8.1.3 Die elektrische Leitfähigkeit – jetzt aber richtig

Energiebänder und Leitfähigkeit

Schauen wir uns jetzt die Lage "richtig" an. Was wir bei einem Metall haben, sieht erstmal so aus:
Bandstruktur 1
Der linke Teil sollte uns bekannt vorkommen. Das ist das "Kristallmodell", das wir für den besonders einfachen Na-Modellkristall erhalten haben, wenn wir die individuellen Potentialtöpfe der Na-Atome für ihre Elektronen überlagern. Das oberste Niveau, mit gerademal einem Elektron besetzt, musste aufspalten, damit jetzt viele Elektronen Platz haben – jedes in einem wohldefinierten Zustand, anders von den anderen
Den rechten Teil hatten wir auch schon - wenn auch in anderer Form. Wir haben statt der extrem vielen und dicht benachtbarten Energieniveaus im linken Teil des Bildes das gesamte "Energieband" jetzt einfach durch seine Zustandsdichte ersetzt, also durch die Zahl der Plätze oder Zustände, die es Elektronen pro Energieintervall (und cm3) bietet.
Wie die Zustandsdichte im Falle des Na-Kristalls genau aussieht wissen wir nicht; ist aber für das Folgende aber auch egal. Was wir jedoch wissen ist, dass es genau doppelt so viel Zustände wie Elektronen gibt. Denn auf jedem 3s-Niveau ("3s" kennzeichnet die passende Lösung der Schrödingergleichung, also einen Zustand!) haben zwei Elektronen Platz – eines mit Spin rauf, eines mit Spin runter. Wir haben aber nur eines zu vergeben. Beim Koppeln von zwei Atomen entstehen zwei neue Zustände oder Energieniveaus, beim Koppeln von N Atomen dann N – beim Na hier immer doppelt so viele Zustände wie Elektronen.
Es können beim Na also immer nur die Hälfte der Zustände besetzt sein. Wie vorhandene Zustände besetzt werden, regelt die Fermi-Verteilung – so wie für eine endliche Temperatur eingezeichnet .
Viel Worte um eine im Grunde simple Sache. Schauen wir uns das leicht modifizierte Prinzipbild dazu nochmals an
Fermi-Dirac Verteilung
Wir haben Zustände (= Säulen) mit je 10 Plätzen pro Zustand über die Energieachse. Die Zustandsdichte in diesem Beispiel ist also überall "10". Insgesamt verteilen wir 90 Elektronen auf die (im Prinzip, wenn's immer so weitergeht ¥ viel) verfügbaren Plätze.
Die Fermiverteilung (rote Kurve) gibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Platz besetzt ist. Die Fermienergie EF war bei der Energie des bei T = 0 K letzten besetzten Platzes (beim Na oben wäre das entsprechend so ungefähr in der Mitte des Bandes) oder, eleganter, beim Wert f(E; EF,T) = ½. So ist sie oben eingezeichnet.
Jetzt kommt die entscheidende Frage: Im Prinzipbild oben haben wir 90 Elektronen. Wieviele tragen zur Leitfähigkeit bei T = 0 K bei?
Antwort: Gerade mal 10! Nur die Jungs auf den energetisch höchsten Plätzen! Warum wohl?
Einfach: Die energetisch tieferen Elektronen können nichts "machen". Elektronen "machen" nur dann was, wenn sie von ihrem definierten Zustand auf einen neuen definierten Zustand übergehen, d. h. ihren Zustand ändern. Im elektrischen Feld "Fahrt aufnehmen" heißt aber, auf einen Zustand mit höherer Energie überzugehen. Damit das geschehen kann, muss aber der energetisch nächst höhere Zustand frei sein.
In anderen Worten: Nur Elektronen, die um sich herum unbesetzte Zustände finden, können überhaupt "was tun". Der Rest tut nichts!
Wir sehen sofort das generelle Prinzip:
Nur Elektronen im
Aufweichungsbereich der Fermiverteilung
sind "handlungsfähig"
Fertig. Was wir feststellen ist:
1. Die Elektronen an der Fermikante können niemals ganz kleine Energien haben, wie vom Gleichverteilungssatz für tiefe Temperaturen gefordert. Unter die Energie EF können sie nicht sinken. Das bedeutet schlicht, dass sie sehr viel schneller im Kristall herumrennen, als vom Gleichverteilungssatz insinuiert.
2. Wir können für die Berechnung der Leitfähigkeit nicht einfach die Dichte aller (nominell freien) Elektronen nehmen, wir müssen schon genauer hinschauen! Denn nur einige wenige an der "Fermikante" sind auserwählt – wieviele genau, hängt von den Feinheiten der Bandstruktur ab.
Damit sind wir beim Stichwort. Wir notieren mal:
Die Bandstruktur der Elektronen
in einem Kristall
bestimmt die elektronischen Eigenschaften
Das wird der Ausgangspunkt für die gesamte Halbleiterei, deswegen schauen wir uns das jetzt mal genauer an.
Fragebogen
Schnelle Fragen zu 8.1.3

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