 |
Technisches Dotieren erfolgt in Si durch die Substitution eines Si-Atoms
entweder durch die fünfwertigen Elemente P
und As oder durch das dreiwertige Element B. |
|
 |
Einziger Zweck ist, eine genau definierte Dichte (per cm3) NDot
an Zuständen für Elektronen dicht an den Bandkanten zu erzeugen. Das sieht
schematisch dann so aus: |
| |
|
|
Wo immer ein Dotieratom ins Kristallgitter eingebaut ist, hat sich die Welt für
die Elektronen geändert. Die dort vorhandenen Zustände können sich von denen im perfekten Kristall unterscheiden
– warum auch nicht? |
|
|
Insbesondere können, und bei den drei genannten Dotierelementen werden, wohl definierte
Energieniveaus in der Energielücke auftreten. Bei Dotierelementen sind diese Energieneveaus per
definitionem dicht an den Bandkanten – der Abstand liegt rund und roh um die 50 meV. |
|
|
Was Dotierelemente können, können auch Defekte aller Art:
Sie bewirken Energieniveaus "aller Art" . Sind diese Niveaus mehr in Bandmitte,
spricht man von "deep levels", tiefen Niveaus, tiefen Störstellen
– oder auch gleich von Dreck und nutzlosem Material, denn diese Niveaus wirken verheerend (was wir aber jetzt noch
nicht im Detail verstehen können). |
|
Es ist qualitiativ leicht einzusehen, daß fünfwertige Elemente wie
P und As ein zusätzliches Energieniveau dicht an der Leitungsbandkante einfügen, während das
dreiwertige Element B ein zusätzliches Niveau dicht oberhalb der Valenzbandkante einführt. |
|
|
P und As bringen 5 äußere Elektronen ein, können aber
nur 4 davon in die Bindung mit den benachbarten Si-Atomen investieren. Das 5. Elektron, sozusagen die
Mitgift des P-Atoms für die Ehe mit dem Si-Kristall, ist nur noch lose an sein P-Atom gebunden,
ein bißchen Energie (ca. 50 meV) reicht schon, um es ins Leitungsband des
Si zu heben. Dort ist es jetzt ein Leitungsbandelektron wie jedes andere auch, frei beweglich und nicht mehr am P-Atom
lokalisiert. Im Link kann man sich das schematisch illustriert ansehen. |
|
|
Das Phosphoratom ist nach Verlust seines 5. Elektrons jetzt einfach positiv geladen
(P+). Im Gegensatz zu seinem negativ geladenen Elektron, das sich im Leitungsband herumtreibt, ist es
aber ortsfest und kann sich (bei RT) nicht bewegen. Daher ist es
kein Ion im eigentlichen Sinn; im allgemeinen Sprachgebrauch wird es aber trotzdem
gelegemntlich so genannt. |
|
|
Das B-Atom bringt nur 3 Elektronen ein; eine der vier Bindungen zu den Si-Nachbarn
kann deshalb nicht mit zwei Elektronen gefüllt werden. Anders ausgedrückt, das B-Atom hat ein Loch als Mitgift für die Ehe mit dem Si-Kristall. Diese Loch ist nur lose gebunden.
Ein bißchen Energie (ca. 50 meV) reicht schon, um es ins Valenzband des
Si zu "heben". Dort ist es jetzt ein Valenzbandloch wie jedes andere auch, frei beweglich und nicht mehr
am B-Atom lokalisiert. |
|
|
Die Symmetrie ist offensichtlich. Was "wirklich" passiert, ist natürlich, daß
ein Elektron aus dem Valenzband auf das vom B-Atom eingebrachte Dotierniveau dicht oberhalb der Valenzbandkante springt.
Im Ausgangszustand (neutrales B-Atom) ist dieses Niveau ja unbesetzt. |
|
|
Das Loch ist jetzt im Valenzband und das Bor-Atom hat ein Elektron abgekriegt – es ist
jetzt also einfach negativ geladen, gewissermaßen ein "ortsfestes Bor-Ion"
B–. Im Link kann man sich das schematisch illustriert
ansehen. |
|
Im obigen Bild ist das alles schematisch so eingezeichnet. |
|
|
Wir haben ein zusätzliches Niveau an der Stelle, an der das Atom sitzt. Da uns das aber
zu viel Zeichenarbeit abverlangt, ziehen wir einfach einen ganzen Strich quer durch. Auf jeder halbwegs vernünftigen
Längenskala würden die Dotieratomniveaus sowieso dicht an dicht sitzen. |
|
|
Den Abstand zu den jeweiligen Bandkanten zeichnen wir aber unverhältnismäßig
groß – sonst können wir bei eindlicher Strichstärke keine zwei
Linien sehen. |
|
|
Die effektiven Zustandsdichten kennen wir auch; sie sind (ausnahmsweise) zusätzlich eingezeichnet.
