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Nach dem einfachsten Atom,
demWasserstoff, ist das nächst einfache Atom das Helium mit der
Ordnungszahl 2. Es hat im neutralen Zustand 2 Elektronen. |
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Um die Schrödingergleichung für das
System aufstellen zu können, brauchen wir die potentielle Energie der
Elektronen. Die Beziehung dafür kann noch einfach formuliert werden. Dazu
addieren wir die potentiellen Energien von Elektron 1 und Elektron
2 im Feld des Atomkerns sowie die potentielle Energie, die aus der
Abstoßung der beiden Elektronen resultiert. |
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U(r1, r2, r12)
= - ze2/r1 - ze2/r2 +
e2/r12
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Die Abstandsvektoren
r1, r2,
r12 sind eindeutig durch die (mathematischen)
Koordinaten x1, y1,
z1 und x2,
y2, z2 der beiden Elektronen
gegeben, damit ist auch U eine Funktion dieser Koordinaten. |
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Damit läßt sich die
Schrödingergleichung hinschreiben; es ist einfach das obige Potential
einzusetzen. Die Wellenfunktion y hängt
jetzt aber von den Koordinaten x1,
y1, z1 und x2,
y2, z2 ab, d.h. von einem Ort
r1 und
einem Ort r2. |
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Damit wird die Wellenfunktion eine Funktion mit
6 Variablen: |
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| y |
= |
y(x1, y1,
z1, x2, y2,
z2) |
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Was bedeutet
das? |
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Wie zuvor, gibt das Betragsquadrat von y = y ·
y*, die Wahrscheinlichkeit an, die Elektronen irgendwo zu finden. Für die Orte
r1 und r2 ist y · y* damit die
Wahrscheinlichkeits(dichte), das erste Elektron am Ort r1
= (x1, y1, z1)
und gleichzeitig das zweite Elektron am Ort
r2 = (x2, y2,
z2) zu finden. |
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Beim Würfeln mit zwei Würfeln wäre
das nichts anderes, als die Wahrscheinlichkeit w(2, 5),
z.B. mit einem Würfel eine 5 und mit dem anderen eine 2 zu
würfeln. Das ist übrigens etwas anderes, als die Wahrscheinlichkeit
w(7), d.h. mit zwei Würfeln eine 7 zu würfeln.
Es lohnt sich, darüber mal kurz nachzudenken - wir werden das noch
brauchen! |
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y(r1, r2), und
gleichzeitig die Gesamtenergie E, ergeben sich wiederum aus der
Lösung der Schrödingergleichung für diesen Fall. Die Kenntnis
von y enthält wiederum alle Informationen über das System - unser
He-Atom - die es gibt; aus y lassen
sich alle meßbaren Größen
berechnen. |
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So weit, so gut. Leider können
weder wir, noch sonst jemand, die Schrödingergleichung für zwei (oder
mehr) Elektronen geschlossen lösen (das ist so ähnlich wie in der
Himmelsmechanik das Dreikörperproblem; z.B. Sonne, Erde und Mond).
Selbstverständlich gibt es Näherungen; spätestens bei
"komplizierten" Atomen oder Molekülen mit vielen Elektronen,
sind aber auch Näherungen für Lösungen des Gesamtsystems nicht mehr ganz einfach machbar. |
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Damit sind wir erst mal in einer Sackgasse,
glücklicherweise gibt es aber einen Ausweg: Man kann eine extrem simple Näherung machen, die eine
einfache und qualitativ richtige Betrachtung auch komplizierter Atome erlaubt,
allerdings keine guten Zahlenwerte mehr liefert. |
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Der Trick ist, nicht alle Elektronen eines Atoms zu betrachten, sonden
nur eines. Gedanklich denken wir uns die
restlichen Elektronen gleichmäßig über das Volumen des Atoms
verschmiert. Das eine übriggebliebene Elektron "sieht" dann nur
eine irgendwie verschmierte positive
Ladung, da die negativen Ladungen der verschmierten Elektronen die Kernladung
bis auf eine Elementarladung kompensieren. |
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Damit haben wir die Betrachtung unseres
beliebigen Atoms vereinfacht auf die Betrachtung eines Atoms, das dem
Wasserstoffatom sehr ähnlich ist: Ein Elektron ist im Potential einer positiven Elementarladung zu betrachten -
allerdings ist diese positive Ladung nicht mehr punktförmig. |
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Wir erhalten dann als Lösung der
Schrödingergleichung Wellenfunktionen für das eine Elektron, die völlig analog zu den
Lösungen des Wasserstoffatoms sind. |
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Da aber das Potential kein Punktpotential mehr
ist, und das ganze ja nur eine Näherung darstellt, können wir weder
erwarten, daß die Zahlenwerte für die Gesamtenergie noch stimmen,
noch gibt es einen Grund anzunehmen, daß die Energie weiterhin
bezüglich der Quantenzahlen l, m, und s
entartet ist. Auch die genaue Form der Orbitale könnte etwas anders sein.
