2.3.3 Zustaende, Wellen, Energie und Impuls

2.3.3 Zustände, Wellen, Energie und Impuls

	In diesem Modul wiederholen wir ein paar Grundtatsachen über Wellen aus dem Blickwinkel der Wellenfunktion, fassen das soeben Gelernte noch mal zusammen, und legen noch ein bißchen was drauf.
		Man muss nicht alles gleich komplett verstehen. Wichtig ist, sich zunehmend in die Terminologie und Denkweise einzuarbeiten.

Zustände und Zustandsänderungen

	Mit dem Input "Potential" und der Schrödingergleichung als "Datenverarbeiter" erhalten wir als Output die möglichen Zustände des Systems das wir berechnen. Bisher war das immer ein Elektron.
		Ein Zustand wird durch eine von typischerweise ¥ viel möglichen Wellenfunktionen plus einer zugehörigen Gesamtenergie definiert. Die Sortierung der ¥ vielen Lösungen erfolgt durch ein mehr oder minder umfangreiches System von Quantenzahlen.
		Typischerweise tauchen in der Wellenfunktion Ausdücke der Form exp(ikr) auf. In der Reinform haben wir dann eine ebene Welle. Die Größe k heißt Wellenvektor, sie enthält die folgenden Informationen über die ebene Welle: Ausbreitungsrichtung der Welle (in k Richtung). Die Wellenlänge l = 2p/k. Den Impuls der Welle p = k. Die Energie E_k der (ebenen) Welle in der Form einer Dispersionsrelation E_k = (k)²/2m_e.
		Alle Wellensorten könen durch geeignete Überlagerungen von ebenen Wellen dargestellt werden. Die Bedeutung des Wellenvektors (oder dann der Wellenvektoren) bleibt erhalten, jedoch kann sich die Dispersionsrelation E_k(k) stark ändern.
	In der formalen Beschreibung eines Zustands taucht die Zeit nicht auf. Ein Elektron in einem Zustand tut so gesehen nichts, es existiert in zeitlich unveränderlicher Form; nichts passiert.
		Falls was passieren sollte, d.h. falls sich was ändern sollte, hat sich nicht der Zustand geändert, sondern das Elektron hat seinen Zustand gewechselt. Es wird jetzt durch eine andere Wellenfunktion beschrieben und hat, wenn sich wirklich was ändern soll, jetzt auch eine andere Energie.
		Die interessanten Zustandsänderungen bedingen damit Energieaufnahme oder -abgabe, und das immer in Quanten, die zum Abstand der Energieniveaus passen.
	Der Energieerhaltungssatz erzwingt einen Partner für Zustandsänderungen. Die Energie muss von "jemand" kommen oder an "jemand" gehen. Die Auswahl an Partnern für die uns interessierenden, im Kristall herumlaufenden "freien Elektornen" ist aber begrenzt; wir haben nur: Atomkerne (aus Protonen und Neutronen zusammengesetzt) + Elektronen = Atome oder Ionen = "der Kristall" für uns. Andere (freie) Elektronen. Photonen = "Lichtteilchen".
	Das war's. In den drei Möglichkeiten steckt alles, was uns in dieser Vorlesung interessiert:
		Die Nummer 1 koppelt die Vibrationen der Kristallatome oder ihre thermische Energie an die freien Elektronen, die im Leiter und Halbleiter den Strom tragen. Hier kommt die Temperatur als wesentlicher Parameter ins Spiel.
		Die Nummer 2 ist trickreich. Unser Elektron muss die anderen Elektronen vermeiden wie die Pest - es gilt das Pauli Prinzip. Das ist entscheidend für die Stromleitung und viele andere Materialeigenschaften.
		Hinter der Nummer 3 verbirgt sich die Solarzelle, die "light emitting diode" oder LED, der Halbleiter-Laser und so ziemlich alles was entfernt mit Licht zu tun hat.
	Deswegen müssen wir uns mit den Grundlagen der Quantentheorie beschäftigen. Man (und frau) kann moderne ET&IT sonst nicht mal ansatzweise verstehen.

