 | Nach dem einfachsten Atom, demWasserstoff, ist das nächst einfache Atom das
Helium mit der Ordnungszahl 2. Es hat im neutralen Zustand 2 Elektronen. |
|  | Um die Schrödingergleichung für das System
aufstellen zu können, brauchen wir die potentielle Energie der Elektronen. Die Beziehung dafür kann noch
einfach formuliert werden. Dazu addieren wir die potentiellen Energien von Elektron 1 und Elektron 2 im
Feld des Atomkerns sowie die potentielle Energie, die aus der Abstoßung der beiden Elektronen resultiert. |
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U(r1, r2, r12) = -
ze2/r1 - ze2/r2 + e2/r12
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| Die Abstandsvektoren
r1, r2, r12 sind eindeutig durch die
(mathematischen) Koordinaten x1, y1, z1 und
x2, y2, z2 der beiden Elektronen gegeben, damit ist
auch U eine Funktion dieser Koordinaten. |
| Damit
läßt sich die Schrödingergleichung hinschreiben; es ist einfach das obige Potential einzusetzen. Die
Wellenfunktion y hängt jetzt aber von den Koordinaten
x1, y1, z1 und x2, y2, z2
ab, d.h. von einem Ort r1 und einem Ort
r2. |
| | Damit wird die
Wellenfunktion eine Funktion mit 6 Variablen: |
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| y | = | y(x1, y1, z1, x2,
y2, z2) |
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| Was bedeutet
das? |
| | Wie zuvor, gibt das
Betragsquadrat von y = y · y*, die Wahrscheinlichkeit an, die Elektronen irgendwo zu
finden. Für die Orte r1 und r2 ist y · y* damit die Wahrscheinlichkeits(dichte), das erste
Elektron am Ort r1 = (x1, y1, z1)
und gleichzeitig das zweite Elektron am Ort r2 =
(x2, y2, z2) zu finden. |
| | Beim Würfeln mit zwei Würfeln wäre das
nichts anderes, als die Wahrscheinlichkeit w(2, 5), z.B. mit einem Würfel eine 5 und
mit dem anderen eine 2 zu würfeln. Das ist übrigens etwas anderes, als die Wahrscheinlichkeit
w(7), d.h. mit zwei Würfeln eine 7 zu würfeln. Es lohnt sich, darüber mal kurz
nachzudenken - wir werden das noch brauchen! |
| | y(r1, r2), und gleichzeitig die
Gesamtenergie E, ergeben sich wiederum aus der Lösung der Schrödingergleichung für diesen
Fall. Die Kenntnis von y enthält wiederum alle Informationen über das System - unser He-Atom - die es gibt; aus y lassen sich alle meßbaren Größen
berechnen. |
| So weit, so gut. Leider können
weder wir, noch sonst jemand, die Schrödingergleichung für zwei (oder mehr) Elektronen geschlossen
lösen (das ist so ähnlich wie in der Himmelsmechanik das Dreikörperproblem; z.B. Sonne, Erde und Mond).
Selbstverständlich gibt es Näherungen; spätestens bei "komplizierten" Atomen oder
Molekülen mit vielen Elektronen, sind aber auch Näherungen für Lösungen des Gesamtsystems nicht mehr ganz einfach machbar. |
| | Damit sind wir erst mal in einer Sackgasse,
glücklicherweise gibt es aber einen Ausweg: Man kann eine extrem simple
Näherung machen, die eine einfache und qualitativ richtige Betrachtung auch komplizierter Atome
erlaubt, allerdings keine guten Zahlenwerte mehr liefert. |
| | Der Trick ist, nicht alle Elektronen eines Atoms zu
betrachten, sonden nur eines. Gedanklich denken wir uns die restlichen Elektronen
gleichmäßig über das Volumen des Atoms verschmiert. Das eine übriggebliebene Elektron
"sieht" dann nur eine irgendwie verschmierte positive Ladung, da die
negativen Ladungen der verschmierten Elektronen die Kernladung bis auf eine Elementarladung kompensieren. |
| | Damit haben wir die Betrachtung unseres beliebigen
Atoms vereinfacht auf die Betrachtung eines Atoms, das dem Wasserstoffatom sehr ähnlich ist: Ein Elektron ist im
Potential einer positiven Elementarladung zu betrachten - allerdings ist diese
positive Ladung nicht mehr punktförmig. |
