9.1.3 Dotieren und die Fermienergie

Dotieren von Halbleitern

Technisches Dotieren erfolgt in Si durch die Substitution eines Si-Atoms entweder durch die fünfwertigen Elemente P und As oder durch das dreiwertige Element B.
Einziger Zweck ist, eine genau definierte Dichte (per cm3) NDot an Zuständen für Elektronen dicht an den Bandkanten zu erzeugen. Das sieht schematisch dann so aus:
Dotieren und Banddiagramm
Wo immer ein Dotieratom ins Kristallgitter eingebaut ist, hat sich die Welt für die Elektronen geändert. Die dort vorhandenen Zustände können sich von denen im perfekten Kristall unterscheiden – warum auch nicht?
Insbesondere können, und bei den drei genannten Dotierelementen werden, wohl definierte Energieniveaus in der Energielücke auftreten. Bei Dotierelementen sind diese Energieneveaus per definitionem dicht an den Bandkanten – der Abstand liegt rund und roh um die 50 meV.
Was Dotierelemente können, können auch Defekte aller Art: Sie bewirken Energieniveaus "aller Art" . Sind diese Niveaus mehr in Bandmitte, spricht man von "deep levels", tiefen Niveaus, tiefen Störstellen – oder auch gleich von Dreck und nutzlosem Material, denn diese Niveaus wirken verheerend (was wir aber jetzt noch nicht im Detail verstehen können).
Es ist qualitiativ leicht einzusehen, dass fünfwertige Elemente wie P und As ein zusätzliches Energieniveau dicht an der Leitungsbandkante einfügen, während das dreiwertige Element B ein zusätzliches Niveau dicht oberhalb der Valenzbandkante einführt.
P und As bringen 5 äußere Elektronen ein, können aber nur 4 davon in die Bindung mit den benachbarten Si-Atomen investieren. Das 5. Elektron, sozusagen die Mitgift des P-Atoms für die Ehe mit dem Si-Kristall, ist nur noch lose an sein P-Atom gebunden, ein bißchen Energie (ca. 50 meV) reicht schon, um es ins Leitungsband des Si zu heben. Dort ist es jetzt ein Leitungsbandelektron wie jedes andere auch, frei beweglich und nicht mehr am P-Atom lokalisiert. Im Link kann man sich das schematisch illustriert ansehen.
Das Phosphoratom ist nach Verlust seines 5. Elektrons jetzt einfach positiv geladen (P+). Im Gegensatz zu seinem negativ geladenen Elektron, das sich im Leitungsband herumtreibt, ist es aber ortsfest und kann sich (bei RT) nicht bewegen. Daher ist es kein Ion im eigentlichen Sinn; im allgemeinen Sprachgebrauch wird es aber trotzdem gelegemntlich so genannt.
Das B-Atom bringt nur 3 Elektronen ein; eine der vier Bindungen zu den Si-Nachbarn kann deshalb nicht mit zwei Elektronen gefüllt werden. Anders ausgedrückt, das B-Atom hat ein Loch als Mitgift für die Ehe mit dem Si-Kristall. Diese Loch ist nur lose gebunden. Ein bißchen Energie (ca. 50 meV) reicht schon, um es ins Valenzband des Si zu "heben". Dort ist es jetzt ein Valenzbandloch wie jedes andere auch, frei beweglich und nicht mehr am B-Atom lokalisiert.
Die Symmetrie ist offensichtlich. Was "wirklich" passiert, ist natürlich, dass ein Elektron aus dem Valenzband auf das vom B-Atom eingebrachte Dotierniveau dicht oberhalb der Valenzbandkante springt. Im Ausgangszustand (neutrales B-Atom) ist dieses Niveau ja unbesetzt.
Das Loch ist jetzt im Valenzband und das Bor-Atom hat ein Elektron abgekriegt – es ist jetzt also einfach negativ geladen, gewissermaßen ein "ortsfestes Bor-Ion" B. Im Link kann man sich das schematisch illustriert ansehen.
Im obigen Bild ist das alles schematisch so eingezeichnet.
Wir haben ein zusätzliches Niveau an der Stelle, an der das Atom sitzt. Da uns das aber zu viel Zeichenarbeit abverlangt, ziehen wir einfach einen ganzen Strich quer durch. Auf jeder halbwegs vernünftigen Längenskala würden die Dotieratomniveaus sowieso dicht an dicht sitzen.
Den Abstand zu den jeweiligen Bandkanten zeichnen wir aber unverhältnismäßig groß – sonst können wir bei eindlicher Strichstärke keine zwei Linien sehen.
Die effektiven Zustandsdichten kennen wir auch; sie sind (ausnahmsweise) zusätzlich eingezeichnet. An den Bandkanten haben wir die effektiven Zustandsdichten des Siliziums (hier um die 2 · 1019 cm–3), die Dotieratome bringen pro Atom genau einen Zustand ein, die effektive (oder auch exakte) Zustandsdichte ist also identisch zu der von uns technisch bestimmten Dichte NDot der Dotieratome. Deswegen kennen wir sie!
Im Beispiel des Bildes sind es 5 · 1017 cm–3 Donatoren (= P oder As) und 1 · 1017 cm–3 Akzeptoren (= B).
Damit haben wir zwei neue Fachwörter, die wir unbedingt kennen müssen:
Donatoren können ein Elektron ins Leitungsband abgeben (ein Donator gibt was her).
Das zugehörige Energieniveau sitzt dicht unterhalb der Leitungsbandkante.
Akzeptoren können ein Loch ins Valenzband abgeben bzw. ein Elektron aus dem Valenzband aufnehmen (ein Akzeptor nimmt etwas an).
Das zugehörige Energieniveau sitzt dicht oberhalb der Valenzbandkante
Selbstredend gilt das hier am Beispiel des Si Ausgeführte für alle Halbleiter.
Allerdings müssen wir für jeden Halbleiter die geeigneten Dotierdefekte oder Dotieratome finden. Das ist nicht immer leicht oder überhaupt möglich. Falls wir geeignete Defekte haben, müssen wir immer noch Mittel und Wege finden, um die richtigen Mengen an die richtigen Stellen zu bringen.
Dotieren ist der Dreh- und Angelpunkt der Halbleitertechnologie, aber: it ain't easy, man!
Wir haben nur noch eine Frage:
Wieviele Plätze der Dotierniveaus sind jetzt eigentlich mit Elektronen (oder Löchern) besetzt?
Und wie wirkt sich das auf die Besetzung der Plätze im Valenz- und Leitungsband aus?
In andern Worten: Wir wollen wissen, wo genau die Fermienergie jetzt liegt.
 