Laufende ebene Wellen

Dieser Abschnitt gibt die Essenz dieses bereits mehrfach empfohlenen Links wieder.

In der Übungsaufgabe 2.3-1 haben wir für die Wellenfunktion eines Elektrons (multipliziert mit dem Phasenfaktor ±exp [i · w · t]) eine laufende, ebene Welle bekommen, beschrieben durch.

y(r,t)	=	A · exp[i · k · r] · exp± [i · w · t]	=	A · exp[i · k · r ± i · w · t]

Je nach Vorzeichen ± des Phasenfaktors läuft die Welle nach links oder rechts (selbst überlegen warum). Wir nehmen im Folgenden das – Zeichen

Wir nehmen das mal als typisch für Wellenfunktionen und schauen uns an, was das bedeutet. Falls wir erstmal nur den Realteil verwerten, erhalten wir

Re y(r,t)	=	A · cos[ k · r – w · t]

Es handelt sich um eine laufende ebene Welle, da die Phase wt sich linear mit der Zeit ändert. Zu jedem Zeitpunkt t_i sieht man eine Momentaufnahme der Welle; etwas später zum Zeitpunkt t_i + Dt, hat sich der Cosinus etwas "verschoben" - die Welle "läuft"; wie weiter unten dargestellt.

Für den Imaginärteil gilt natürlich im Prinzip dasselbe.

In der Quantenmechanik betrachten wir nicht nur den Realteil, denn die Wellenfunktion ist eine intrinsisch komplexe Funktion, d.h. nicht nur aus Gründen der Schreibökonomie.

Physikalische Bedeutung hat aber (für uns) nur das Betragsquadrat der Wellenfunktion, y · y*; und das ist eine reelle Funktion oder Zahl. Wir erhalten:

y · y*	=	AA*

Das Betragsquadrat dieser Wellenfunktion ist also eine Konstante, r und t "fliegen raus". Deswegen kann man den Phasenfaktor getrost immer gleich weglassen.

Damit ist die Aufenthaltwahrscheinlichkeit des Elektrons im betrachteten Raum überall gleich. Unten ist die Wellenfunktion für zwei verschiedene Zeiten und die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte |y|² dargestellt.

Stehende Wellen

Falls jemand die Übungsaufgabe 2.3.1-1 auch für feste Randbedingungen (richtig) gerechnet hat, wird als Lösung der Schrödingergleichung stehende Wellen bekommen haben.

Stehende Wellen erhält man immer indem man zwei in entgegengesetzte Richtungen laufende Wellen überlagert. Die Formel dazu sieht so aus:

y(r,t)	=	exp[+ i · k · r] · exp [i · w · t] ± exp[– i · k · r] · exp [i · w · t]

Wie man die Überlagerung macht ist egal - daher das ± Zeichen.

Betrachten wir den Fall mit der + Überlagerung der beiden Wellen, so ergibt sich

y(r,t)	=	2 · cos[k · r] · exp [i · w · t]

Der Realteil dieser Funktion zeigt wiederum die Eigenschaften dieser Welle:

Re y(r,t)	=	2 · cos[ k · r] · cos [ w · t]

Das Betragsquadrat der Wellenfunktion, also die quantenmechanische Aufenthaltwahrscheinlichkeit von z.B einem Elektron. ist nun nicht mehr konstant im Raum, sondern gegeben durch

\|y\|²	=	4 · cos²(k · r)

Und das sieht für zwei stehende Wellen y₁ und y₂, mit Frequenz n₁ und n₂ = 2n₁ (oder k₂ = 2k₁) so aus:

Die Wahrscheinlichkeitsdichte hat jetzt Maxima und Minima an denen sie = 0 ist.

Kugelwellen

Kugelwellen sind Wellen, die sich von einem Punkt aus in alle Richtungen gleichförmig ausbreiten. Zweidimensional kennt das jede und jeder, die/der schon mal einen Stein ins Wasser geworfen hat.

