8.3.2 Was wir lernen müssen

Überblick

An dieser Stelle lohnt es sich, mal kurz diesen Link zu betätigen.
In diesem Modul definieren wir den Rahmen dessen, was wir in den folgenden Kapiteln und Modulen etwas genauer lernen wollen. Wir durchbrechen wieder mal bewußt die übliche lineare Lernkette und machen eine erste Vorschau. Danach kommt dann das 2. Mal,
Was wir verstehen wollen ist Silizium, (Si) den paradigmatischen Halbleiter. Wir unternehmen deshalb jetzt im Vorgriff mal eine Reise durch ein Stück Silizium.
Was folgt, wird man nicht unbedingt auf Anhieb nachvollziehen können. Macht aber nichts, zumindest hilft's für den Gewöhnungseffekt. Wr schauen uns das dann schon noch im Einzelnen genau an.

Zunächst brauchen wir mal die Bandstruktur von absolut perfektem Silizium. Die haben wir mehr oder weniger direkt schon einige Male aufgezeichnet; zuletzt hier. Hier ist die Bandstruktur nochmal – in jetzt minimalistischer Darstellung:
 
Si Bansdstruktur 1
Wir haben (Im Zweifel immer erstmal bei T = 0 K) ein voll besetztes Valenzband, in dem deshalb nichts passieren kann, und ein zunächst vollständig leeres Leitungsband, in dem deshalb auch nicht passieren kann. Die Bandlücke beim Si ist Eg = 1,1 eV – eine Zahl, die man wissen muß!
    Einen Energienullpunkt haben wir nicht eingezeichnet - wir brauchen ihn aber erstmal auch gar nicht.
    Wir stellen jetzt Energie zur Verfügung – thermische Energie kBT oder Lichtenergie hn – und ermöglichen es damit einigen Elektronen ihren Zustand zu ändern und vom Valenzband ins Leitungsband zu wechseln.
    Schauen wir uns das zunächst mit thermischer Energie an – wir lassen das Stück Si einfach bei Raumtemperatur rumliegen.
     
Wir stellen jetzt die erste relevante Frage – und Folgefragen dazu – und geben eine erste Antwort. Man muss das nicht auf Anhieb verstehen, kann sich aber schon mal Gedanken machen.
Perfektes "intrinsisches" Silizium
Frage Antwort
Frage 1: Wie groß ist die Konzentration neL(T) der Elektronen im
Leitungsband bei der Temperatur T?
Definition: neL(TR) = ni = intrinsische Ladungsträgerdichte
neL(T) = Zahl an Plätzen (= Neff) mal Wahrscheinlichkeit der Besetzung (= Fermiverteilung = f(E; EF,T))
neL(T)  =  ni  =  Neff · f(EL; EF,T) 
  in Boltzmann-Näherung:
   »  Neff · exp[–(ELEF)/kBT] 
Folgefrage 1: Wieviel Elektronen fehlen jetzt im Valenzband, oder wie groß ist jetzt die Konzentration nhV(T) der "Löcher" oder "holes" im Valenzband? Das ist klar:

nhV(T)  =  neL(T)  =   ni
Folgefrage 2:
Wo liegt die Fermienergie EF,
und was bestimmt diese Lage?

In der Bandmitte
Die Elektroneutralität (Gleich viel neg. geladene Elektronen im Leitungsband wie pos. geladene Löcher im Valenzband)
Jetzt schauen wir uns mal das technisch wichtige dotierte Silizium an. Wir haben eine bestimmte Konzentration der Si-Atome – so um 1018 cm–3 – durch substitutionelle Fremdatome ersetzt; in diesem Falle nehmen wir Phosphor (P) oder Arsen (As).
 
Bandstruktur dotiertes Silizium
Wir haben jetzt einen Kristall mit eingebauten atomaren Fehlstellen in einer durch die Technik vorgegebenen Dichte NDot.
    An den Plätzen der Fremdatome (im Bild bei x1 und x2) müssen die Elektronenzustände irgendwie geändert sein. Das kann in vielfältiger Weise geschehen, aber für "gute" Dotieratome (d.h. nur für einige wenige der vielen prinzipiellen Möglichkeiten) existiert jetzt ein Energieniveau dicht unterhalb der Leitungsbandkante. Das ist ein Zustand, auf dem lokal ein Elektron "sitzen" kann.
    Wir haben eine Dichte NDot an Dotieratomen vorgegeben und damit genau diese Dichte an E-Niveaus im Bandgap dicht unterhalb der Leitungsbandkante eingeführt.
    Wir brauchen jetzt offensichtlich nicht mehr viel Energie, um ein Elektron, das diese Dotierniveaus besetzt, ins Leitungsband zu werfen.
     
