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Klassisch gesehen besteht ein Atom
mit der Ordnungszahl
z aus einem sehr kleinen Atomkern mit z positiven
Elementarladungen der von z einfach negativ geladenen Elektronen
im Abstand von rund und roh 1 Å = 0.1 nm "umkreist"
wird. |
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Im großen und ganzen ist das ein
Planetenmodell. Die Kraftgesetze
von Gravitation und Coulombwechselwirkung haben identische
1/r2 Abhängigkeiten - beide haben ein –1/r
Potential. |
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Leider funktioniert das nicht. Rechnungen zum
Planetenmodell der Atome ergeben komplett falsche Ergebnisse gemessen am
Experiment - und nur das zählt! |
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Auch sonst versagt die klassische Physik and
allen Ecken und Enden sobald man sich der Welt der Atome und Elementarteilchen
nähert; im
Link
gibt es Beispiele. |
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Nicht so schlimm - der
ET&IT Ingenieur beschäftigt sich schließlich nicht mit
dem Kleinzeugs, könnte man denken. |
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Falsch! Würde man die Quantentheorie
"abschalten" und nur die klassische Physik gelten lassen, würde
nicht nur das Universum in sich zusammenfallen, es gäbe schlicht keine
Elektronik mit Halbleitern (und damit keine
IT) mehr. Noch nicht mal die gute alte Elektronik mit Elektronenröhren würde noch funktionieren.
Von Lasern, Magnetspeichern,
GMR Leseköpfen
beruhend auf dem "Gigantomagnetowiderstandseffekt", LED's,
usw., ganz zu schweigen. |
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Wir nehmen mal zur
Kenntnis: Für ET&IT Ingenieure gibt es nur 3
"Teilchen" aus denen die Welt besteht (MaWi's und Physiker kennen und
benützen noch ein paar Exoten, wie z. B.
Positronen). |
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- Atomkerne.
("Unteilbar", aus Protonen und Neutronen zusammengesetzt).
- Elektronen.
- Photonen = "Lichtteilchen".
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| Das
war's |
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Mehr ist nicht. Die Quantentheorie ist die Wissenschaft von den
Eigenschaften und Interaktionen dieser Teilchen. |
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Man braucht aber mindestens zwei
Semester um die Quantentheorie halbwegs gründlich zu lernen, vom Verstehen
ganz zu schweigen. In den maximal 2 Stunden, die hier zur Verfügung
stehen, können wir allenfalls ein paar wenige Schlüsselbegriffe
formulieren. |
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Wer ein bißchen mehr tun will, macht sich
über die "Ergänzende
Quantentheorie" im Rückgrat 2 her. |
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Hier gehen wir pragmatisch vor und
schauen uns mal das Potential eines
Elektrons im Atom an, ganz analog zum Bindungspotential zwischen Atomen
oder Ionen. |
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Ein Atom mit der
Ordnungszahl z hat durch die Coulombwechselwirkung
"irgendwie" z Elektronen gebunden.. Ein Atom ist rund
und roh einige wenige Å = 0.1 nm "groß" und wir
nehmen mal an, dass die z Elektronen sich in einer entsprechend
großen Kugel halbwegs gleichmäßig verteilt aufhalten. |
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Das würden sie schon deshalb tun, weil sie
sich abstoßen und deswegen ihre gegenseitige Abstände maximieren
möchten. |
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Den Atomkern plus z – 1
Elektronen können wir deshalb als eine mit einer effektiven positiven Elementarladung versehene
Kugel etwas unklarer Größe auffassen, die das z-te
Elektron ganz außen noch mit einem –1/r Potential
bindet. |
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Wer das zu abstrakt findet, betrachtet halt
erstmal nur das Wasserstoffatom - da stimmt das Coulombpotential zu 100
%. |
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Unser Elektron sitzt damit in einem
Potentialtopf wie unten gezeigt. |
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Coulombkraft Geometrie beim
H Atom.
Das Potential rechts gilt exakt.
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Coulombkraft Geometrie bei
beliebigen Atom
für das Elektron ganz außen.
Das Potential links gilt ungefähr. |
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Das z-te Elektron ganz außen
ist am wenigsten stark gebunden und deshalb am leichtesten abzutrennen. Die
dazu notwendige Arbeit ist das Integral vom jeweiligen Abstand r
bis ¥; es kann fast jeden beliebigen
Wert annehmen; je nach Ausgangspunkt r. |
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Merkwürdigerweise ist die
Ionisationsenergie,
der Zahlenwert des obigen Integrals für jedes Atom der betreffenden Sorte
immer exakt gleich. Das bedeutet, dass
unser "letztes" Elektron auf einem eindeutig definierten
Energieniveau (rote Linie "sitzen" muss - es kann sich nur in einem
Zustand befinden, zu dem eine
eindeutige Energie gehört (und im Bild ein eindeutiges r).