In der Welt der Physik/Materialwissenschaft treten Kugelwellen aber auch auf wenn man z.B. Licht (oder Elektronenwellen oder Phonen (= Gitterschwingungen) oder ...) an einem "punkt"förmigen Streuzentrum (ein Atom, ein anderes Elementarteilchen, eine Ausscheidung ...) , nun ja, halt streut.

Jedes denkbare Streuzentrum ist hinreichend punktförmig sobald es viel kleiner ist als die Wellenlänge der Welle, die gestreut wird.

Die gestreute Welle wird im Nahfeld, d.h. in der Nähe des Streuzentrums, beschrieben durch

y (\| r \|, t) =	1 \| r \|	· exp [i · (\|k \| · \| r\| + wt)]

Und das sieht so aus:

Elektron als Wellenpaket

Wie beschreibt man nun ein einzelnes Elektron, Proton, Neutron (oder, falls wir gleich verallgemeinern: ein Atom, viele Atome; Herrn Schröder, das Universum); das wir nicht als Lösung der Schrödingergleichung bekommen, sondern von dem wir einfach wissen, daß es sich irgendwo, d.h. an einem halbwegs definierten Ort befindet, und keinesfalls überall gleichzeitig sein kann. Außerdem wird es evtl. auch noch mit einem halbwegs definierten Impuls herumlaufen.

Eine unendlich ausgedehnte ebene Welle mit konstanter Aufenthaltswahrscheinlichkeit überall kann das einfach nicht leisten.

Wir beschreiben das so, dass wir den ebenen Wellenterm exp(ikr) beibehalten, aber das Teilchen trotzdem halbwegs lokalisieren.

Wir betrachten jetzt also ein Elektron das aus irgendwelchen Gründen nicht mehr gleichmäßig über den ganzen Raum verschmiert ist, sondern in einem mehr oder weniger präzise definierten Raumbereich lokalisiert ist.

Es hat dann keinen reinen Wellencharakter mehr, sondern verhält sich auch wie ein Teilchen, da es nur in einem bestimmten Raumbereich eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit hat.

Rein mathematisch beschreiben wir das mit einem Wellenpaket, das wir durch eine Überlagerung von ¥ vielen Wellen erhalten. .

Dazu nehmen wir Wellenvektoren mit verschiedenen Amplituden; d.h. A = A(k) aus einem Intervall [k – Dk/2 , k + Dk/2]

Die ¥ vielen Wellen werden aufaddiert oder integriert; wir erhalten

y(\| r \|, t) =	k + Dk/2 ó õ k – Dk/2	A(k) · exp[i · (k · r + w · t)] · dk

Jetzt müßte es im Kopf klingeln: Das sieht nicht nur wie eine Fouriertransformierte aus, sondern das ist die Fouriertransformiert des "Spektrums", der Verteilung der Amplituden auf die k-Werte (und damit auch auf die Frequenzwerte).

Was dabei rauskommt sieht etwa so aus:

Elektron als Wellenpaket zu verschiedenen Zeiten.
Der Realteil der Wellenfunktion ist rot dargestellt,
die Wahrscheinlichkeitsdichte (= Betrag yy*) ist blau.

Kann man das einfach verstehen? Ja - wir brauchen nur einen Haufen Sinüsse mit verschiedenen Wellenlängen zu nehmen, die wir so überlagern, daß bei x = 0 alle den Wert 1 haben.

Die Überlagerung produziert dann bei x = 0 einen ziemlich großen Wert, aber etwas entfernt davon gibt es nur noch ein wildes Gewusel aller möglichen Werte, die sich gegenseitig aufheben.

Etwas vornehmer ausgedrückt: Die Fouriertransformierte einer Deltafunktion enthält alle Frequenzen von 0 bis ¥ mit gleicher Amplitude. Engen wir den Frequenzraum ein (indem wir z.B. die Amplitude mit wachsendem Abstand von einer Grundfrequenz auf 0 fahren, ergibt sich ein Wellenpaket.