Wichtigkeit der Fermienenergie und Wiederholung der Eigenschaften
   
Wir haben ein Stück (perfektes) Silizium, aus dem man eine integrierte Schaltung, einen Chip, machen kann. Wir wissen bereits:
Die Bandlücke EG = 1,12 eV ist eine Materialkonstante.
Die Zustandsdichtefunktion D(E) oder die daraus ableitbare effektive Zustandsdichte Neff ist eine Materialkonstante.
Die intrinsische Ladungsträgerdichte ni = Neff · exp[–EG/(2kBT)] im Valenz- und Leitungsband ist eine Materialkonstante.
Wir müssen aber technisch irgendwas mit dem Silizium tun, damit ein IC daraus wird, wir müssen seine Eigenschaften (lokal) ändern. Die drei oben genannten Parameter sind aber unabänderliche Konstanten – was bleibt?
Es bleiben 2 Möglichkeiten:
1. Wir dotieren den Halbleiter gezielt und ändern dadurch die Fermienergie EF so, wie wir das wollen.

2. Wir verdrecken den Halbleiter unabsichtlich und ändern die Fermienergie EF und die Minoritätsladungsträgerlebensdauer t irgendwie.
Aha! Noch'n Parameter, der bisher nicht vorkam – die Minoritätsladungsträgerlebensdauer. Wenige Sprachen außer der Deutschen können so ein schönes Wort bilden. Wir werden in Kürze lernen, was es bedeutet.
Das war's dann aber. Es bleibt bei diesen zwei technisch manipulierbaren Parametern; es wird auch sonst kein neuer mehr kommen.
Die Fermienergie ist spätestens jetzt der zentrale Begriff der Halbleiterei. Auch wenn sie zunächst unanschaulich und abstrakt erscheint, bleibt keine Wahl: man muss die Fermienergie in Halbleitern einfach verinnerlichen!
Also erst mal eine kurze Wiederhölung der Eigenschaften; was folgt, muss jetzt im Schlaf beherrscht werden!
     
Wiederholung zur Fermiverteilung
Die Fermiverteilung f(E; EF, T) gibt die absolute Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Platz bei der Energie E und Temperatur T in einem System von Fermionen (= Elektronen), das durch die Fermienergie EF charakterisiert wird, besetzt ist.
Ein System, bei dem die Besetzung der verfügbaren Plätze der Fermiverteilung folgt, ist automatisch im thermodynamischen Gleichgewicht, d. h. es hat die kleinstmögliche freie Energie G = ETS und "tut" dann gar nichts mehr.
Die Fermiverteilung sieht für alle Systeme zu jeder Zeit und überall im Universum gleich aus:
f(E; EF, T)   = 