Da seine Energie jedoch konstant sein muss, können wir ein konstantes
Energieniveau für
alle Abstände einzeichen. |
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Zustände dieses Elektrons mit irgendwelchen
anderen Energien sind "verboten". Hier haben wir schon einen klaren
Bruch mit der klassischen Physik. |
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Wir haben zum erstenmal den
Schlüsselbegriff Zustand (des Systems)
verwendet; im Zustand ist die gesamte relevante Information enthalten. |
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Was für ein Elektron gilt, muss für
alle gelten (alle Elektronen sind gleich!):
Sie müssen alle auf energetisch
eindeutig definierten Niveaus sitzen, die zu erlaubten Zuständen des Systems "Atom"
gehören. |
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Das können wir mal schematisch
aufzeichnen: |
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Im Bild sind einige wichtige Punkte
angedeutet; andere lassen sich nicht so leicht graphisch darstellen. Hier ist
eine Liste: |
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1. Es gibt ¥ viele, aber immer diskrete Energienievaus, die für zunehmende
r immer dichter aufeinander folgen. Da wir aber nur
z Elektronen haben, können nicht alle vorhandenen
Energieniveaus von Elektronen "besetzt" sein. Das ist durch die
Strichelung weiter oben angedeutet. |
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2. Vom letzten (von unten aus gesehen)
besetzten Niveau braucht man immer exakt die Ionisationsenergie I
um das am schwächsten gebundene Elektron (= auf dem höchsten
besetzten Niveau) ins Unendliche zu bringen, d. h. komplett abzutrennen. |
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3. Man kann - mit entsprechend mehr
Energie - natürlich auch stärker gebundene Elektronen ins Unendliche
bringen (es gilt der 1. Hauptsatz!). |
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4. Man kann aber nicht ein Elektron auf ein Energieniveau bringen,
das keinem erlaubten Zustand entspricht, es also zwischen den roten Strichen
ansiedeln |
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5. Während das letzte besetzte Niveau
sich im Bereich einiger eV bis einiger zig eV befinden muss (wir
kennen die Ionisatisonenergien aller
Atome!), geht die Skala nach unten leicht bis zu einigen 1.000 eV.
Irgendwo ist aber das tiefstmögliche
Niveau- darunter kommt nichts mehr. |
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6. Auf einem gegebenen Energieniveau
können immer mindesten 2 Elektronen "sitzen", aber auch
mehr als zwei - immer jedoch eine exakt definierte und nicht zu große
Anzahl. |
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7. Trotzdem hat jedes Elektron einen
definierten Zustand, der sich vom Zustand
jedes anderen Elektrons eindeutig unterscheidet. Damit folgt notwendigerweise:
- Zustände sind nicht nur durch die
Energie definiert.
- Verschiedene Zustände (wie auch immer unterschieden) können
dieselbe Energie haben. Man nennt diese Zustände dann bezüglich der
Energie entartet.
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8. Jetzt kommt das größte
Mysterium der Quantentheorie, das Pauli Prinzip |
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| Elektronen in einem System dürfen nie denselben Zustand
einnehmen |
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Während man alle anderen Prinzipien oder
Axiome der Quantentheorie in Bezug zu Prinzipen der klassischen Physik setzen
und damit "anschaulich" machen kann, geht das nicht für das
(hier vereinfacht dargestellte) Pauli
Prinzip. Mehr dazu im Rückgrat 2 und in diesem
Link |
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Unklarheiten dazu werden später
beseitigt; jetzt machen wir erstmal den Schritt zum Kristall. |
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Dazu brauchen wir Bindungen, und Bindung bedeutet
jetzt:
- Die Elektronen der beteiligten Atome müssen sich
"spüren".
- Die bindenden Elektronen gehören nach erfolgter Bindung zum System Molekül oder Kristall und nicht mehr zum
"System" Ursprungsatom
- Durch Eingehen einer Bindung wird Energie gewonnen.
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Wir schauen uns erstmal die Bildung
eines NaCl Moleküls aus der Sicht der Elektronen an, und vertiefen
gleichzeitig die obigen Punkte noch etwas. |
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Halbwegs maßstabsgetreue
Potentialtöpfe der Elektronen in weit voneinander entfernten isolierten
Na- und Cl Atomen sehen etwa so aus: |
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Alles wie gehabt; allerdings haben wir noch ein
paar neue graphische "Zeichen" eingeführt:
- Die Zustände mit gleicher Energie nach irgendeiner Systematik der Form
"nxk" (mit vermutlich n = 1,2,3,...; x =
s,p,d,...(?)..., k = 1,2,3,...) numeriert und dadurch unterschieden.
- Mit grünen Pfeilchen angedeutet, wieviel Elektronen ein Energienievau
besetzen.
- Zwei Sorten Pfeilchen ("rauf" und "runter")
eingeführt, um damit Elektronen mit verschiedenem "Spin" (was immer das ist) zu unterscheiden.
