Stirlingsche Formel

Die Stirlingsche Formel ist ein unverzichtbares Hilfsmittel bei allen kombinatorischen und statistischen Formeln; sie ermöglicht mit Fakultäten einfach zu rechnen.
Sie existiert in mehreren Versionen, die verschiedene Genauigkeitsgrade darstellen. Sie ist relativ leicht in einfacher Form ableitbar:
Es ist
     ln x!  =  ln 1 + ln 2 + ln 3 + .... + ln x
     ln x!  =  x
S
1
ln y
mit y = die ganzen positive Zahlen beginnend bei 1.
Für große y kann man statt der Summe näherungsweise ein Integral nehmen, es gilt ln y » ln y · dy (von 1 bis x). Es gilt
x
S
1
ln y    »   x
ó
õ
1
ln y · dy
x
ó
õ
1
ln y · dy  =  y · ln y  –  y
Nach Einsetzen der Integrationsgrenzen erhält man
ln x!  »  x
ó
õ
1
ln y · dy  =  y · ln y  –  y x
ç
ç
1
 =  x · ln x – x + 1
Das ist die einfache und leicht zu verstehende Version der Stirlingformel.
Für sehr große x kann man auch noch den Term x + 1 gegenüber x · ln x vernachlässigen und erhält die ganz simple und in der Regel verwendeteVersion

ln x!  »  x · ln x

Damit hat man aber nicht nur eine numerische Näherung genacht, sondern aus einer diskreten Funktion, die nur für ganze positive Zahlen definiert ist und als Ergebis auch immer nur ganze positive Zahlen haben kann, eine kontinuierliche Funktion gemacht, die für alle Zahlen ausgerechnet werden kann, wobei aber offen bleibt, was der Wert für z.B. 3,73! bedeutet.
Das hat Konsequenzen, z.B. den bei der Herleitung der Gaußverteilung verbundenen Übergang von absolutenWahrscheinlichkeiten zu Wahrscheinlichkeitsdichten.
Eine noch genauere Näherung, die aber nicht mehr leicht herleitbar ist und schon für x £ 10 ganz gut ist, gibt die folgende Version der Stirlingschen Formel
ln x!   »  ln (2p1/2)  +  (x + 1/2)  ·  ln (x)  –  x

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© H. Föll (MaWi 1 Skript)