Das Wellenpaket hat also eine Unschärfe des Wellenvektor von Dk, und damit eine Impulsunschärfe. Nach der Unschärferelation ist das Elektron daher auf einen endlichen Raumbereich Dx beschränkt, im Gegensatz zum Elektron als laufende Welle, das im gesamten Raum verteilt ist.

Was können Wellen, was Teilchen nicht können?

In der klassischen Physik gibt es nicht nur Teilchen, es gab immer schon auch Wellen - z. B. elektromagnetische Wellen, Wellen in Wasser, und akkustische Wellen.

In der Tat: Bläst man in eine Orgelpfeife oder Flöte der Länge L, regt man eine stehende Welle im Druck p der folgenden Form an:

p( x, t)	=	p₀

k	=	2pn /L oder nl = L

n	=	1, 2, 3, 4, ..

In anderen Worten: In der Orgelpfeife (oder auf der Violinsaite) können nur Wellen "leben", deren Wellenlängen l exakt in die Länge L passen.

Bläst man in ein kugelförmiges Musikinstrument (z. B. eine Okarina) regt man ... . Genau! Man regt nahe Verwandte der Kugelwellenfunktionen des Wasserstoffatoms an! Deshalb war die Mathematik des Wasserstoffatoms schon vor seiner "Erfindung" bekannt!

Was also ist neu? Nun - alles. Teilchen können jetzt einiges, was sie klassisch niemals könnten:

Sie können (mit sich selbst!) interferieren, d. h. sich gegenseitig verstärken oder auslöschen.
Sie können an periodischen Strukturen gebeugt werden.
Sie werden von Hindernissen beeinflusst, die sie auf ihrer Flugbahn gar nicht tangieren.
Sie können durch massive Wände einfache "tunneln".
Sie können "überall" gleichzeitig sein (Wo genau "ist" denn eineWelle?)
Sie können auf Randbedingungen wie "Flötenlänge" reagieren und nur noch diskrete Zustände einnehmen.

Eine Frage müßte sich aufdrängen:Was für eine Wellenlänge hat denn ein Teilchen wie z. B. ein Elektron? Das kann man mit dem schon Gelernten selbst herausfinden!

Übungsaufgabe
Aufgabe 2.3-2

OK - gehen wir mal ganz kurz durch die obige Liste. Und was folgt sind nicht Spekulationen sondern durch zahllose Experimente bis ins Kleinste bestätigte Fakten.

Interferenz von Teilchen?

Teilchen als Teilchen laufen mit konstantem v gegen eine Wand mit zwei schmalen Schlitzen. Entweder laufen sie durch die Schlitze oder sie werden reflektiert. Hinter der Wand findet man Teilchen nur exakt hinter den Schlitzen (mit "Wahrscheinlichkeit" w = 1) und sonst nirgendwo (d. h. mit "Wahrscheinlichkeit" w = 0).

Doppelschlitzexperiment

Was ein Teilchen macht	Was eine Welle macht

Teilchen als (ebene) Welle (oder wer's lieber hat: als Wellenpakete) laufen mit konstantem k gegen eine Wand mit zwei schmalen Schlitzen. Jedes Teilchen läuft gleichzeitig durch beide Schlitze und interferiert mit sich selbst. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen hinter der geschlitzten Wand zu finden, sieht aus wie ein typisches Interferenzmuster, denn es ist ein Interferenzmuster.

Beugung an an periodischen Strukturen,

Ein optisches Gitter ist eine periodische Struktur; Licht wird daran gebeugt falls die Gitterkonstante und die Wellenlänge vergleichbare Größenordnungen haben - d. h. im µm Bereich liegen.

