 | Es gibt, wie schon an anderer Stelle ausgeführt, keine einfache und sofort
einleuchtende Erklärung zum Pauli Prinzip. Man kann es jedoch mit anderen Eigenschaften von Elementarteilchen
korrelieren und dann etwas tiefgründiger formulieren. |
|  | Entscheidend ist zunächst die Tatsache, daß Elementarteilchen prinzipiell ununterscheidbar sind. Das leuchtet zwar irgendwie ein, aber im Grunde ist es
ein Axiom. |
 | Das hat viele Konsequenzen, eine davon
ist sofort einsichtig. |
|  | Wir lassen mal
gedanklich zwei Elementarteilchen derselben Sorte - zwei Elektronen - oder zwei identische Kombinationen z.B. - zwei
a - Teilchen (= zwei He Kerne) wie Billardkugeln aufeinanderstoßen. Ein
mögliches Ergebnis ist im Bild links unten dargestellt |
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|  | Die Bestandteile des a Teilchens sind zwei rote Protonen und zwei blaue Neutronen |
|  | Der Stoß ist bei gleichen Impulsen
und Energien symmetrisch, mit entsprechenden Detektoren finden wir die Teilchen an den Positionen wie
eingezeichnet. |
 | Da aber die einzelnen Teilchen prinzipiell ununterscheidbar sind, hätte der Stoß bei identischen
Ausgangsbedingungenen auch wie rechts eingezeichnet stattfinden können (bei den a Teilchen wurde z.B ein Neutron ausgetauscht) |
|  | Es gibt offenbar für einen gegeben
Streuwinkel d mehrere prinzipiell
ununterscheidbare Wege zu ein und demselben Endergebnis am Ort des (nicht eingezeichneten) Detektors. |
|  | Das bedeutet in der formalen Sprache der
Wellenfunktion, daß die Wahrscheinlichkeitsamplitude für Streuung unter einem bestimmten Winkel d, also y(d)n · y(d)*n für jeden spezifischen Weg n der zum
selben Ergebnis am Ort des Detektors führt, identisch sein muß. |
|  | Für die Wellenfunktionen selbst
bedeutet das, daß sie bis auf einen Phasenfaktor exp if, der bei der
Betragsquadratbildung herausfällt, identisch sein müssen, d.h. |
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y(d)n | = |
y(d)m · exp ifn,
m |
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 | Betrachtet man nun konkrete Fälle,
erhält man Aussagen über die möglichen Phasenfaktoren exp if. |
|  | Das ist aber noch nicht so spannend. Denn
bisher haben wir keinen Spin berücksichtigt. Wenn wir jetzt noch zulassen, daß die Teilchen einen Spin
haben (und wir im Detektor den Spin messen), könnten wir vielleicht die diversen Möglichkeiten doch
unterscheiden. |
 | Könnten wir, aber wir können
das Spielchen jetzt auch noch erweitern. Schauen wir uns den Stoß zwischen zwei Elektronen jetzt nochmal an: |
|  | Wir könnten jetzt viele
Prinzipbilder malen: Erstes Elektron mit Spin "Up", zweites Elektron mit Spin "Down" - und
umgekehrt. Wir erwarten bei Vertauschung von Elektron 1 und 2 natürlich keinen Unterschied im
Ausgang des Experiments. Dann haben wir noch die Möglichkeit, daß beide Spin "up", oder beide
Spin "down" haben. |
|  | Wenn
man alle Möglichkeiten durchdekliniert, wird es langsam eng für die Möglichkeiten, die für den
Phasenfaktor noch bleiben. So eng, daß in voller Allgemeinheit (für alle möglichen Teilchen mit allem
möglichen Spins) nur noch zwei Phasenfaktoren übrig bleiben: |
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exp if | = | { | + 1 | | Bose Teilchen | – 1 | |
Fermi Teilchen |
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 | Mutter Natur hat nun aus Gründen
die nur sie kennt, beide der logisch möglichen Fälle realisiert. Das
Pluszeichen gilt für alle Bosonen, also Teilchen mit ganzzahligem Spin, das
Minuszeichen für alle Fermionen, also Teilchen mit halbzahligem Spin. |
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Man kann das ganze noch etwas "anschaulicher" darstellen. Der
entscheidende Gedanke bei den hypothetischen Streuexperimente war, daß man alle möglichen Parameter in der
Ausgangssituation austauschen kann, ohne daß sich am Ergebnis etwas ändern darf. |
|  | Das bedeutet, daß wenn man in einer
der relevanten Wellenfunktionen bei den Variablen welche "tauscht", z.B. die Positionsvektoren der beiden
Teilchen oder ihre Spinrichtung, wird aus der alten Wellenfunktion y(vor
Vertauschung) eine neue Wellenfunktion y(nach Vertauschung), und diese Operation
läuft immer nach folgendem Muster ab: |
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y(nach Vertauschung) | = | { | y(vor Vertauschung) | | Bose Teilchen | – y(vor
Vertauschung) | | Fermi Teilchen |
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 | Haben wir damit das Pauli-Prinzip
erklärt? |
|  | Haben wir
natürlich nicht. Wir haben es nur anders formuliert. Wir haben zwar verstanden, daß für
ununterscheidbare Teilchen prinzipiell zwei Möglichkeiten existieren, wie sie sich bei Interaktionen verhalten
können. |
|  | Warum sie sich je
nach Halb- oder Ganzzahligkeit ihres Spins für jeweils eine der beiden Möglichkeiten entscheiden - das ist
aber immer noch völlig unklar und keine unmittelbare Konsequenz aus anderen tiefen Prinzipien. |
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© H. Föll (MaWi 1 Skript)