Die Fragen, die sich jetzt stellen, sind:
Perfektes "dotiertes" Silizium
Frage Antwort
Frage 1: Wie groß ist bei Dotierung die Konzentration neL(T) der Elektronen im
Leitungsband bei der Temperatur T
neL(T) = Zahl an Plätzen (= Neff) mal Wahrscheinlichkeit der Besetzung (immer in Boltzmann-Näherung)
neL(T)  »  Neff · exp[–(ELEF)/kBT]
     
neL(T)  »  NDot
Folgefrage 1: Was ist der Unterschied zum undotierten Fall ???? Erst mal scheinbar keiner – außer der blauen Formel!
Folgefrage 2 und Antwort
Wo liegt jetzt die Fermienergie EF, und was bestimmt diese Lage?

In der Nähe des Dotierniveaus
Immer noch die Elektroneutralität Jetzt aber: Gleich viel neg. geladene Elektronen im Leitungsband wie wie positiv geladene Dotierionen.
Folgefrage 3: Wieviel Elektronen fehlen jetzt imValenzband, oder wie groß ist jetzt die Konzentration nhV(T) der "Löcher" oder "holes" im Valenzband? Das ist nicht mehr ganz so klar, aber es gilt immer:

nhV(T)  =  Neff · exp[–(EFEV)/kBT]
     
Þ   neL · nhV  =  ni2
     
Þ    nhV  =  ni2/NDot
     
1. Frage-und-Antwort-Runde
   
Mit den blauen Gleichungen haben wir die Halbleiter schon fast erschlagen – und die sind ja eigentlich einfach. Man kommt bloß nicht so ganz leicht auf diese Gleichungen.
Im folgenden gibt es deshalb ein Frage-Anwort-Spiel, mit dem jede mal selbst versuchen kann, die Begriffe und Gleichungen oben sich zumindest der Spur nach zu erarbeiten.
1. Frage: Was ist eine intrinsische Ladungsträgerdichte in Halbleitern?
Nun ja – was eben intrinsisch, d.h. in einem bei Raumtemperatur nur so rumliegenden (und perfekten) Halbleiterkristall an Ladungsträgern, die elektrischen Strom leiten können, da ist.
Das sind nicht die Elektronen im voll gefüllten Valenzband. Die mögen zwar beweglich sein und im Kristall herumrennen, sie können aber "nichts tun" – denn sie können auf elektrische Felder nichtreagieren, weil sie ihren Zustand nicht ändern können.
Wir haben nur die Elektronen im Leitungsband, d. h. den Anteil der Valenzbandelektronen, die den Sprung über die Energielücke ins Leitungsband geschafft haben. Wieviele das sind, wissen wir: Zahl der Plätze mal Fermiverteilung f(E; EF,T).
Die Fragen, die sich jetzt stellen, sind:
1. Folgefrage: Was ist Neff? Na ja – mal nachdenken. Die Zahl oder Dichte n(E) von Fermionen bei der Energie E war
n(E)   =  Dichte der Plätze mal
Wahrscheinlichkeit der Besetzung mal
Energieintervall
     
  =   D(E) · w(E) · DE
Die Gesamtdichte neL(T) aller Elektronen im Leitungsband ist demnach
neL(T)   =  ¥
ó
õ
EL
D(E) · f(E; EF,T) dE
Das sieht unschön aus. Erstens kennen wir die Zustandsdichte D(E) unseres nur so herumliegenden Halbleiters nicht, zweitens wäre das Integral selbst für ein bekanntes D(E) wohl nicht so ganz leicht zu knacken. Also erinnern wir uns daran, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl ist; damit kann man das Ganze immer so schreiben:
neL(T)   =  Neff · f(EL; EF,T)
     
