Übung 6.3-1: Umgang mit Fakultäten und der Stirlingformel

Wir haben die Formeln:
Absolute Wahrscheinlichkeit wN(x) mit N digitalen (nur + 1 und – 1) Würfeln die Zahl x zu würfeln (x kann positiv und negativ, gerade oder ungerade sein).
WN(x)  =   0,5 · N!
2N · {1/2 · (N + x)}! · {1/2 · (N - x)}!
Die Stirlingformel
ln y!  »  (y + 1/2) · ln y  –  y +  ln (2p)1/2
Was ergibt sich für WN(x) wenn man mit der Stirlingschen Formel die Fakultäten nähert?
Dabei kann auch noch die physikalische Näherung x/N << 1 verwendet werden, um (über eine geeignete Reihenentwicklung) die Ausdrücke zu vereinfachen.
Was ergibt sich, falls man die einfacheren Versionen der Stirlingformel verwendet? Darf man das - falls nicht, was sind die Kriterien?
 
Dies ist eine unerwartet schwierige Aufgabe mit diversen Überraschungen. Es lohnt sich, zumindest die Lösung anzuschauen.
 

Lösung

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© H. Föll (MaWi 1 Skript)