9. Halbleiter

9.1 Ladungsträgerdichte und Leitfähigkeit

9.1.1 Elektronen, Löcher und Massenwirkungsgesetz

Bestimmung der Elektronenkonzentration im Leitungsband

Wir werden jetzt relativ zügig vorgehen, da wir das meiste, was jetzt kommt, schon zweimal gemacht haben!
Die thermische Energie (kBT)RT bei Raumtemperatur war im Mittel 1/40 eV. Das heißt aber auch, daß sie hin und wieder lokal viel höher sein wird. Insbesondere wird sie gelegentlich hoch genug sein, um ein Elektron aus dem Valenzband des Si über die Energielücke von 1,12 eV ins Leitungsband zu heben. Dort hat's genügend freie Plätze; ein Elektron darf da hin!
Wie man sich das mit realen Atomen so vorstellen kann, ist im Link gezeigt.
Wir ventilieren jetzt ganz offenbar die Frage, wieviele der Plätze (= Zustände) im Leitungsband bei der Temperatur T besetzt sind. Die Antwort darauf gibt immer dieselbe Fundamentalformel:
Dichte der Elektronen bei Energie E = Zahl der vorhandenen Plätze
(= Zustandsdichte D(E)) mal Wahrscheinlichkeit der Besetzung
(= f(E) = Wert der Fermiverteilung bei E).
Gesamtzahl durch Aufsummieren = Integrieren.
Der Einfachheit halber wird aber aber mit effektiver Zustandsdichte und Boltzmann-Näherung gearbeitet. Wir haben also für die Dichte der Elektronen im Leitungsband:
ne   =   ¥
ó
õ
EL
D(E) · f(E; EF, T) · dE
           
»    Neff  · exp( ELEF
kBT 
)     
Die untere Gleichung definiert die effektive Zustandsdichte Neff.
Das bedeutet erstmal, daß die Dichte der Elektronen im Leitungsband mindestens exponentiell mit der Temperatur ansteigt. In einem Arrhenius-Diagramm, das wir für solche Funktionen grundsätzlich nehmen (auch wenn der Vorfaktor Neff noch temperaturabhängig ist), sieht das wie unten gezeigt aus.
Dabei ist eine noch bessere Näherung aufgetragen, bei der die rechnerische Temperaturabhängigkeit der eff. Zustandsdichte in der Form Neff = Neff* · T3/2 berücksichtigt ist. Warum in den Boltzmannfaktoren der Gleichungen in der Graphik im Nenner die Energie der halben Bandlücke steht, wird sich uns gleich noch erschließen.
Ladungsträgerdichten Si und Ge
Das können wir nachrechnen – wir brauchen dazu nur die effektive Zustandsdichte Neff und die Fermienergie EF.
Kein Problem. Für Neff haben wir Zahlen, und für die Fermienergie EF haben wir uns auch schon mal überlegt, daß sie in der Mitte der Bandlücke liegt. Wir schauen uns das gleich noch mal genauer an.
Bei Raumtemperatur haben wir damit immerhin ne = 2,4 · 1019 cm–3 . exp[–1,12 eV/(2 · 0,025 eV)] = 6,6 · 109 cm–3 bewegliche Elektronen im Leitungsband (wir wissen selbstverständlich: Bandlücke von Si = 1,12 eV; (kBT)RT = 1/40 eV; atomare Dichte = 5 · 1022 cm–3). Die Kurve ist oben gezeigt, sie liegt vor allem bei RT relativ zu der besseren Näherung nicht so schlecht.
Damit können wir uns erste Gedanken über die spez. Leitfähigkeit s = e · nL · mL der Elektronen im Leitungsband machen.
Fragt sich nur, was die Elektronen im Valenzband jetzt tun. Es ist ja nicht mehr voll gefüllt und damit "isolierend", denn wir haben jetzt genaus so viel freie Plätze, wie wir Elektronen im Leitungsband haben.
Aha! Alles klar? Falls wir die Leitfähigkeit eines Stücks Si wissen wollen, müssen wir auch die Leitfähigkeit im Valenzband betrachten!
 
