5.3.4 Merkpunkte zu Kapitel 5.3: Zustandsdichten und Verteilungsfunktionen

Alle Systeme sind durch eine Zustandsdichte D(E) gekennzeichnet  
D(E) =  dN
dE
 =  Differentielle Zahl dN der
Zustände im Energieintervall
[E, E + dE] pro cm3
D(E) wäre für ein diskretes Energieniveau der Entartungsgrad.  
Die Zustandsdichte ist eine "doppelte" Dichte: 1. bezüglich der Energie, und 2. bezüglich des Volumens (trivial).  
[D] = eV–1 · cm–3  
       
Bei gegebener Zustandsdichte entscheidet nur die Besetzung der daduch gebenen Energieniveaus darüber was das System "tut".  
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Platz bei der Energie E besetzt ist?
(für gegebene Paramter wie Temperatur T, Teilchengesamtzahl N0, ...)
Zum Gleichgewicht, d.h. dem Minimum der freien Energie G = UTS, gehört eine bestimmte Besetzungssystematik.  
Die Grund- und Schlüsselfrage ist: Þ  
 
         
Die Antwort auf diese Frage muss eine Verteilungsfunktion sein  
Bose-Einstein-Verteilungsfunktion (für Bosonen):
Es können beliebig viele Teilchen = Bosonen auf einem Platz sitzen
(z.B. alle bei E = 0 eV bei T = 0 K)

Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion für Fermionen (z. B. Elektronen):
Es können maximal 2 Elektronen = Fermionen (Spin rauf und runter) auf einem Platz sitzen
(z.B. nicht alle bei E = 0 eV bei T = 0 K)
Es gibt genau zwei Verteilungsfunktionen w(E):  
eine für Bosonen und eine für Fermionen.  
         
Damit ergibt sich als Haupt- und Grundformel für die Konzentration n(E) an Teilchen bei der Energie E Þ  
n(E)  =  Dichte der Plätze mal
Wahrscheinlichkeit der Besetzung mal
Energieintervall
 =  D(E) · w(E) · DE
         
Uns interessiert nur die Fermi-Verteilung: wir nennen sie immer f(E; EF, T)  
 f(E; EF, T) =


1 
exp æ
è
E  –   EF
kBT
ö
ø
+ 1
Wir habe eine Funktion der Energie E mit der Temperatur T und der Fermienergie EF als Parameter.  
Die Fermienergie ist eine Systemgröße. Sie ist diejenige Energie, bei der die Wahrscheinlichkeit einer Besetzung = ½ ist. (Bei T = 0 K und einer kontinuierlichen Zustandsdichte entspricht das der Energie, bei der das letzte Elektron untergebracht werden kann.)  
     
   
f(E = EF) = ½
   
         
Der Graph der Fermiverteilung sieht - leicht erratbar - so aus Þ
Fermiverteilung
Die folgende Eigenschafte machen das Arbeiten mit der Fermiverteilung einfach:  
Die "Aufweichungszone" ist » 4 kBT breit.  
Für den "Hochenergieschwanz", d. h. für Energien einige kBT oberhalb der Fermienergie, kann die Boltzmann-Näherung verwendet werden:  
   
f(E,T)  » exp  ( –  EEF
kBT
)
 
   
Die Boltzmann-Näherung bedeutet immer: Die Teilchen können jetzt "klassisch" beschrieben werden.  
   
Die Quintessenz des Ganzen ist:  
     

Die Verteilung von Teilchen auf die verfügbaren
Energieplätzen mit der Fermiverteilung
oder, in klassischer Näherung,
mit der Boltzmannverteilung, beschreibt immer

den Zustand kleinster freier Energie und damit
thermodynamisches Gleichgewicht

(bei der gegebenen Temperatur T).

       

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)