| Wir erhalten dann als Lösung der Schrödingergleichung Wellenfunktionen für das eine Elektron, die völlig analog zu den Lösungen des Wasserstoffatoms sind. |
| | Da aber das Potential kein Punktpotential mehr ist,
und das ganze ja nur eine Näherung darstellt, können wir
weder erwarten, daß die Zahlenwerte für die Gesamtenergie noch stimmen, noch gibt es einen Grund
anzunehmen, daß die Energie weiterhin bezüglich der Quantenzahlen l, m, und
s entartet ist. Auch die genaue Form der Orbitale könnte etwas anders sein. |
| | Aber s-Orbitale bleiben kugelsymmetrische
s-Orbitale, die Keulen der p-Orbitale bleiben Keulen, usw. usf.. Mit diesem Ansatz erhalten wir -
ohne überhaupt zu rechnen - folgendes Ergebnis: |
| | Jede Lösung
der Schrödingergleichung für ein Elektron in einem beliebigen Atom wird weiterhin durch die vier
Quantenzahlen n, l, m, s beschrieben. |
| | Als Wellenfuktion für das eine Elektron, das wir herausgegriffen
haben, stehen - leicht modifiziert - die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms zur Verfügung. Insbesondere sind
die Orbitalformen in ihren Symmetrien unverändert. |
| | Zu jedem Satz von Quantenzahlen gehört weiterhin
eine Gesamtenergie E; allerdings kann der Zahlenwert sehr verschieden
von den Wasserstoff-Werten sein. |
| | Die beim
Wasserstoffatom vorliegende Entartung (E nur abhängig von n, nicht von l,
m und s) muß nicht mehr vorliegen; zur selben Hauptquantenzahl n
können - je nach l, m und s - verschiedene Gesamtenergien vorliegen. |
| | Damit kann ein Atom als ein System verstanden werden, das für die gebundenen Elektronen bestimmte
Orbitale als mögliche Elektronenzustände aufweist, charakterisiert durch einen Satz von Quantenzahlen und
eine zugehörige Gesamtenergie. Graphisch stellt man dies häufig ganz schematisch in einem Quantenzahlen - Energie Diagramm dar: |
| |
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| | Allerdings nehmen wir am
Rande war, dass dies eine rein schematische Auftragung ist. Die wahre Energie, die zu einem Satz von Quantenzahlen
gehört, folgt nicht dem einfachen "Leiter" Schema der Graphik, das immer gleiche Abstände zwischen
den Energie "Sprossen" zeigt. Insbesondere kehrt sich gelegentlich sogar die Reihenfolge um, z.B. liegen die
3d - Energieniveaus högher als das 4s Niveau - deswegen stehen nach Ar auch keine
Elementsymbole mehr an den Niveaus. Mehr dazu in einem eigenen
Modul. |
| Besetzung der verfügbaren Zustände mit Elektronen |
| | |
| Nehmen wir als Beispiel jetzt ein Silizium Atom, dann müssen wir
14 Elektronen auf die vorhandenen Zustände verteilen. Geben wir auf jeden Zustand ein Elektron, landen wir beim 3p2 (d.h. wir haben zwei Elektronen auf den
zu n = 3 und l = p gehörenden 6 Zuständen); für die anderen Elemente
gilt entsprechendes. |
| | Die Energien sind hier völlig
willkürlich dargestellt; sie sind bei jedem Atom anders. Allerdings bleibt die ungefähre Wichtung erhalten:
Zustände mit kleinen Quantenzahlen; damit großen
Aufenthaltswahrscheinlichkeiten in Nähe des Atomkerns, liegen energetisch "tief". Die Elektronen sind stark gebunden; man bräuchte viel Energie um sie aus
dem Atom abzulösen. |
| | Im obigen Bild sind die Elektronen
gleichmäßig auf die verfügbaren Zustände verteilt, aber nach welchem
Kriterium? Wie beim Wasserstoffatom fragen wir uns wieder,
wo die Elektronen nun sind, welche Zustände sie jetzt wirklich besetzen. |
| | Die intuitive Antwort,
basierend auf der klassischen Physik, wäre, daß sie alle - oder doch fast alle - auf dem energetisch
tiefsten Niveau sich befinden, da wir zu wissen glauben, daß alle sich selbst überlassenen Systeme zum Minimum der Energie streben.
Aber |
| |
Die Intuition ist völlig
falsch!