Löcher und die spezifische Leitfähigkeit des Valenzbandes
   
Ein voll besetztes Valenzband hat die Leitfähigkeit Null. So viel ist sicher.
Das Valenzband ist aber nicht mehr voll besetzt, falls Elektronen im Leitungsband sitzen. Für jedes Elektron im Leitungsband fehlt eines im Valenzband; wir haben die freien Plätze bereits früher Löcher genannt.
Das bedeutet jetzt aber, daß für jedes Elektron im Leitungsband jetzt auch genau ein Elektron im Valenzband seinen Zustand ändern kann, indem es in ein benachbartes Loch "springt".
Wir werden den "Löchern" noch oft begegnen und uns an sie gewöhnen, hier nehmen wir einfach zur Kenntnis, daß es auch im Valenzband genau nh = ne Ladungsträger gibt, die auf äußere Kräfte reagieren können.
Ob wir diese Ladungsträger "negativ geladene Elektronen, die in ein Loch hüpfen können" nennen oder "positiv geladene Löcher", ist Geschmackssache.
Da Geschmäcker verschieden sind, gibt es auch Leute, die zu Löchern Defektelektronen sagen.
Ob wir dann sagen, daß sich unter dem Einfluß eines elektrischen Feldes eine ganze Kaskade von Elektronen bewegt, also ein ganzes irgendwie korreliertes Ensemble von (negativ geladenen) Elektronen, die via Löcher zum Pluspol laufen, oder individuelle positiv geladene Löcher zum Minuspol, ist ebenfalls Geschmackssache.
In vornehmen Kreisen ist unbestritten, daß guter Geschmack die unauffällige Eleganz präferiert, das scheinbar Einfache. Das sind hier ganz klar die Löcher, wir werden also ab sofort folgende Aussage verinnerlichen und anwenden:
Die freien Plätze im Valenzband heißen Löcher.
Löcher benehmen sich im Kristall für alle praktischen Zwecke wie

positiv geladene Elektronen.
Damit ist klar: Die Leitfähigkeit des Valenzbandes sV ist in intrinsischen Halbleitern ungefähr gleich groß wie sL, die Leitfähigkeit im Leitungsband. Die gesamte Leitfähigkeit s des intrinsischen Halbleiterkristalls wird damit
s  =  se + sh   =  e · me · ne + e · mh · nh   »   2sL
Löcher darf man also als ein Art positiv geladene Elektron betrachten (aber Vorsicht – das macht sie nicht zu Positronen!)
Aber: Während Elektronen, wenn sie können, energetisch tiefer sinken, steigen Löcher auf - wie Luftblasen im Wasser!
     
Konzentration der Löcher im Valenzband
   
Nachdem wir jetzt die Konzentration der Elektronen im Leitungsband kennen, fragen wir uns, wie groß nh ist, die Konzentration der Löcher im Valenzband?
Die Antwort ist natürlich sehr einfach: Genauso groß wie die Konzentration der Elektronen im Leitungsband, denn für jedes Elektron im Leitungsband ist ja genau ein Loch im Valenzband entstanden.
Nun stellen wir uns aber kurz mal unwissend und fragen, wie man nV ausrechnen würde, falls man nL nicht schon kennt. Die Antwort lautet natürlich
Dichte der Löcher bei Energie E = Zahl der vorhandenen Plätze
(= Zustandsdichte D(E)) mal Wahrscheinlichkeit der Nichtbesetzung
(= 1 – f(E) = 1 – Wert der Fermiverteilung bei E).
Gesamtzahl durch Aufsummieren = Integrieren.
In Formeln analog zu den Elektronen erhalten wir:
nh   =  EV
ó
õ
¥
  D(E) · [1 – f(E; EF, T)] · dE
           
» Neff  · exp ( – EFEV
kBT 
)
Damit haben wir relativ einfache (Näherungs-)Formeln für die beiden Ladungsträgerdichten.
Allerdings müssen wir, um Zahlenwerte zu erhalten, noch den Wert der Fermienergie EF bestimmen.
 
