Si wäre ein elektrischer Leiter. |
 | Wir spüren: Der Trick
der gesamten Halbleitertechnik liegt darin, wie man Elektronen in das Leitungsband bekommt - aber das betrachten wir
später. |
© H. Föll (MaWi 1 Skript)