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In den vorhergehenden Kapiteln haben
wir zwei sehr mächtige Prinzipien kennengelernt, codiert in den simplen
Formeln (die man wissen muss!) |
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Das Rechnen mit diesen Formeln war aber
mühsam, dies galt insbesondere für die Entropieformel. |
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Nun sind aber Atome und Elektronen
nicht besondere intelligent, sie haben, ähnlich wie Erstsemester oder
Banker, von diesen Formeln noch nie etwas gehört - trotzdem kennen sie
für jede Situation die exakte Lösung! Wir stellen uns damit mal die
Frage: Was tut so ein Atom oder Elektron
eigentlich, um ein System, das im Gleichgewicht ist,
herzustellen? |
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Die Antwort, schon oft angeklungen, ist einfach:
Das Teilchen "besetzt" einen möglichen Zustand mit einer
definierten Energie. Das Wort "besetzt" meint damit
keinesfalls "irgendwo im Raum zu sitzen", also ortsfest zu sein. Das
Gasatom das den Zustand v = (34, 16, -321) m/s besetzt hat, also
mit der vektoriellen Geschwindigkeit wie angegeben durch die Gegend fliegt, ist
gerade "irgendwo", aber es "sitzt" fest auf dem
Energieniveau E1 =
½mv2. |
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Nimmt man die Komponenten des
Geschwindigkeitsvektors v = (vx, vy,
vz) als Definition eines
Zustandes (wie hier geschehen), haben alle
Zustände für die vx2 +
vy2 + vz2 = const gilt,
offenbar dieselbe Energie, d.h. es liegt also Entartung vor. |
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Statt dem Begriff "Entartung", der vor allem bei diskreten
Energieniveaus sinnvoll ist, definieren wir jetzt eine neue Größe,
die Zustandsdichte
D(E). Sie bestimmt im Grunde dasselbe wie die Entartung,
aber macht das sehr viel eleganter, insbesondere für sehr dicht
benachbarte Energieniveaus oder sogar für Energiekontinua. |
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Wir definieren einfach für die
(differentiell kleine) Zahl der Zustände dN(E) in
einem Energieintervall dE |
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| dN(E) = D(E) · dE =
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Zahl der Zustände im
Energieintervall E, E + dE |
pro cm3 |
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Hier ist das Bild
dazu - bezogen auf das schon bekannte Bild, das die
Enststehung der
Energiebänder aus den diskreten Niveaus der Atome beim Silizium
zeigt |
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Das ist im Grunde sehr einfach. Die
Zustandsdichte mal dE gibt einfach nur die Zahl oder genauer gesagt, Volumendichte, der verfügbaren
Plätze in einem (kleinen)
Energieintervall dE an (D(E) =
dN/dE), die durch die betreffenden Teilchen besetzt werden
können, und das auch noch pro cm3. Wir haben also sowohl
eine Dichte bezogen auf die Energie (D(E) =
dN/dE) als auch bezogen auf das Volumen. |
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Zu jedem System gibt es eine
Zustandsdichte D(E). Wie die damit beschriebene Funktion
genau aussieht ist von System zu System verschieden. D(E)
ist auch nicht unbedingt eine einfache Funktion. Sie kann sehr kompliziert
aussehen; häufig (z.B für Elektronen in Halbleitern) ist sie auch
sehr kompliziert. Der Link
zeigt ein Beispiel. |
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Aber was soll's - die Zustandsdichte ist für
ein gegebenes System oder Material (z.B für die Elektronen in
Halbleiterkristallen) eine Material"konstante". Hat man sie einmal
gerechnet oder gemessen, hat man sie für alle Zeiten. |
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Unser Problem kann damit neu
formuliert werden: Wir haben ein System (wir denken jetzt immer an (Halbleiter)
Kristalle), dessen Zustandsdichte wir kennen. Die einzige Frage, die man jetzt noch stellen kann
ist: |
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| Wie verteilen sich die Teilchen des Systems im
Gleichgewicht auf die vorhandenen Zustände und damit Energien? |
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Haben wir die Antwort einmal gefunden, gilt sie
für alle Zeiten, denn im Gleichgewicht ändert sich (im Mittel) per
definitionem nichts mehr! |
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Die Frage läßt sich auch
anders stellen. Wir fragen: |
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| Mit welcher Wahrscheinlichkeit
w(E) ist ein Platz bei der Energie E mit einem Teilchen
des Systems besetzt? |
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Die Dichte (= Zahl
Teilchen pro cm3) n(E) der Teilchen mit
Energien zwischen E und E + DE ist dann gegeben durch |
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| n(E) |
= |
Zustandsdichte mal
Wahrscheinlichkeit der Besetzung mal
Energieintervall |
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= |
D(E) · w(E)
· DE |
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Das ist eine im Prinzip einfache, aber
ungeheuer wichtige Beziehung,
die wir noch oft brauchen werden! |
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Jetzt aber zu den
guten Nachrichten: |
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1. gute Nachricht: Mit nur
zwei Verteilungsfunktionen
w(E) kann man alle
Systeme beschreiben! |
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Wir brauchen zwei Verteilungsfunktionen, denn wir haben zwei grundverschiedene Teilchensorten: Die
Bosonen und die
Fermionen! Jetzt sollte
man unbedingt noch mal nachschauen, worin der fundamentale
Unterschied zwischen den beiden Arten besteht! Wir fassen schnell zusammen:
- Auf einem Zustand kann immer nur ein
Fermion = Elektron sitzen.
- Auf einem Zustand können beliebig viele
Bosonen oder klassische Teilchen sitzen.
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Dieser fundamentale Unterschied in den
Möglichkeiten sich auf gegeben Energiplätze zu verteilen, muss sich
in der Verteilungsfunktion widerspiegeln; wir brauchen also zwei davon. |
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2. gute Nachricht: Falls die
Teilchen eines gegebenen Systems auf die verfügbaren Plätze (gegeben
durch die Zustandsdichte des betreffenden Systems) nach Maßgabe der
zuständigen Verteilungsfunktion aufgeteilt sind, ist das System immer und
"automatisch" im Minimum seiner freien
Energie (und damit im Gleichgewicht). |
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Wenn das mal keine gute Nachricht ist! Nie mehr
Kombinatorik mit Fakultäten usw., um Entropien auszurechnen. Aber halt!
Haben wir uns statt der Pest jetzt die Cholera eingehandelt? Sind die beiden
Verteilungsfunktionen möglicherweise wahnsinnig kompliziert? Sind sie
nicht! |
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3. gute Nachricht: Die beiden
Verteilungsfunktionen für Fermionen bzw. Bosonen sind mathematisch so
einfach wie es gerade noch geht um die benötigte Funktionalität
darstellen zu können. |
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4. gute Nachricht: Oft, d. h.
unter Umständen, die wir noch genauer anschauen werden, kann man diese
beiden Verteilungsfunktionen in sehr guter Näherung durch eine mathematisch noch einfachere
Verteilungsfunktion beschreiben nämlich der für klassische
Teilchen - und das ist die Boltzmann
Verteilung, die wir etwas weiter unten ausführlich
einführen. |
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Klassische
Teilchen gibt es "eigentlich" ja gar nicht. Mit dem hier
gegebenen Hintergrund können wir sie aber sehr einfach definieren: |
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"Klassische" Teilchen sind Bosonen
oder Fermionen unter Umständen,
bei denen die
BoltzmannVerteilung
zur näherungsweisen Beschreibung voll ausreicht. |
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Es wird jetzt Zeit, diese
Verteilungsfunktionen so weit als erforderlich zu konkretisieren. |
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© H. Föll (MaWi für ET&T - Script)