Ein Kristall ist eine periodische Struktur mit einer Gitterkonstante im Angström (Å) Bereich (= 0.1 nm). Materiewellen werden daran gebeugt, falls ihre Wellenlänge ebenfalls in diesem Bereich liegt - was sie für Elektronen tut, wie wir wissen falls wir Aufgabe 2.3-2 gemacht haben


Beugung von Licht am optischen Gitter	Beugung von Materiewellen am Kristallgitter

Was für die Elektrotechnik der Oszillograph, ist für die Materialwissenschaft die Beugung von "Teilchenwellen" oder Materiewellen am Kristall. Wir werden das später brauchen und ausführlicher besprechen.

Wellen, eigentlich nicht vorhandene Hindernisse, und der Tunneleffekt

Kommt ein Teilchen geflogen, auf der Höhe h₀, mit der kostanten Geschwindigkeit v. Dann ist da noch eine knallharte Mauer mit der Höhe h < h₀ (Bilder oben) oder h > h₀ (Bilder unten). Schaun' mer mal was klassischen Teilchen und Teilchenwellen dabei so passiert.


Klassisches Teilchen und Mauer	Materiewelle und Mauer

Was ein klassisches Teilchen macht ist völlig klar: Es fliegt entweder über die Mauer und nimmt sie dann überhaupt nicht wahr, oder es knallt dagegen und wird reflektiert. Eine Materiewellen dagegen macht sehr merkwürdige Dinge:

Es nimmt die Mauer auch dann wahr, wenn es problemlos drüberfliegen könnte. Ein Teil der Welle wird reflektiert, der Rest fliegt weiter.
Falls es tief genug fliegt um gegen die Mauer zu knallen, wird es zwar reflektiert, aber nur ein Teil, der Rest "tunnelt" durch die Mauer und fliegt auf der anderen Seite weiter. Wir haben den Tunneleffekt.

Wie darf man das verstehen? Schlicht und ergreifend so, dass die Betragsquadrate der Wellenfunktionen für die Zustände "Reflektiert obwohl es drüber paßt" (= y_{r, d}) und "Durchgetunnelt obwohl es knallt" (= y_d,
k) nicht Null sind. Es besteht eine endliche Wahrscheinlichkeit dafür, das (ganze) Teilchen mit v oder –v rechts oder links der Mauer zu finden. Wie groß diese Wahrscheinlichkeiten sind (d.h. die Zahlenwerte von |y_r,
d|² und |y_d,
k|²) hängt von der Höhe (und vor allem auch Dicke) der Mauer ab.

Der Tunneleffekt scheint etwas ziemlich exotisches zu sein. Der Schein trügt! Er kommt in jedem modernen Mikroelektronik Chip und in vielen anderen ET Produkten sehr stark zum Tragen!

Wellen können überall gleichzeitig sein.

Ein klassisches Teilchen ist entweder hier oder dort - mit hoher Präzision. Von hier nach dort kommt es durch eine entsprechende Bewegung; dazu braucht es eine Zeit Dt, die man ausrechnen kann.und die nicht beliebig klein sein kann, sagt A. Einstein.

Wo ist denn eine ebene Welle y₀ · exp(i · k · r) gerade? Oder Dt später? Wie wir in Übung 2.3-1 (hoffentlich) ausgerechnet haben, ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit y₀ · y₀ = |y₀|² für das zugehörige Teilchen überall konstant.

Was bedeutet konkret eine Aussage wie "die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist überall konstat und = 0,1"? Wenn ich eine Messung an einem definiertem Ort mache, finde ich ja keine zentel Teilchen, sondern mein Messinstrument sagt mir eindeutig, "das Teilchen war zum Zeitpunkt t_o der Messung bei (x_o, y_o, z_o) entweder komplett da oder komplett nicht da". So ist das auch - der Detektor registriert entweder ein komplettes Teilchen oder gar keines. Wenn ich für unser Beispiel 1000 mal messe, wird es etwa 100 mal da sein und 900 mal nicht. Genau wie auch sonst in der Stochastik: Ein Würfel gibt jede Zahl auf seinen Seitenflächen mit der gleicher Wahrscheinlichkeit 1/6, aber bei jedem Wurf eben nur eine einzige wohldefinierte Zahl.