(die klassische Physik hier auch) |
|
| Denn in der Welt der Quantenphysik gilt
das nach dem Physiker Wolfgang Pauli benannte Pauli Prinzip, auch Paulisches Auschließungsprinzip genannt. Es ist von ungeheurer Wichtigkeit und besagt
etwas sehr einfaches: |
| |
Teilchen mit halbzahligem Spin
(und dazu gehören die Elektronen)
dürfen nie Zustände einnehmen,
die in allen Quantenzahlen
übereinstimmen. |
|
| Was ist der Spin eines
Teilchens? Am besten ist es, sich den Spin als ist eine elementare
Eigenschaft vorzustellen, die ein Teilchen hat, und die nicht ohne Zerstörung des Teilchens
geändert werden kann. |
| | Es ist so
ähnlich wie bei der (Elementar)ladung oder der Masse eines Elektrons (oder anderen Elementarteilchens): Es sind
Eigenschaften des Teilchens, die es hat und die wir messen können. Was aber
eine Ladung "eigentlich" ist - das "weiß" niemand. |
| | Ähnlich wie die Ladung oder die Masse, gibt es
auch den Spin auch nur in festen, unabänderlichen und unzerstörbaren (in
diesem Fall dimensionslosen) Werten |
| | Entdeckt wurde der Spin 1926, mehr dazu im Link. |
| Der Spin ist nicht direkt meßbar, er erscheint je nach experimenteller "Blickrichtung" entweder
als Drehimpuls oder als magnetisches
Moment. |
| | Im Gegensatz zur elektrischen Ladung ist der Spin s aber so etwas ähnliches wie ein
Vektor; man denke sich dazu einen kleinen Pfeil der Länge 1/2 und
Richtung "up" oder "down", "links" oder "rechts" - wie es beliebt. |
| | Mit einem Spin verkoppelt ist immer ein mechanischer
Drehimpuls S. Dieser Spindrehimpuls ist sehr einfach zu berechnen;
wir haben (etwas salopp formuliert) |
| |
| S | = | s ·  |
|
|
| | Für ein Elektron (oder Proton, oder
Neutron , oder ....) findet man S relativ zu einer willkürlichen Achse immer nur mit den Werten + /2 oder – /2; d.h. unser
kleiner Pfeil zeigt in die gewählte Richtung (+) oder in die Gegenrichtung (–); aber nie woanders hin. . |
| Das Plancksche
Wirkungsquantum hat hier die Funktion des elementaren Drehimpulsquants. Man ist
damit versucht, sich das Teilchen als kleinen Kreisel vorstellen; aber das ist eine Analogie die nicht weit
trägt. |
| | Denn das kleine Magnetchen,
oder genauer gesagt, das magnetische Moment, das sich beispielweise bilden müßte, wenn eine Ladung im Kreis
herumläuft - wie es bei einem geladenen Kügelchen, als das man sich ein Elektron mit Drehimpuls ja
vorstellen müßte - liegt zwar in Form des magnetischen Moments des Elektrons vor, aber es hat den "falschen" Zahlenwert |
| | Magnetisches Moment heißt, daß das
Elektron (oder ein anderes Elementarteilchen) sich wie ein kleiner Stabmagnet mit Nord- und Südpol benimmt. Jede
Ladung die sich im Kreis bewegt hat ein magnetisches Moment, aber interessanterweise hat auch das elektrisch neutrale
Neutron ein magnetisches Moment. Wir nehmen einfach mal hin, daß auch das magnetische Moment eines Elementarteilchens gequantelt ist und einen bestimmten
Teil einer elementaren Einheit besitzt, dem Bohrschen Magneton mB
= 1.1654 · 10– 29 Vsm. Mehr im Link. |
| Alle Elementarteilchen
besitzen einen halb- oder ganzzahligen Spin (wenn man, etwas sophistisch, Spin = 0 als ganzzahlig mitrechnet).
Der Spin eines Teilchens ist wie die elektrische Ladung immer gequantelt, d.h. kommt immer nur als Vielfaches von +
½ oder – ½ vor. |
| | Elementarteilchen haben damit immer eine halbzahlige oder ganzzahlige Spinquantenzahl, oder salopp ausgedrückt, Spin, z.B. s = 1/2,
s = 3/2, oder s = 0, s = – 1, s = 2. Teilchen mit halbzahligem Spin - die Fermionen - sind
insbesondere: |
| | Elektronen: Ihr Spin ist ± ½. |
| | Protonen und Neutronen: Ihr Spin ist ebenfalls ± ½. |
| | Exoten, wie das
Omega -Teilchen mit Spin ±3/2. |
| | Alle diese Teilchen haben den Spin 1/2 oder
ein Vielfaches von ½; man nennt alle Teilchen mit halbzahligem Spin
Fermionen (nach dem Physiker Enrico Fermi) - in der Einführung in die Materialwissenschaft Teil II werden wir lernen,
warum. |
| Teilchen mit ganzzahligem Spin - man nennt sie nach Chandraseka Bose generell Bosonen - sind: |
| | Mesonen (die Teilchen
die die Bindungskräfte im Atomkern vermitteln). Ihr Spin ist 0 |
| | Photonen, die
"Lichtteilchen". Sie sind in diesem Zusammenhang ganz wichtig; ihr Spin ist 1. |