An den Bandkanten haben wir die effektiven
Zustandsdichten des Siliziums (hier um die 2 · 1019 cm–3), die
Dotieratome bringen pro Atom genau einen Zustand ein, die effektive (oder auch exakte) Zustandsdichte ist also identisch
zu der von uns technisch bestimmten Dichte NDot
der Dotieratome. Deswegen kennen wir sie! |
|
|
Im Beispiel des Bildes sind es 5 · 1017 cm–3
Donatoren (=P oder As) und 1 · 1017 cm–3
Akzeptoren (=B). |
|
Damit haben wir zwei neue Fachwörter, die wir unbedingt kennen müssen: |
| |
Donatoren können ein Elektron ins Leitungsband
abgeben (ein Donator gibt was her).
Das zugehörige Energieniveau sitzt dicht unterhalb der Leitungsbandkante.
Akzeptoren können ein Elektron aus dem Valenzband aufnehmen (ein Akzeptor nimmt etwas an), wodurch ein Loch im Valenzband
entsteht.
Das zugehörige Energieniveau sitzt dicht oberhalb der Valenzbandkante |
|
|
Selbstredend gilt das hier am Beispiel des Si Ausgeführte für
alle Halbleiter. |
|
|
Allerdings müssen wir für jeden Halbleiter die geeigneten Dotierdefekte oder Dotieratome
finden. Das ist nicht immer leicht oder überhaupt möglich. Falls wir geeignete Defekte haben, müssen wir
immer noch Mittel und Wege finden, um die richtigen Mengen an die richtigen Stellen zu bringen. |
|
|
Dotieren ist der Dreh- und Angelpunkt der Halbleitertechnologie
, aber: it ain't easy, man! |
|
Wir haben nur noch zwei Fragen: |
| |
Wieviele Plätze der Dotierniveaus sind jetzt eigentlich mit Elektronen (oder Löchern) besetzt?
Und wie wirkt sich das auf die Besetzung der Plätze im Valenz- und Leitungsband aus? |
|
|
|
In andern Worten: Wir wollen wissen, wo genau die Fermienergie jetzt liegt. |
|
Warum das so wichtig ist, machen wir uns an einem Stück Silizium (mit nahezu
perfekter Materialqualität) klar, aus dem man eine integrierte Schaltung, einen Chip, machen kann. Wir wissen bereits: |
|
|
Die Bandlücke Eg = 1,12 eV ist eine Materialkonstante. |
|
|
Die Zustandsdichtefunktion D(E) oder die daraus ableitbare effektive
Zustandsdichte Neff ist eine Materialkonstante. |
|
|
Die intrinsische Ladungsträgerdichte
ni = Neff · exp[–Eg/(2kBT)]
im Valenz- und Leitungsband ist eine Materialkonstante. |
| |
Wir müssen aber technisch irgendwas mit dem Silizium tun, damit ein IC
daraus wird, wir müssen seine Eigenschaften (lokal) ändern. Die drei oben genannten Parameter sind aber unabänderliche
Konstanten – was bleibt? |
|
Es bleiben 2 Möglichkeiten: |
| |
1. Wir dotieren den Halbleiter gezielt und ändern dadurch die Fermienergie
EF so, wie wir das wollen.
2. Wir verdrecken den Halbleiter unabsichtlich und ändern die Fermienergie EF
und die Minoritätsladungsträgerlebensdauer
tirgendwie. |
|
|
|
Aha! Noch'n Parameter, der bisher nicht vorkam – die Minoritätsladungsträgerlebensdauer.
Wir werden in Kürze lernen, was das bedeutet.
|
|
|
Das war's dann aber. Es bleibt bei diesen zwei technisch manipulierbaren Parametern; es wird
auch sonst kein neuer mehr kommen. |
|
|
Die Fermienergie ist spätestens jetzt der zentrale Begriff der Halbleiterei.