- Die Zahl der tatsächlich vorhandenen Elektronen in der
nxk Systematik durch der Zahl "k"
ausgedrückt.
- Indirekt angedeutet, dass Zustände mit x = s oder x = p
Platz für maximal 2 bzw. 6 Elektronen haben.
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Wie zuvor bei den
Atom"feder"potentialen, verringern wir jetzt den Abstand zwischen den
Atomen. Wiederum dürfen wir die individuellen Potentiale addieren (wobei
wir die negative Skala beachten: –3 eV + (–5 eV) = –8 eV!
–8 ist eine kleinere Zahl als
–3! |
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Beim Bindungsabstand r0
(der sich hier aber nicht "von selbst" über ein Potentialminimum
ergibt), sieht das so aus. |
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Das mit einem Elektron besetzte
3s1 (und im Zahlenwert möglicherweise noch leicht
modifizierte) Energieniveau des Na Atoms liegt über dem maximalen Potential zwischen den
Atomen. Das dort sitzende Elektron kann sich also hinüber zum
Cl-Atom begeben (damit haben wir zwei Ionen produziert) und sich noch zusätzlich energetisch nach unten auf den einen freien Platz des 3p
Niveaus des Chlors setzen. |
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Das System NaCl Molekül hat
gegenüber dem System Na Atom plus Cl Atom Energie gewonnen - die Bindungsenergie. Sie kann nur
bei einem bestimmten Abstand - dem Bindungsabstand r0
- ein Minimum haben, da sie bei zu kleinen oder zu großen Abständen
wieder ansteigen muss. |
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Deswegen läuft diese Reaktion auch
tatsächlich ab. Energiegewinn ist die
treibende Kraft für
Veränderungen! |
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Alle Elektronen sind nach wie vor fest einem Atom
zugeordnet und damit ortsfest - wir haben einen Isolator. |
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´Das war die klassische
Ionenbindung aus der Sicht der Elektronen.
Wie sieht das Ganze bei der Metallbindung
aus - machen wir mal ein Na Metall. |
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Einfach. Gleiches Rezept:
Potentiale überlagen. Allerdings jetzt in drei Raumrichtungen und
wiederholt ins (fast) Unendliche. Geht graphisch nicht, also vereinfachen wir
in eine Dimension: |
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Alles klar? Das 3s-Niveau läge wieder
oberhalb der Potentialmaxima und gehört dadurch jetzt allen Na Atomen im Kristall. Von jedem
einzelnen Na Atom kommt ein Elektron, das auf diesem Niveau sitzen
müßte, da es "weiter unten" keine freien Plätze gibt.
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Das ist aber
durch das Pauli Prizip verboten! Maximal 2 Elektronen dürfen ein
solches Niveau besetzen! |
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Der einzige Ausweg ist die Aufspaltung des im einzelnen
Atom ganz scharfen Energieniveaus auf ein "Energieband" von vielen (ca. soviel wie Atome
im Kristall) dicht benachbarten Energienieaus, die formal zu verschiedenen Zuständen des Kristalls
gehören! So ist es in der Schemazeichnung dargestellt. |
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Bei dieser Aufspaltung kann es zur Absenkung der Energie kommen - wir haben dann einen
Grund zur Bindung! |
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Neu ist: Die Elektronen in diesem Band können im ganzen Kristall
"herumlaufen" und deshalb auch den elektrischen Strom leiten. Wir
haben einen Leiter. |
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Es fehlt noch die
kovalente Bindung. Ist aber wie gehabt.
Hier das Beispiel für Silizium (Si) |
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Der einzige Unterschied zum obigen Bild ist, dass
die notwendige Aufspaltung der über den Potentialminima sitzenden Niveaus
(es können ja auch mal mehr als nur eines sein) zwei Energiebänder produziert haben, mit einer
Energielücke der Weite 1.1 eV
(eine Zahl die wir uns merken müssen!). |
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Falls die Elektronen im unteren Band sitzen,
werden sie nicht so recht beweglich sein. Im oberen Band schon, aber da werden
nur die sich aufhalten, die unten keinen Platz mehr haben. Weder Isolator noch
Leiter - wir haben einen Halbleiter. |
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Mit dem Konzept der Energielücke haben wir schon fast die Halbeiter
definiert und verstanden! Allerdings müssen wir (später) schon noch
etwas genauer hinschauen. |
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Soweit so gut. Die Frage, die sich
jetzt aufdrängt ist: Wie rechnet man
das alles? |
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Die Antwort ist: Man (und frau)
rechnet mit der Schrödingergleichung
als neuer Grundgleichung der Physik. Wir
hingegen tun das aber aber eher nicht, denn dazu fehlt uns nicht nur die Zeit,
sondern auch die notwendige Mathematik. |
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Aber ein bißchen was geht immer - im
nächsten Modul. |
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© H. Föll (MaWi für ET&T - Script)