| Spätestens beim Beispiel des Photons wird klar, daß die Vorstellung des Spins als
ein sich drehendes "Kügelchen" seine Tücken hat. Es ist besser, den Spin eines Teilchens als
elementare Eigenschaft zu akzeptieren, die ähnlich wie die Ladung immer erhalten
bleibt. |
| Das Pauli-Prinzip hat weitreichende
Konsequenzen; wir werden einige davon noch kennenlernen. |
| | Aber warum gilt es? Was ist so fundamental verschieden zwischen
Fermionen und Bosonen? |
| | Hier liegt eine der
tiefsten Fragen der Physik versteckt. Selbst Richard Feynman, berühmt dafür, daß er selbst die kompliziertesten
Dinge einfach (und trotzdem richtig) erklären konnte, hat hier das Handtuch geworfen - man muß das Pauli-Prinzip einfach als Naturgesetz
akzeptieren. |
| | |
| Die Besetzung der bei einem Atom vorhandenen Zustände unter
Berücksichtigung des Pauli-Prinzip ist nun einfach: Wir starten mit der kleinsten Quantenzahl und füllen das
dadurch definierte Energieniveau mit einem Elektron. Wir bekommen das
Wasserstoffatom im Grundzustand. Die Quantenzahlen des Elektrons sind |
| | n = 1, l = 0, m = 0,
s = +1/2. Da im Kontext des hier behandelten Atommodells der Spin sich als Drehimpuls "zeigt",
müssen wir das Vorzeichen betrachten. Wir hätten auch s = – ½ nehmen können; aber wir
müssen uns für eine der beiden Möglichkeiten entscheiden; welche ist egal. Zur leichteren Ansprache
nennen wir es ein 1s1 - Elektron. |
| | Das He - Atom braucht ein weiteres Elektron; dieses hat nun dem Pauli-Prinzip folgend die
Quantenzahlen n = 1, l = 0, m = 0, s = - ½. In der Kurzschreibweise ist es ein
1s2 - Elektron. Die 2 als "Hochzahl" am s drückt dabei nur aus,
daß es das zweite Elektron ist, das diesen Zustand besetzen kann - ob man ihm
Spin ½ oder - ½ zuschreibt, ist willkürlich. Alle zu n = 1 gehörenden
Orbitale sind jetzt besetzt, wir haben eine vollständig gefüllte erste
"Schale". |
| | Für das Li - Atom mit drei Elektronen hat es auf den 1s-Niveaus, die durch n = 1 und l = 0
definiert sind, keinen Platz mehr. Das nächste Niveau ist durch s =
2, l = 0, m = 0, s = +1/2 definiert, wir bekommen das 2s1 - Elektron. Wir haben
jetzt begonnen, die n = 2 Schale zu besetzen; sie kann insgesamt 8 Elektronen aufnehmen. |
| | Davon 2 für den s - Zustand, und
6 im p - Zustand. Die Hochzahl gibt dabei immer an wieviele der vorhanden Zustände s,p,d,...
besetzt sind; sie kombiniert dabei die Quantenzahlen m und s. |
| | Und so weiter und so
fort. Dieses Bildungsprinzip ist im obigen Bild schon berücksichtigt. |
| In der schematischen Grafik ist jeder Zustand bei einer anderen Energie
eingezeichnet, das kann, aber muß nicht sein, da einige Zustände ja entartet sein können, d.h.
dieselbe Energie besitzen. |
| Uns fällt auf: Immer wenn in einer
Schale die p - Niveaus vollständig gefüllt sind, d.h. alle möglichen Zustände durch
Elektronen besetzt sind, ist das zugehörige Atom ein Edelgas - wir reden von einer
vollbesetzten Schale. |
| | Edelgase sind edel, weil sie so gut wie
nicht mit anderen Elementen reagieren und keine Moleküle bilden - nicht mal mit sich selbst. Deshalb sind sie
Gase, denn eine Flüssigkeit oder ein Festkörper verlangt per
definitionem, daß ein Atom sich an andere Atome "bindet". |
| | Wir wissen, daß die Neigung Bindungen
einzugehen von der Temperatur abhängt; bei hohen Temperaturen ist alles
gasförmig. Aber Edelgase bleiben auch bei extrem tiefen
Temperaturen noch gasförmig; Helium verflüssigt erst 4 K über dem absoluten Nullpunkt (und
wird überhaupt nie fest)! Sie sind also chemisch inert. |
| Auch
die Elemente, denen gerade noch ein Elektron für eine vollbesetzte Schale fehlt, sind sich chemisch ähnlich; dasselbe gilt für die Elemente, die eines
zuviel besitzen. |
| | Wir haben die chemischen Familien der Halogenide beziehungsweise Alkalimetalle - beides äußerst reaktive und aggressive Elemente, die in der
Natur deshalb auch nie elementar vorkommen, sondern immer nur im Verbund mit anderen Atomen. |
| Offenbar gibt es Regeln, die allgemeine chemische Eigenschaften und gefüllte
Elektronenzustände miteinander verknüpfen. Sie sollen im nächsten Unterkapitel angesprochen werden. |
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© H. Föll (MaWi 1 Skript)