  =  Neff · exp[– (ELEF)/kBT]
Nach kurzem Nachdenken wird klar, dass das Ganze nur dann eine gute Näherung ist, wenn die Energiedifferenz zwischen Fermienergie und Leitungsband nicht zu klein ist (>> kBT). Dann darf man automatisch auch die Boltzmannnäherung verwenden; im Umkehrschluss wird eine effektive Zustandsdichte deshalb immer nur mit der Boltzmannnäherung zusammen verwendet.
Damit ist Neff definiert: man misst es einfach mal. Für Si bekommt man z. B. Neff » 2,3 · 1019 cm–3. Wichtig ist zu verinnerlichen:
Neff  ist eine Material"konstante"
2. Folgefrage: Im Valenzband fehlen jetzt Elektronen, d. h. es ist nicht mehr voll besetzt. Die Dichte nhV(T) der Fehlelektronen im Valenzband, die wir jetzt "Löcher" nennen wollen, ist identisch zur Gesamtzahl der Elektronen im Leitungsband, d. h. nhV(T) = neL(T) =: ni. Damit gibt es jetzt Elektronen im Valenzband, die einen freien Platz als Nachbar haben und deswegen "was tun" können. Damit die Frage: Gibt es jetzt Stromleitung auch Valenzband? Die Antwort ist klar: Ja! Die Leitfähigkeit entspricht der eines Materials mit nhV positiv geladenen Ladungsträgern; das schauen wir uns noch genauer an.
Die einfache Ladungsträgerkonzentration nhV oder neL nennen wir die intrinsische Ladungsträgerkonzentration ni; die Gesamtzahl der stromtragenden Ladungsträgern in perfekten (= intrisischen) Halbleitern ist also 2ni.
ni  ist eine Material"konstante"
Daß sowohl Neff als auch ni Material"konstanten" sind, also "nur in Anführungszeichen konstant", liegt daran, daß sie jeweils merklich von der Temperatur abhängen; Beispielwerte für diese Temperaturabhängigkeit im Fall von Silizium folgen im nächsten Unterabschnitt.
3. Folgefrage: Falls wir unterstellen, dass wir Neff  kennen, reduziert sich die ganze Rechnerei auf die Schlüsselfrage der Halbleitertechnologie:
Wo liegt in einem gegeben Halbleiter die Fermienergie EF?
Für einen intrinsischen Halbleiter kann man sich das sofort und eindeutig klarmachen: Die Wahrscheinlichkeit, dass im Leitungsband bei EL Elektronen sitzen, ist durch den Zahlenwert von f(EL; EF,T) gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei EV im Valenzband keine Elektronen sitzen, muss exakt gleichgroß sein, denn die dort fehlenden Elektronen sitzen jetzt ja bei EL. Zeichnet man sich das mal qualitativ auf, erhält man so ein Bild:
Fermiverteilung intrinsischer Halbleiter
Es ist klar: Die Fermienergie beim intrisischen Halbleiter liegt genau in der Mitte der Bandlücke! Damit können wir die intrinsische Ladungsträgerkonzentation (in Boltzmann-Näherung) hinschreiben:
ni(T)   =  Neff · exp( ELEV
2kBT 
)
ELEV = Eg gibt den Wert der Energielücke Eg. Merke:
Eg  ist eine Materiakonstante
Damit haben wir die erste Tabelle oben abgearbeitet. Die zweite wird aber etwas trickreicher
 
