 | Die Darstellung der Bindungsenergie - genauer der potentiellen Energie des
Bezugsatoms - als Funktion des Abstands von Bindungspartnern - ist, in jeder Näherung, eine außerordentlich
nützliche Graphik; im Unterkapitel 2.2.2 sind wir diesem Konzept schon
begegnet. Jede solche Darstellung die ein Minimum der potentiellen Energie besitzt, nennen wir "Potentialtopf" Der Potentialtopf zeigt - zusammen mit seinen Ableitungen - sofort
wesentliche Elemente der Bindung: |
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|  | Die Bindungsenergie U0, gegeben durch die Tiefe des
Potentialtopfes, |
| | Den Gleichgewichtsabstand r0, definiert durch den Ort des
Minimums. |
| | Die Kraft F, die auf das betrachtete Atom wirkt, wenn es einen beliebigen Abstand
r vom Partner hat; sie ist per definitionem gegeben
durch |
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| | Die Kraftkurve ist also die (negative)
Ableitung der Potentialkurve. Bei r0 geht sie durch Null - wie das sein muß. |
| | Die maximale Kraft Fmax die man braucht um die Verbindung zu lösen; gegeben durch
das Maximum der Kraftkurve, d.h. durch die Bedingung |
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| Dazu wollen wir eine kleine
Übungsaufgabe machen |
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| Hat man viele Atome, werden sie sich solange bewegen, bis alle im Minimum eines Potentialtopfs
sitzen, d.h. (im Mittel) keine Kräfte von den Nachbaratomen mehr spüren |
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| Das kann man sich in einem "advanced" Modul mal per Simulation anschauen. Mit in bißchen Spielen kann man Kristalle bilden und
wieder schmelzen! |
| Die Potentialtopfkurve kann aber
noch mehr veranschaulichen. Wenn die Atome nicht vollständig ruhig beim Gleichgewichtsabstand
r0 sitzen, sondern um diese Gleichgewichtslage vibrieren;
tun sie das im Potentialtopfbild, indem sie wie eine Kugel in einem wirklichen Topf mit der entsprechenden Gestalt,
die Wände hoch- und runterlaufen |
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| Dabei kann - es gilt die Quantentheorie
- nicht jede beliebige Schwingung auftreten, sondern nur solche die bestimmte,
durch die Lösung der entsprechenden Schrödingergleichung gegebene Energien haben können. Die damit
verbundenen Energien kann man als Energieniveaus (die bei Atomen wegen der
großen Masse dicht benachbart sind) in den Potentialtopf einzeichnen und der Graphik folgende Informationen
entnehmen: |
| | Die Frequenz der Schwingung; einfach aus der Masse und der durch den
Potentialtopf gegebenen Rückstellkraft. |
| | Die Amplitude der Schwingung als Differenz der beiden
Extremabstände rmax und rmin. |
| | Die ungefähre Schmelztemperatur (oder Zersetzungstemperatur). Sie ist erreicht, wenn die thermische
Energie, die ja nichts anderes ist als die in den Schwingungen sitzende Energie, ungefähr gleich der
Bindungsenergie wird. Denn dann ist das Atom bei rmax schon so weit vom Partner weg, daß
es kaum mehr eine Rückkehrkraft spürt. |
| | Die Größenordnung der thermischen Ausdehnung. Durch
die Asymmetrie des Potentials ist das Atom insbesondere bei großen Amplituden im Mittel weiter vom Partner
entfernt als r0 - der Bindungsabstand wird länger; das Material dehnt sich beim
Erwärmen (= mehr Schwingungen mit hoher Energie) aus. |
| Quantitative
Beziehungen zu all diesen Größen werden in Kapitel 2.4 abgeleitet. |
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© H. Föll (MaWi 1 Skript)