Wie ist das bei anderen Wellen? Exakt so wie bei "gezinkten" Würfeln. Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht mehr überall gleich, sondern wir haben jetzt eine Aufenthaltswahrscheinlickeit |y₀|²(x, y, z, t) die eine Funktion des Ortes und vielleicht der Zeit ist.

Man könnte sich natürlich ein Wellenpaket nach obigem Vorbild auch so konstruieren, dass nur ein scharfer Peak vorhanden ist mit minimalen "Unterschwingern". Dann weiß man ziemlich genau wo das Teilchen sein muss; man hat es bis auf ein kleines Dx lokalisiert. Aber je schärfer defniert, je mehr Wellen mit exp[i · (k_n · x) mit verschiedenen k_n muss ich überlagern (für eine d Funktion ¥ viele). Das heißt, bei einem solchen scharfen Wellenpaket weiß ich leider fast nichts mehr über seinen Wellenvektor k und damit den Impuls p = k. Er ist bestenfalls noch bis auf ein Dk bestimmbar. Rechnet man das durch, erhält man Dx · Dk < h als grundsätzliche Eigenschaft aller Wellen - und da sollte uns bekannt vorkommen!

Wellen können auf Randbedingungen wie "Flötenlänge" reagieren und dann nur noch diskrete Zustände einnehmen..

Das ist eine gute Nachricht! Die Quantisierung kommt in der Regel durch die Randbedingungen zustande (siehe Übung 2.3-1). Ein Orgelpfeife, eine Violinsaite, eine Tuba kann halt nicht alle Töne sondern nur die, die geometriebedingt passen.

Richtig hörbar ist das aber nur in Bereichen in denen Wellenlänge und Geometrie die gleiche Größenordung haben. In das Instrument "Hörsaal" passen jede Menge Wellen mit nahezu beliebigen Wellenlängen, die sehr viel kleiner sind als die Ausdehnung des Raums; von der Quantisierung merkt man dann nichts mehr. Lärm mit beliebigen Frequenzen ist möglich. In anderen Worten: In der halbwegs makroskopischen Welt wird man von Quantisierung bei Teilchenwellen mit sehr kleiner Wellenlänge (Aufgabe 2.3-2) nicht mehr viel merken - es gilt die klassische Physik als sehr gute Näherung!

An dieser Stelle sieht man, warum die Quantentheorie (fälschlicherweise) als Theorie "nur" für das sehr Kleine gesehen wurde (und wird): Die Quantisierung ist bei Randbedingungen für "große" Systeme nicht mehr wahrnehmbar. Sie ist aber trotzdem da, und definiert die Zustände, auch wenn Parameter wie Energie usw. unmessbar dicht nebeneinander sitzen.

Stay cool, (Wo)man!

	Man kann jetzt leicht zum Schluss kommen:
		Kann man nicht verstehen, sondern allenfalls in Form vom Mathe nachvollziehen und ausrechnen. Die einschlägige Mathematik ist grundsätzlich involvierter als bei der klassischen Physik
		Ja schon - aber: Dauert "verstehen" halt ein Weilchen, wenn man mit etwas völlig Neuem konfrontiert wird. Werden wir die involvierte Mathe (Operatoralgebra, Hilbertraum, ..) weitgehend vermeiden. Gibt es eine Vereinfachung derart, dass man die altbekanten klassischen Formeln und Begriffe (sowie die "Denke") weiter benutzen darf, vorausgesetzt man hat den einen oder anderen Parameter geeignet umdefiniert.
		Punkt 3 beschreibt, was was wir hier weitgehend tun werden.
	Also: Kein Grund zur Panik. Wer z. B. den klassischen, angetriebenen, harmonische Oszillator mit Reibung beherrscht, braucht keine Angst vor dem was kommt zu haben! Wir werden ihn nicht quantenmechanisch angehen!