3. Idealer Kristall

3.1.1 Kristall und Symmetrien

3.1.1 Definitionen und Beispiele

Die Grunddefinition

Wir haben schon gesehen, dass alle ungerichteten Bindungen "automatisch" zu einer regelmäßigen Packung führen, und dass wir mit mindestens drei gerichteten Bindungen (+ sekundäre Bindungen; siehe z. B. Graphit) ebenfalls einen regelmäßigen dreidimensionalen Aufbau erwarten können.
Wir werden das jetzt noch etwas systematisieren und uns die Grundlagen der Kristallographie anschauen.
Als ersten grundlegenden Punkt definieren wir:

Kristall = regelmäßige Anordnung
von identischen Bausteinen

     
 Das Gitter
   
Die "regelmäßige Anordnung" läßt sich mathematisch durch ein Raumgitter erzeugen.
Raumgitter 1 Raumgitter 2
Vier Punkte im Raum; einer davon der Ursprung.
Drei Basisvektoren ai
führen zu den drei anderen Punkten
Fortsetzung der Raumpunkte;
an sich klar, aber ziemlich unübersichtlich
Wie man sieht, sind Zeichnungen von mathematischen Punkten (= ¥ klein), die gleichmäßig im Raum verteilt sind (von ¥ bis + ¥)
  1. unmöglich, und
  2. selbst mit Einschränkungen noch recht unübersichtlich.
Mit Hilfslinien oder "Gitterlinien" und Kreisen statt Punkten wird's besser:
Raumgitter 3
Deutlich besser.
Große Gitter"punkte" und Gitterlinien als Hilfslinien
Noch besser ist eine formale Definition: Ein (periodisches) Raumgitter ist definiert durch:
  1. Einem Vektortripel, bestehend aus den Basisvektoren a1, a2, a3, mit denen man ein Parallelepiped aufspannen kann, das wir Elementarzelle (oder manchmal auch Einheitszelle) nennen.
  2. Einem Satz von ¥ vielen Translationsvektoren T dieses Gitters, die durch T = ua1 + va2 + wa3 (mit (u, v, w) = alle ganzen Zahlen) definiert werden, und deren Endpunkte die Punkte des Gitters repräsentieren.
Damit ist ein beliebiges Raumgitter eindeutig definiert.
 

Die Basis

Was sind die "identischen Bausteine", die wir die Basis des Kristalls nennen?
In einfachsten Fall besteht die Basis nur aus einem einzigen Atom oder mindesten 2 Ionen (warum?). Wenn wir auf jeden Gitterpunkt dann ein einziges solches "Kügelchen" setzen oder eine "Hantel" aus zwei Kugeln, bekommen wir die Kristallbildchen, die in Kapitel. 2.1.4 schon mal gezeigt wurden.
Wir halten als Definition eines Kristall also fest:
Kristall = Gitter + Basis
= +
= +
Die Gitterpunkte sind hier die kleinen roten Punkte (auch ganz links!)
Die beiden zweidimensionalen Beispiele zeigen:
  1. Eine klare dichteste Kugelpackung mit einem Atom in der Basis. Das Gitter ist offenbar hexagonal.
  2. Einen möglichen Ionenkristall. Das Gitter ist offenbar kubisch. Die Basis besteht aus zwei (verschieden) geladenen Ionen.
Mit den Begriffen kubisch und hexagonal haben wir übrigens ganz bestimmte (und unmittelbar völlig klare) Symmetrien beschrieben, die diese beiden speziellen Gitter haben.
Ein unangenehmer Verdacht kommt hoch. Kann es sein, dass die Kombination eines Gitter plus einer möglicherweise komplizierten Basis in drei Dimensionen eine Unzahl von Kristallen - von einfachen kubischen Strukturen bis zu hochkomplexen Gebilden - produzieren kann?
Ja! Gottseidank - die Welt wäre sonst erheblich langweiliger! Wer Lust hat schaut sich mal die Bildchen einiger noch relativ einfacher Kristalle an, oder gleich die Edelsteine. Bemerkenswert ist beispielsweise der Opal.
 