Auch wenn sie zunächst unanschaulich und abstrakt erscheint, bleibt keine Wahl: man muß die Fermienergie in Halbleitern
einfach verinnerlichen! |
| |
| |
|
Lage der Fermienergie in dotierten Hableitern und Ladungsträgerdichte
in den Bändern |
| |
|
|
Wir können die Lage der Fermienergie halbwegs richtig ohne
Rechnen und nur durch Nachdenken herausfinden. |
|
|
Dazu betrachte wir zunächst ein Stück Si bei » 0 K,
das nur Donatoren in einer Dichte ND enthält, die ungefähr
der effektiven Zustandsdichte des Leitungsbands von » 4 · 1018 cm–3
entspricht. |
|
|
Das sieht dann in Anlehnung an das Bild oben so aus: |
| |
|
| |
Bei T
» 0 K sitzen alle Elektronen bei ihren Atomen – das Valenzband ist voll,
das Leitungsband ist leer, und alle Dotieratome haben ihr 5. Elektron auf dem Niveau dicht unterhalb des Leitungsbandes
sitzen. |
|
|
Wir erhöhen jetzt die Temperatur ein kleines bißchen – gerade so weit, daß
einige wenige Elektronen des Donatorniveaus ins Leitungsband wechseln können, aber Elektronen aus dem Valenzband das
noch nicht schaffen. Im Bild ist das für ein
Elektron gezeigt. Wir haben jetzt 1 bzw. ein bißchen allgemeiner nL
Elektronen im Leitungsband und nL = ND+
unbesetzte Plätze auf dem Donatorniveau und damit ND+ positiv geladene Donatoren
– und immer noch ein volles Valenzband. |
|
|
Wir haben auch – wie immer – für die jeweiligen Dichten die Beziehung nL = Neff
· f(EL) und ND+ = ND ·
{1 – f(ED)}. |
|
|
Das bedeutet, daß die beiden roten "Zwickel" im obigen Bild (rechts) ungefähr
gleichgroß sind – und damit muß die Fermienergie ungefähr in
der Mitte zwischen Leitungsbandkante und Donatorniveau liegen! Für das folgende nehmen wir mal an, daß sie genau in der Mitte liegt. |
|
Damit können wir für tiefe Temperaturen, bei denen
noch kaum Elektronen aus dem Valenzband es ins Leitungsband schaffen, für die Ladungsträgerdichte im Leitungsband
schreiben: |
| |
| n L(Dot) |
» ND · exp (–
| EL – ED
2kB T |
) |
|
|
|
|
Wie groß ist jetzt die Dichte nV der Löcher im Valenzband?
Nach dem, wie wir uns das überlegt haben, gleich null. Aber halt mal – wir
hatten dafür doch schon eine völlig allgemeine Gleichung namens Massenwirkungsgesetz : |
| |
|
|
|
Durch Dotieren haben wir nL jetzt viel größer gemacht
als im intrinsischen Fall. Damit wird nV jetzt viel kleiner – das ist genau das, was die
Formel sagt. |
|
Zeit für einen neuen Eintrag im Halbleiterwörterbuch: Falls wir Halbleiter
dotieren, ist die Dichte der Elektronen im Leitungsband und die der Löcher im Valenzband nicht mehr gleich groß,
sondern (sehr) verschieden. Wir definieren: |
|
|
1. Wir nennen alle Halbleiter, die mehr
Elektronen im Leitungsband als Löcher im Valenzband haben
"n-dotiert
" oder n-leitend,
bei einem bestimmten Material (hier: Silzium)
auch einfach n-Si,
da negative bewegliche Ladungen überwiegen. |
|
|
Den umgekehrten Fall (mehr Löcher als Elektronen) nennen wir
"p-dotiert" oder p-leitend,
bei einem bestimmten Material (hier: Silzium) auch einfach p-Si,
da positive
bewegliche Ladungen überwiegen. |
|
|
Achtung: Eine n- oder p-Dotierung bedeutet nicht, daß ein Material als Ganzes negativ
oder positiv geladen ist!! |
|
|
Achtung:
Es kommt hier auf die korrekte Groß-/Kleinschreibung an, denn "p-dotiert" bzw. "p-Dotierung"
bedeutet etwas anderes als "P-dotiert" bzw. "P-Dotierung"! Letzteres ist "Dotierung mit P = Phosphor",
und im Silizium ist das ein Fall von n-Dotierung! |
|
|
2. Wir nennen diejenigen Ladungsträger, die die Mehrheit haben, die
Majoritätsladungsträger oder kurz Majoritäten
.
