5.3.3 Eigenschaften der Fermi-Verteilung

Zunächst betrachten wir das Grenzverhalten für T ® 0 K. Das sollte beim Überschreiten der Fermienergie eine abrupte Stufe von 1 auf 0 ergeben.
Wir bekommen in einer Fallunterschiedung:
für  EEF = DE < 0 : f(E, 0K)  = 1
exp (– ¥) + 1
 =  1
         
für  E  –  EF = DE > 0 :   f(E, 0K)  = 1
exp (+ ¥) + 1
 =  0
Das ist genau das, was wir brauchen.
Es ist nun verhältnismäßig einfach, die Fermiverteilung für eine gegebene Temperatur und Fermienergie auszurechnen. Man erhält Kurven wie folgt:
Fermiverteilung
Das Rechteck bei T = 0 K bekommt mit steigender Temperatur zunehmend eine weiche Flanke; genau so, wie wir es uns überlegt hatten.
Der "weiche" Bereich oder die "Aufweichungszone" hat dabei eine Breite von ungefähr 4 kBT. Auch das entspricht der Vorhersage - aber jetzt können wir es ausrechnen; wir werden das auch in einer Übungsaufgabe tun.
Eine weitere Eigenschaft wird unmittelbar sichtbar (oder ausrechenbar):
f(E = EF, T)  =  1
2
Die Fermienergie liegt per definitionem bei der Energie, bei der die Wahrscheinlichkeit, dass die Elektronen die Plätze dort besetzen, gleich 1/2 ist. Das ist eine viel bessere, weil allgemeinere Definition der Fermienergie, die wir noch oft brauchen werden. Sie ist vollständig kompatibel mit unserer alten Definition, nur besser.
Wir können weiterhin vermuten, daß der "Hochenergieschwanz" der Fermiverteilung, also die Wahrscheinlichkeit, dass Plätze bei E >> EF besetzt sind, durch die Boltzmannverteilung approximiert werden kann; auch das ist oben eingezeichnet.
Das läßt sich leicht zeigen: Für EEF >> kBT gilt in der Tat:
f(E,T)  » exp (  –  EEF
kBT
)
Das ist die Boltzmannverteilung, nur der Energienullpunkt liegt jetzt bei EF. Dass diese Beziehung stimmt, wird in der folgenden Übungsaufgabe geprüft.
Übung 5.3-1
Eigenschaften der Fermiverteilung
Zum Schluß noch eine auf den ersten Blick etwas seltsam anmutende Beziehung, die wir aber noch oft brauchen werden:
Die Wahrscheinlichkeit wh dafür, daß ein Platz bei der Energie E nicht mit einem Elektron besetzt ist (wir auf diesem Platz sozusagen ein "Loch" [engl. "hole"] haben), ist gegeben durch
wh  =  1  –  f(E,T)
Wir schauen uns das noch schnell in einer Graphik an:
Wahrscheinlichkeit für leere Plätze
Damit haben wir jetzt ein mächtiges Werkzeug, um den elektronisch bedingten Eigenschaften der Materialien und insbesondere der Halbleiter nachgehen zu können. Denn elektronische Eigenschaften kommen von dem, was die Elektronen im Kristall so treiben, und die sind nun mal Fermionen.
Das ist übrigens auch gut so: Falls sie Bosonen wären, hätten wir arge Probleme (die damit anfangen, dass es uns gar nicht geben würde).
 
Hier sind die schnellen Fragen:
Fragebogen
Schnelle Fragen zu 5.3.3

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)