1 
exp æ
è
E  –   EF
kBT
ö
ø
+ 1
Fermiverteilung
Die Fermienergie EF ist die Energie, bei der gilt: f(E = EF; EF, T) = ½. Man darf die Fermienergie auch mit der Energie des letzten besetzten Platzes bei sehr kleinen Temperaturen gleichsetzen; damit läuft man aber hin und wieder in Probleme (z.B. bei Halbleitern und Isolatoren).
Die Breite der "Aufweichungszone", in der die Fermiverteilung deutlich von 0 oder 1 verschieden ist, beträgt ca. 4 kBT.
Nur bei T = 0 K ist Fermiverteilung exakt gleich 0 oder 1; bei endlichen Temperaturen nähert sie sich diesen Werten asymptotisch an.
Die Fermiverteilung ist bzgl. der Fermienergie "punktsymmetrisch": f(E = EF DE; EF, T) = 1 – f(E = EF + DE; EF, T).
1 – f(E; EF, T) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Platz nicht besetzt ist.
Für (EEF) > 2 kBT kann man die Fermiverteilung durch die Boltzmann-Näherung ersetzen:
f(E,T)  »  exp  ( –  EEF
kBT
 )

Lage der Fermienergie in dotierten Hableitern und Ladungsträgerdichte in den Bändern
   
Wir können die Lage der Fermienergie halbswegs richtig ohne Rechnen und nur durch Nachdenken herausfinden.
Dazu betrachte wir zunächst ein Stück Si bei » 0 K, das nur Donatoren in einer Dichte ND enthält, die ungefähr der effektiven Zustandsdichte des Leitungsbands von » 4 · 1018 cm–3 entspricht.
Das sieht dann in Anlehnung an das Bild oben so aus:
Dotieren und Fermienergie
Bei T » 0 K sitzen alle Elektronen bei ihren Atomen – das Valenzband ist voll, das Leitungsband ist leer, und alle Dotieratome haben ihr 5. Elektron auf dem Niveau dicht unterhalb des Leitungsbandes sitzen.
Wir erhöhen jetzt die Temperatur ein kleines bißchen – gerade so weit, dass einige wenige Elektronen des Donatorniveaus ins Leitungsband wechseln können, aber Elektronen aus dem Valenzband das noch nicht schaffen. Im Bild ist das für ein Elektron gezeigt. Wir haben jetzt 1 bzw. ein bißchen allgemeiner nL Elektronen im Leitungsband und nL = ND+ unbesetzte Plätze auf dem Donatorniveau und damit ND+ positiv geladene Donatoren – und immer noch ein volles Valenzband.
Wir haben auch – wie immer – für die jeweiligen Dichten die Beziehung nL = Neff · f(EL) und ND+ = ND · {1 – f(ED)}.
Das bedeutet, dass die beiden roten "Zwickel" im obigen Bild (rechts) ungefähr gleichgroß sind – und damit muss die Fermienergie ungefähr in der Mitte zwischen Leitungsbandkante und Donatorniveau liegen! Für das folgende nehmen wir mal an, dass sie genau in der Mitte liegt.
Damit können wir für tiefe Temperaturen, bei denen noch kaum Elektronen aus dem Valenzband es ins Leitungsband schaffen, für die Ladungsträgerdichte im Leitungsband schreiben:
nL(Dot)  » ND  ·  exp ( ELED
2kBT
)
Wie groß ist jetzt die Dichte nV der Löcher im Valenzband? Nach dem, wie wir uns das überlegt haben, gleich null. Aber halt mal – wir hatten dafür doch schon eine völlig allgemeine Gleichung namens Massenwirkungsgesetz:
nV  =  ni2
nL
Durch Dotieren haben wir nL jetzt viel größer gemacht als im intrinsischen Fall. Damit wird nV jetzt viel kleiner – das ist genau das, was die Formel sagt.
Zeit für einen neuen Eintrag im Halbleiterwörterbuch: Falls wir Halbleiter dotieren, ist die Dichte der Elektronen im Leitungsband und die der Löcher im Valenzband nicht mehr gleich groß, sondern (sehr) verschieden. Wir definieren:
1. Wir nennen alle Halbleiter, die mehr Elektronen im Leitungsband als Löcher im Valenzband haben
"n-dotiert" oder n-leitend,
bei einem bestimmten Material (hier: Silzium) auch einfach n-Si,
da negative bewegliche Ladungen überwiegen.
Den umgekehrten Fall (mehr Löcher als Elektronen) nennen wir
"p-dotiert" oder p-leitend,
bei einem bestimmten Material (hier: Silzium) auch einfach p-Si,
da positive bewegliche Ladungen überwiegen.
Achtung: Eine n- oder p-Dotierung bedeutet nicht, daß ein Material als Ganzes negativ oder positiv geladen ist!!
Achtung: Es kommt hier auf die korrekte Groß-/Kleinschreibung an, denn "p-dotiert" bzw. "p-Dotierung" bedeutet etwas anderes als "P-dotiert" bzw. "P-Dotierung"! Letzteres ist "Dotierung mit P = Phosphor", und im Silizium ist das ein Fall von n-Dotierung!
2. Wir nennen diejenigen Ladungsträger, die die Mehrheit haben, die
Majoritätsladungsträger oder kurz Majoritäten.
Die anderen sind dann die
Minoritätsladungsträger oder kurz Minoritäten.
in Kurzform für Silizium
Donatoren: P und As   Þ  n-Si
Þ   Majoritäten sind Elektronen im Leitungsband. Minoritäten sind Löcher im Valenzband.
Akzeptor: B   Þ   p-Si
Þ   Majoritäten sind Löcher im Valenzband. Minoritäten sind Elektronen im Leitungsband.
Jetzt kommen die Fragen:
Frage 1. Wie lange gilt denn die oben gemachte Näherung, dass nur Elektronen vom Donatorniveau es ins Leitungsband schaffen? Wenn man die Temperatur immer mehr erhöht, werden irgendwann ja auch mal nennenswerte Mengen an Elektronen vom Valenzband "hochgeschickt", die Konzentration ist dann höher als berechnet.
Dieselbe Frage, nur anders formuliert: Wie ändert sich die Lage der Fermienergie mit der Temperatur? Denn woher auch immer die Elektronen im Leitungsband kommen, es gilt nL = Neff · exp[–(ELEF)/kBT]. Soll die Konzentration nL größer werden als mit der Näherung von oben berechnet, muss die Fermienergie ...?
Zeit für eine Übung. (Hinweis: Solange die Fermienergie oberhalb des Donatorniveaus liegt, sind noch nicht alle Donatoratome umgeladen worden, d. h. noch nicht alle Donatorelektronen ans Leitungsband abgegeben worden.)
Wir nehmen gleich noch mit, dass die Beantwortung der Fermienergiefrage für alle Dotierungen und alle Temperaturen usw. die Frage nach der Ladungsträgerkonzentration beantwortet.
Frage 2. Wie funktioniert p-Dotierung?
Die Antwort ergibt sich aus der nächsten schnellen Übung.
Um eine lange Geschichte kurz zu machen, hier die Antwort auf Frage 1:
Ladungsträgerdichte in Si Fermienenergie und Temperatur
Temperaturabhängigkeit der Fermienergie für Donatoren
(Hinweis: Gemeint sind zwei unterschiedliche Donatordichten, ND,1 und ND,2 > ND,1.)