Die anderen sind dann die
Minoritätsladungsträger
oder kurz Minoritäten. |
|
|
In Kurzform für Silizium (und nur für
Silizium): |
| |
Donatoren:
P und As Þ n-Si
Þ Majoritäten sind Elektronen im Leitungsband. Minoritäten
sind Löcher im Valenzband.
Akzeptor:
B Þ p-Si
Þ Majoritäten sind Löcher im Valenzband. Minoritäten
sind Elektronen im Leitungsband. |
|
|
Jetzt kommen die Fragen: |
|
Frage 1. Wie lange gilt denn die oben gemachte Näherung, daß
nur Elektronen vom Donatorniveau es ins Leitungsband schaffen? Wenn man die Temperatur immer mehr erhöht, werden irgendwann
ja auch mal nennenswerte Mengen an Elektronen vom Valenzband "hochgeschickt", die Konzentration ist dann höher als berechnet.
|
|
|
Dieselbe Frage, nur anders formuliert: Wie ändert sich die Lage der Fermienergie mit
der Temperatur? Denn woher auch immer die Elektronen im Leitungsband kommen, es gilt nL = Neff
· exp[–(EL – EF)/(kBT)]. Soll die Konzentration
nL größer werden als mit der Näherung von oben
berechnet, muß die Fermienergie ...? |
|
|
Zeit für eine Übung. (Hinweis:
Solange die Fermienergie oberhalb des Donatorniveaus liegt, sind noch nicht alle Donatoratome umgeladen worden, d. h. noch
nicht alle Donatorelektronen ans Leitungsband abgegeben worden.) |
|
|
Wir nehmen gleich noch mit, daß die Beantwortung der Fermienergiefrage für alle Dotierungen und alle
Temperaturen usw. die Frage nach der Ladungsträgerkonzentration beantwortet. |
|
Frage 2. Wie funktioniert p-Dotierung? |
|
|
Die Antwort ergibt sich aus der nächsten schnellen
Übung. |
|
Um eine lange Geschichte kurz zu machen, hier die Antwort auf
Frage 1: |
| |
 |
Temperaturabhängigkeit der Fermienergie für Donatoren
(Hinweis: Gemeint sind zwei unterschiedliche
Donatordichten, ND,1 und ND,2> ND,1.) |
Temperaturabhängigkeit der Fermienergie für Akzeptoren
(Die Beschriftung muß natürlich NA1
und NA2 > NA1 lauten,
analog zu den Donatoren und mit der
gleichen Bedeutung.) |
|
|
Die linke Graphik ist extrem wichtig. Deshalb erarbeiten wir sie uns in einfacher
(und ungefährer) Weise in einer Übungsaufgabe: |
|
|
|
|
Die rechte Graphik zeigt, was die Fermienergie als Funktion der Temperatur so
treibt. Es ist nicht so schwer zu verstehen, leider kann man das nicht analytisch rechnen. Wie's geht, ist für Interessenten
in einem eigenen Modul gezeigt. |
|
|
Wir nehmen einfach nur so zur Kenntnis, daß in Si die Majoritäts
ladungsträgerdichte in einem vernünftigen Temperaturbereich in hinreichend guter Näherung schlicht identisch
ist zur Dotierstoffkonzentration! |
|
|
Warum? Weil beim Silizium es glücklicherweise gerade
so läuft, daß um die Raumtemperatur herum die Donatoren ihre Elektronen fast zu 100 % schon ins Leitungsband
geschickt haben, aus dem Valenzband aber noch nicht viel "hochkommt". Das passiert erst bei T > 100
oC. In Halbleitern mit anderen Energielücken ist das anders! |
|
|
Dies bedeutet, daß im interessanten Temperaturbereich die Ladungsträgerdichte sowohl
halbwegs konstant ist als auch durch Dotieren genau eingestellt werden kann – und das sind genau die Anforderungen,
die die Halbleitechnik nun mal stellt! |
|
Für uns bedeutet das: Wir benutzen ab
sofort nur noch zwei extrem simple und extrem wichtige Gleichungen für die Ladungsträgerdichte: |
| |
| nMaj |
= |
NDot |
| | |
|
| nMin(T) |
= |
ni2(T)
NDot |
|
|
|
Jetzt fehlt uns nur noch eine wichtige Grundgleichung;
die werden wir uns schon im nächsten Modul verschaffen. |
|
|
|
© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)
