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Wir ignorieren zunächst den
roten Faktor 0,5; er stammt aus etwas
tieferen Überlegungen bei der Ableitungen der Wahrscheinlichkeit. Wir
können ihn später einfach wieder einsetzen |
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Die Ausgangsgleichungen sind dann |
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| WN(x) = |
N!
2N · {1/2 · (N + x)}! · {1/2 · (N - x)}! |
| ln y! » (y + 1/2) · ln y –
N + ln (2p)1/2 |
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Schreibt man die 1. Gleichung mit Hilfe der
Stirlingschen Formel aus, erhält man |
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| ln w = |
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(N + ½) · lnN – N
+ ln(2p)1/2 |
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– |
{[(½(N + x) +
½) · ln [½(N + x)] – [(½(N +
x)] + ln (2p)1/2} |
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– |
{[(½(N – x) +
½) · ln [½(N – x)] – [(½(N
– x)] + ln (2p)1/2} |
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– |
N · ln 2 |
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Die roten und
blauen Terme addieren sich zu Null, es bleibt |
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| ln w = |
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{(N + ½)
· ln N – ln (2p)1/2 – N
· ln 2} |
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– |
{[(½(N + x) +
½) · ln [½(N + x)]} |
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– |
{[(½(N – x) +
½) · ln [½(N – x)]} |
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Der rote Zeile läßt
sich schreiben als |
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| { } |
= |
N · ln N + ½ · ln N – ln (2p)1/2 – N · ln 2 |
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= |
N · ln (N/2) + ln (N/2p)1/2 |
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und den blauen Term schreiben wir
als |
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| N · ln (N/2)
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= |
½(N + x + 1) · ln (N/2) + ½(N – x + 1)
· ln (N/2) – ln (N/2) |
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Damit erhalten wir |
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| ln w = |
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ln (N/2p)1/2 – ln
(N/2) |
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+ |
½(N + x + 1) · ln (N/2) |
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+ |
½(N – x + 1) · ln (N/2) |
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– |
{½(N + x + 1)
· ln [½(N + x)]} |
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– |
{½(N – x + 1)
· ln [½(N – x)]} |
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oder, zusammengefaßt |
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| ln w = |
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ln (N/2p)1/2 – ln
(N/2) |
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+ |
½(N + x + 1) · {ln (N/2) – ln [½(N + x)]
} |
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+ |
½(N – x + 1) · {ln (N/2) – ln [½(N
– x)] } |
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Die erste Zeile läßt sich zusammenfassen zu |
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| ln (N/2p)1/2 – ln
(N/2) = |
ln (N/2p)1/2 – ln
[(N/2)2]½ = ln (2/Np)½ |
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Die ln Ausdrücke in der 2. und 3.
Zeile lassen sich zusammenfassen zu |
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| {ln (N/2) – ln [½(N + x)] } = |
ln |
N · 2
2 · (N + x) |
= ln |
N
N + x |
= – ln (1 + x/N) |
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| {ln (N/2) – ln [½(N – x)] } = |
ln |
N · 2
2 · (N – x) |
= ln |
N
N – x |
= – ln (1 – x/N) |
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Damit haben wir |
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| ln w = |
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ln (2/Np)1/2 |
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– |
½(N + x + 1) · ln (1 + x/N) |
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– |
½(N – x + 1) · ln (1 – x/N) |
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Weiter kommt man nicht, jetzt
muß genähert werden |
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N war die Zahl der digitalen Würfel, die nur +
1 oder – 1 als Augenzahl haben, x war die Summe der
Augen, d.h. die gewürfelte Zahl zwischen – N und +
N. |
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Da wir immer nur Systeme mit sehr großen N
betrachten, ist es ziemlich unwahrscheinlich, Ergebnisse in der Nähe von
– N und + N zu bekommen; wir können immer x <<
N annehmen. |
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Damit wird aus den ln Ausdrücken der beiden
letzten Zeilen näherungsweise |
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| ln (1 + x/N) |
» |
+ x/N |
| ln (1 – x/N) |
» |
– x/N |
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und wir erhalten |
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| ln w |
» |
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ln (2/Np)1/2 |
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– |
½(N + x + 1) · (x/N) |
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+ |
½(N – x + 1) · (x/N) |
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» |
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ln (2/Np)1/2 –
x2/N |
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Damit ist das Endergebnis |
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| wN(x) = |
æ
è |
2
pN |
ö
ø |
1/2 |
· exp – |
x2
N |
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Eine zwar etwas mühevolle, aber
doch nicht wirklich schwierige Rechnung. |
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Wenn wir den Faktor 0,5 von
oben jetzt dazunehmen, erhalten wir |
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| wN(x) = 0,5 · |
æ
è |
2
pN |
ö
ø |
1/2 |
· exp – |
x2
N |
= |
æ
è |
1
2Np |
ö
ø |
1/2 |
· exp – |
x2
N |
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Aber: |
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Wir starteten mit einer
diskreten Funktion wN(x),
die nur unter folgenden Bedingungen sinnvolle Werte lieferte:
- x, N beide ganzzahlig
- N > x > – N; N > 0
- x, N beide gerade oder beide ungerade.
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Erhalten haben wir eine
analytische Funktion die für jedes positive N und jedes (positive oder
negative) x einen reellen Wert liefert - ob er sinnvoll ist bleibt noch
abzuwarten! |
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Hier steckt wohl ein Problem. Die
diversen Feinheiten der Intepretation sind aber im
advanced Modul genauer
dargestellt. |
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© H. Föll
Kurzfassung der Ableitung der Gauss Verteilung 
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