2. Fragen-und-Antwort-Runde
   
Wir betrachten jetzt einen extrinsischen (sagt man aber eher nicht) oder dotierten Halbleiter
Dotieren heißt, "passende" Energieniveaus in der Bandlücke zu erzeugen – durch Defekte; in der Praxis meist durch substitutionelle Fremdatome. Sobald diese Fremdatome Teil des Kristall sind, "gehören" diese Dotierniveaus dem Ensemble der Elektronen. Ob ein Elektron auf dem bei einem Fremdatom vorhanden Energieniveau "sitzt" (und dann auch räumlich festsitzt) oder nicht, regelt wieder die Fermiverteilung.
1. Frage: Was passiert mit dem substitutionellen Fremdatom?
Dem Atom "als solchem" passiert bei niederen Temperaturen erstmal nichts. Es bleibt räumlich sitzen wo immer es ist. Bei hohen Temperaturen diffundiert es (per Leerstellen) durch den Kristall – das ist dann der Tod des Bauelementes.
Sein Ladungszustand hängt aber davon ab, ob das durch das Dotierungsatom (und am Ort des Dotierungsatoms angesiedelte) E-Niveau durch ein Elektron besetzt ist oder nicht. Nehmen wir z. B. ein Phosphor-Atom. Es hat ein Elektron mehr als ein Si-Atom; wenn es ein Si-Atom ersetzt, ist dort zunächst lokal ein Elektron mehr als bei Si, das dann auch nicht für eine Bindung gebraucht wird. "Hüpft" dieses Elektron ins Leitungsband (d.h. reißt sich von dem P-Atom los, was energetisch nur ein kleiner Sprung ist), ist das Elektron jetzt frei beweglich und dann von all den anderen freien Elektronen nicht mehr zu unterscheiden. Es kann jetzt, wie böse Mädchen, überall hin. Das Phosphoratom ist nun aber positiv geladen, da sich eines seiner Elektronen verdünnisiert hat.
(Das macht es aber noch nicht zu einem Phosphor-Ion: Es ist zwar positiv geladen, aber es ist weiterhin ortsfest – das Wort Ion dagegen bedeutet "Wanderer". Allerdings ist dieser Sprachgebrauch trotzdem weit verbreitet; diese Redeweise darf man getrost unter "Laborslang" verbuchen.)
2. Frage: Wie groß ist bei Dotierung die Konzentration neL(T) der Elektronen im Leitungsband?
Die Antwort ist immer dieselbe;
neL(T)   =  ¥
ó
õ
EL
D(E) · f(E; EF,T) dE  »  Neff · exp( ELEF
kBT  
 )
Der einzige Unterschied zum perfekten intrinsischen Kristall ist die Lage der Fermienergie EF. Damit stellt sich die Zusatzfrage:
Wo liegt in einem gegeben dotierten Halbleiter die Fermienenergie EF?
Die Antwort erhält man wie oben: Falls die Elektronen im Leitungsband alle von den Dotieratomen kommen, muss gelten: Die Wahrscheinlichkeit, dass im Leitungsband bei EL Elektronen sitzen ist durch den Zahlenwert von f(EL; EF,T) gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei ED in der Bandlücke keine Elektronen sitzen muss exakt gleichgroß sein, denn die dort fehlenden Elektronen sitzen jetzt ja bei EL. Zeichnet man sich das mal qualitativ auf, erhält man so ein Bild:
Fermienergie bei dotierten Halbleitern
Die Fermienergie muss irgendwo zwischen dem Dotierniveau und dem Leitungsband sitzen; gegenüber dem intrinsischen Fall ist sie massiv "hoch"gerutscht. Wie das alles noch von der Dichte der Dotieratome NDot und ggf. der Temperatur abhängt, ist uns zur Zeit noch egal. Wir halten nur fest:
Falls die Temperatur nicht zu niedrig (oder zu hoch) ist, werden praktisch alle Dotieratome ihr Elektron ans Leitungsband abgegeben haben, sonst ist aber noch nicht viel passiert. Wir haben dann als sehr wichtige Gleichung:
neL(T)  »  NDot
3. Frage: Wie groß ist bei Dotierung die Konzentration nhV(T) der Löcher im Valenzband?
Auch wenn's langsam langweilig wird, die Antwort ist immer dieselbe: Zahl Plätze mal Wahrscheinlichkeit der Nichtbesetzung:
nhV(T)   =  Neff · exp[–(EFEV)/kBT]
Das müssen wir aber gar nicht ausrechenen, denn dafür rechnen wir mal das Produkt neL · nhV, d. h.
neL · nhV  =  Neff · exp[–(ELEF)/kBT]  ·  Neff · exp[–(EFEV)/kBT]
         
   =  ni2  =   Massenwirkungsgesetz
Unbedingt selbst probieren! Wer das hinkriegt, hat die Halbleiterei schon sehr weitgehend verstanden.
Was bleibt? In guter Näherung die 2 Hauptgleichungen für die Ladungsträgerkonzentration in Halbleitern:
neL(T)  =  NDot
     
nhV(T)  =  ni2(T)
NDot 
Fragebogen
Schnelle Fragen zu 8.3.2

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)