Massenwirkungsgsetz und Lage der Fermienergie
   
Für die bisher betrachteten perfekten Halbleiterkristalle stammen alle Elektronen des Leitungsband aus dem Valenzband. Für diese perfekten Halbleiter, die wir ab jetzt intrinsische Halbleiter nennen wollen, gilt also:
ne = nh =: ni
Die offenbar materialspezifische Ladungsträgerdichte ni nennen wir die intrinsische Ladungsträgerdichte.
Intrinsische Ladungsträgerdichten sind also (temperaturabhängige) Materialparameter; hier sind mal ein paar (im Zweifel gemessene) Werte:
Halbleiter Ge Si GaAs GaP C (Diamant)
Energielücke [eV] 0,661 1,12 1,424 2,26 » 5,5
ni(RT) [cm–3] 2 · 1013 1 · 1010 2,1 · 106 2 » 10–27
Was wir uns spätestens jetzt ganz fest merken:
Energielücke im Si = 1,12 eV » 1 eV.
Mit dem beidem allgemeinen Gleichungen für die beiden Ladungsträgerdichten von oben (und mit bekannten eff. Zustandsdichten) kann man natürlich auch ni auch ausrechnen. Vorher müssen wir aber die Lage der Fermienergie bestimmen.
Mit der obigen Formel haben wir die Dichte der Löcher im Valenzband auch vollkommen unabhängig von unserem Vorwissen, daß diese in perfekten (= intrinsischen) Halbleitern gleich der Dichte der Elektronen im Leitungsband ist. Damit können wir zwei sehr wichtige Schlüsse ziehen - mit Durchführung der Rechnung in einer Übung!
1. Multipliziert man die beiden Ladungsträgerdichten, kann man das hier gezeigte Massenwirkungsgesetz ableiten:
Massenwirkungsgesetz
ne · nh = ni2
Das machen wir mal in einer Übung, die man unbedingt zumindest anschauen sollte:
Übungsaufgabe 9.1-1
Fermienergie und Massenwirkungsgesetz
"Massenwirkungsgesetz" (MWG) ist keine besonders tolle Bezeichnung für obige Gleichung, weil nicht Massen, sondern allenfalls Ladungsdichten wirken. Der Name hat historische Gründe und bezieht sich natürlich auf das Massenwirkungsgesetz der Chemie.
Das MWG ist eine unglaublich wichtige Gleichung! Sie erlaubt, die Ladungsträgerkonzentration in einem Band sehr einfach zu berechnen, sofern man die Konzentration im jeweils anderen Band kennt. Das ist für intrinsische Halbleiter zwar trivial, aber nicht mehr für die sehr viel wichtigeren dotierten Halbleiter!
2. Die bislang noch "unbekannte" Fermienergie EF hat man aus der Übung erhalten durch Gleichsetzen der beiden Ladungsträgerdichten.
Das Ergebnis war, wie erwartet:
EF  =  EL + EV
2
Fermienergie in intrinsischen Halbleitern
Schaut man die Formel lange genug an, stellt man fest, daß die Fermienergie genau in der Mitter der Energielücke liegt!
Man kann sich das – wie rechts gezeigt – auch graphisch klar machen: Die beiden farbig markierten "Zwickel" der Fermiverteilung in den Bändern müssen gleich groß sein, damit sich gleich große Ladungsträgerdichten ergeben.
Aus Symmetriegründen liegt die Fermienergie, also die Energie, bei der f(E = EF) = ½ ist, in der Mitte der Energielücke.
Das sollte man sich merken, denn mit der graphischen Konstruktion werden wir später viel arbeiten.
Die entscheidende Energiebarriere in der Boltzmann-Näherung ist damit dem Betrag nach immer ½ (EL + EV).
Damit bekommen wir für die intrinsische Ladungsträgerdichte ni (die Gleichungen in der Abbildung oben):
nh = ne  =   ni  =   Neff  · exp ( ELEF
kBT 
)  =  Neff  · exp ( –  2EL – (EL + EV)
2kBT 
) =  Neff  · exp ( –  Eg
2kBT 
)
Wir sehen also, daß die Energielücke Eg und die intrinsische Ladungsträgerdichte ni im Grunde denselben Materialparameter darstellen.
Fragebogen
Schnelle Fragen zu 9.1.1

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)