Temperaturabhängigkeit der Fermienergie für Akzeptoren
(Die Beschriftung muß natürlich NA1 und NA2 > NA1 lauten,
analog zu den Donatoren und mit der gleichen Bedeutung.)
Die linke Graphik ist extrem wichtig. Deshalb erarbeiten wir sie uns in einfacher (und ungefährer) Weise in einer Übungsaufgabe:
Übungsaufgabe 9.1-2
Ladungsträgerdichte und Temperatur
Die rechte Graphik zeigt, was die Fermienergie als Funktion der Temperatur so treibt. Es ist nicht so schwer zu verstehen, leider kann man das nicht analytisch rechnen. Wie's geht, ist für Interessenten in einem eigenen Modul gezeigt.
Wir nehmen einfach nur so zur Kenntnis, dass in Si die Majoritätsladungsträgerdichte in einem vernünftigen Temperaturbereich in hinreichend guter Näherung schlicht identisch ist zur Dotierstoffkonzentration!
Warum? Weil beim Silizium es glücklicherweise gerade so läuft, dass um die Raumtemperatur herum die Donatoren ihre Elektronen fast zu 100 % schon ins Leitungsband geschickt haben, aus dem Valenzband aber noch nicht viel "hochkommt". Das passiert erst bei T > 100 0C. In Halbleitern mit anderen Energielücken ist das anders!
Dies bedeutet, dass im interessanten Temperaturbereich die Ladungsträgerdichte sowohl halbwegs konstant ist als auch durch Dotieren genau eingestellt werden kann – und das sind genau die Anforderungen, die die Halbleitechnik stellen muss!
Für uns bedeutet das: Wir benutzen ab sofort nur noch zwei extrem simple und extrem wichtige Gleichungen für die Ladungsträgerdichte – wie schon mal angeführt:
nMaj   NDot
     
nMin(T)  =  ni2(T)
NDot 
Jetzt fehlt uns nur noch eine wichtige Grundgleichung, die wir uns im nächsten Unterkapitel verschaffen werden.
Fragebogen
Schnelle Fragen zu 9.1.3

Mit Frame Zurueck Weiter als PDF

© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)