8.1.4 Merkpunkte zu Kapitel 8.1: Leitfähigkeit, Konzentration und Beweglichkeit

Das Ohmsche Gesetz ist nur sinnvoll für spezifische Größen:  
j  =  s ·  E
     
s  =  1 /r
j = Stromdichte  
E = Feldstärke.  
Wesentliche Materialkonstante ist: Leitfähigkeit s oder spez. Widerstand r.  
 
Typische Werte sind wichtig!  
r (Metall)  »  1 µWcm
     
r (Halbleiter)  »  1 Wcm
     
r (Isolator)  »  1 GWcm
Man muss mit den ca. 1 µWcm guter reiner Metalle (Ag, Cu) leben, man kann sie immer nur verschlechtern (Defekte , Legieren, ...), aber nie besser machen.  
 
Elektrische Stromdichte ist ein Nettostrom geladener Teilchen, gegeben durch Zahl der Ladungen = Teilchen, die pro Sekunde mit einer mittleren Nettogeschwindigkeit vD durch einen cm2 fließen.  
j  =  q · n · vD

s  :=  q · n · vD
E
 =  constant
         
vD
E
 =:  m = constant  

s  =  q · n · µ
Das läßt sich immer so schreiben Þ  
Die Driftgeschwindigkeit vD, verursacht durch das elektrische Feld, ist aber extrem klein gegenüber der mittleren thermischen Geschwindigkeit vtherm  
Für die Leitfähigkeit ergibt sich sofort Þ  
Damit ist ein neuer, sehr wichtiger Materialparameter, die Beweglichkeit m definiert.  
Das Ohmsche Gesetz ist nun hergeleitet, in der "Materialform" schreibt es sich Þ  
   
Die Konzentrationen nMet der Ladungsträger in Metallen nMet und Isolatoren nIso sind von der Größenordnung her bekannt: Ungefähr Dichte Atome bzw um Null.  
          nMet » Atome
          nIso  » 0
Es bleibt, die Beweglichkeit m zu bestimmen  
Bei Halbleitern ist nHalb noch nicht klar, hier brauchen wir nHalb und mHalb.  
     
Eine relativ simple Betrachtung des Herumwuselns von Elektronen in Kristallen ergibt folgende Beziehungen:  
Freie Weglänge; Stoßzeit
Stöße zwischen Elektronen und den den Haupstoßpartner "Phononen" = Träger der thermischen Energie = anderes Wort für (quantisierte) Gitterschwingungen und Kristallgitterdefekten (Fremdatomen, Korngrenzen, Versetzungen, Ausscheidungen, ...) sorgen für eine im Mittel konstante Driftgeschwindigkeit.  
Charakteristische Parameter dazu sind die (mittlere) Stoßzeit t und die mittlere freie Weglänge l = vt.  
Die Beweglichkeit ist dann direkt gegeben (d.h. proportional) zu l = vt oder t. (Formel muss man nicht wissen).  
     
  Die Temperatur bestimmt klassisch sowohl v (über ½mv2 = 3/2 kBT) als auch (über Stöße mit "Phononen") zum Teil die Beweglichkeit.
Es kommt Unsinn raus!
Für eine gegebene Elektronenkonzentration (z. B. typisches Metall) und eine gemessene Leitfähigkeit kann man damit alle Größem ausrechnen, aber Þ  
Pauli-Prinzip!
 
Elektronen können nicht mit beliebigen Geschwindigkeiten = Energie = Zuständen existieren; sie können z. B. nicht alle bei T = 0 K bewegungslos sein.  
Der Gleichverteilungssatz gilt nicht
für Fermionen!
   
Trotzdem behalten alle obigen Formeln außer ½mv2 = 3/2 kBT auch in der nachfolgenden "richtigen" Betrachung ihre Bedeutung - wir müssen nur die Geschwindigkeit richtig bestimmen.  
Wir müssen die möglichen Zustände für Elektronen (in Metallen) und die Besetzung dieser Zustände als Funktion der Temperatur betrachten Das nachfolgende Bild enthält die relevante Information:
Bandstruktur 1
Die Elektronenzustände im Metall (Kristall!) formen ein "Band" wie bereits bekannt und hier nochmal gezeigt.  
Zustandsdichte D(E) · dE = Zahl der Zustände
bei E im Intervall dE
pro cm3
Von Interesse sind die möglichen Energieniveaus im Band (= richtige Energie der herumwuselnden Elektronen). Das wird am einfachsten durch den neuen Begriff Zustandsdichte erfaßt.  
Entscheidend ist, welche Zustände mit Elektronen besetzt sind. Das regelt die (bereits bekannte) Fermi-Verteilung.  
 
Nur Elektronen im "Aufweichungsbereich" der Fermiverteilung sind "handlungsfähig", d. h. nur sie können auf elektrische Felder durch Zustandsänderung reagieren.  
Die Bandstruktur der Elektronen
in einem Kristall, d. h. D(E),
bestimmt die elektronischen Eigenschaften!
In anderen Bereichen gibt es entweder keine Elektronen (z. B. hohe Energie) oder sie haben keine freien Plätze in der Nachbarschaft (kleine Energiedifferenz), auf die sich "ändern" könnten.  
Damit folgt eine weitreichende Aussage Þ  
         

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)