Wichtige Gitter und Kristalle

Wir machen uns das Leben hier aber einfach und schauen uns nur einen kleinen, aber wichtigen Ausschnitt aus der Welt der Kristalle etwas genauer an. Das tun wir, indem wir die Oberklasse "allgemein definiertes Gitter" in Unterklassen einteilen, so wie man die Oberklasse "Lebewesen" ja auch unterteilt in z. B. Tiere, Pflanzen, Schleimpilze und Banker. Wir unterteilen "Gitter" in 14 Untergruppen, genannt "Bravais-Gitter". Insgesamt gibt es aber nur 7 grundlegend verschiedenen Gitter-Symmetrien; diese Symmetrieklassen werden (verallgemeinernd) Kristallsysteme genannt (und nicht "Gittersysteme", wie eigentlich zu erwarten). Der Link führt zum vollen Programm; hier schauen wir nur auf wenige wichtige Punkte:
Erstens betrachten wir hier nur 2 Kristallsysteme mit hoher Symmetrie, nämlich das kubische und das hexagonale. Zum kubischen Kristallsystem gehören drei Bravais-Gitter, zum hexagonalen nur eins:
Name des Kristallsystems
Länge der Basisvektoren
Achsenwinkel Zugehörige Bravaisgitter
Beim fcc-Gitter sind nicht alle Gitterpunkte (= blaue Kreise) eingezeichnet.
Beim hcp-Gitter ist die EZ (dicke Linien) ergänzt, um die hex. Symmetrie zu zeigen)
Kubisch
a1= a2 = a3
= a
= Gitterkonstante
a = b = g = 900 kub.-primitiv
kubisch-primitiv
kub.-raumzentriert
kubisch-raumzentriert
(body centered cubic, bcc)
kub.-flächenzentriert
kubisch-flächenzentriert
(face centered cubic, fcc)
Hexagonal
a1= a2 ¹ a3
Üblich:
a1= a2 = a
a3 = c
Hex. Ebene =
Basisebene
a = b = 900,
g = 1200
Hexagonal
hexagonal
(hex)
Achtung! Die blauen Kreise oder Kugeln symbolisieren hier mathematische Punkte!
Die gezeigten Gitter haben einen hohen Grad an Symmetrie - im Gegensatz zu dem allgemeinen Gitter, bei dem alle drei Basisvektoren verschieden lang sind und die drei Winkel zwischen den Basisvektoren beliebige Werte haben können.
Die kubischen Gitter haben beispielsweise 4-fache Rotationssysmmetrie um drei Achsen, Spiegelsymmetrie an drei Ebenen (Bild und Spiegelbild sind identisch) und Inversionssymmetrie (Vertauschen von r mit r bringt nichts Neues).
In den drei kubischen Gittern haben alle drei Basisvektoren dieselbe Länge; beim hexagonalen Gitter ist die Länge von a3 = c im Prinzip zwar frei, aber spätestens dann eindeutig gegeben, wenn wir das Gitter für einen dichtest gepackten Kristall verwenden. Man bezeichnet dann die jeweilige Länge der relevanten Basisvektoren als Gitterkonstante a.
Zweitens beschränken wir uns auf eine Basis mit nur 1-2 Atomen / Ionen.
Damit können wir folgende, weitreichende Aussagen machen:
  1. Die Kombination von 1 Atom in der Basis mit dem kubisch-flächenzentrierten oder fcc-Gitter (face centered cubic) ergibt immer eine dichteste Kugelpackung.
    Etwa 30 % der Elemente kristallieren in einem solchen fcc-Gitter oder -Kristall (hier ist der Unterschied bedeutungslos), z.B. Al, Ni, Cu, Pd, Ag, Pt, Au sowie alle Edelgase.
  2. Die Kombination von 2 identischen Atomen in der Basis (eines bei (0,0,0), das andere bei (S,S,½) mit dem hexagonalen Gitter ergibt ebenfalls eine dichteste Kugelpackung.
    Etwa 35 % aller Elemente kristallisieren in einem solchen hcp-Kristall (hexagonal close packed), darunter beispielsweise Mg, Re, Co, Zn, Cd, C (als Graphit), aber auch z.B. N bei tiefer Temperatur.
  3. Die Kombination von 1 Atom in der Basis mit dem kubisch-raumzentrierten oder bcc-Gitter (body centered cubic) ergibt keine dichteste Kugelpackung.
    Etwa 30 % der Elemente kristallieren in dieser Form, z. B. K, Rb, Cs, V, Nb, Ta, Cr, Mo und W.
  4. Die Kombination von 2 Atomen in der Basis (bei (0,0,0) und (¼, ¼, ¼) ) mit dem kubisch-flächenzentrierten oder fcc-Gitter (face centered cubic) ergibt keine dichteste Kugelpackung, dafür aber die Grundstruktur der meisten Halbleiter wie Si, Ge (Diamantstruktur), GaAs, InP, ... (Zinkblendestruktur).
Diese 4 Punkte werden hier absichtlich nicht illustriert, denn dafür gibt es eine Übung!
Übungsaufgabe
Aufgabe 3.1-1
Fragebogen
Schnelle Fragen zu 3.1.1

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)