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Aber s-Orbitale bleiben kugelsymmetrische
s-Orbitale, die Keulen der p-Orbitale bleiben Keulen, usw. usf..
Mit diesem Ansatz erhalten wir - ohne überhaupt
zu rechnen - folgendes Ergebnis: |
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Jede
Lösung der Schrödingergleichung für ein Elektron in einem
beliebigen Atom wird weiterhin durch die vier Quantenzahlen n, l, m,
s beschrieben. |
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Als Wellenfuktion für das eine Elektron, das wir herausgegriffen haben, stehen
- leicht modifiziert - die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms zur
Verfügung. Insbesondere sind die Orbitalformen in ihren Symmetrien unverändert. |
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Zu jedem Satz von Quantenzahlen gehört
weiterhin eine Gesamtenergie E; allerdings kann der Zahlenwert
sehr verschieden von den Wasserstoff-Werten
sein. |
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Die beim Wasserstoffatom vorliegende Entartung
(E nur abhängig von n, nicht von l,
m und s) muß nicht mehr vorliegen; zur selben
Hauptquantenzahl n können - je nach l,
m und s - verschiedene Gesamtenergien vorliegen. |
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Damit kann ein Atom als ein System
verstanden werden, das für die gebundenen Elektronen bestimmte Orbitale
als mögliche Elektronenzustände aufweist, charakterisiert durch einen
Satz von Quantenzahlen und eine zugehörige Gesamtenergie. Graphisch stellt
man dies häufig ganz schematisch in einem Quantenzahlen - Energie Diagramm dar: |
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Allerdings nehmen wir am Rande
war, dass dies eine rein schematische Auftragung ist. Die wahre Energie, die zu
einem Satz von Quantenzahlen gehört, folgt nicht dem einfachen
"Leiter" Schema der Graphik, das immer gleiche Abstände zwischen
den Energie "Sprossen" zeigt. Insbesondere kehrt sich gelegentlich
sogar die Reihenfolge um, z.B. liegen die 3d - Energieniveaus
högher als das 4s Niveau - deswegen stehen nach Ar auch
keine Elementsymbole mehr an den Niveaus. Mehr dazu in einem
eigenen Modul. |
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Nehmen wir als Beispiel jetzt ein
Silizium Atom, dann müssen wir
14 Elektronen auf die vorhandenen Zustände verteilen. Geben wir auf
jeden Zustand ein Elektron, landen wir beim
3p2 (d.h. wir haben zwei Elektronen auf den zu n =
3 und l = p gehörenden 6 Zuständen);
für die anderen Elemente gilt entsprechendes. |
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Die Energien sind hier völlig willkürlich
dargestellt; sie sind bei jedem Atom anders. Allerdings bleibt die
ungefähre Wichtung erhalten: Zustände mit kleinen Quantenzahlen; damit großen
Aufenthaltswahrscheinlichkeiten in Nähe des Atomkerns, liegen energetisch
"tief". Die Elektronen sind stark
gebunden; man bräuchte viel Energie um sie aus dem Atom abzulösen.
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Im obigen Bild sind die Elektronen
gleichmäßig auf die verfügbaren Zustände verteilt, aber
nach welchem Kriterium?
Wie beim Wasserstoffatom
fragen wir uns wieder, wo die Elektronen nun sind, welche Zustände sie
jetzt wirklich besetzen. |
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Die intuitive Antwort,
basierend auf der klassischen Physik, wäre, daß sie alle - oder doch
fast alle - auf dem energetisch tiefsten Niveau sich befinden, da wir zu wissen
glauben, daß alle sich selbst überlassenen Systeme zum
Minimum der Energie
streben. Aber |
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Die
Intuition ist völlig falsch!
(die klassische Physik hier auch) |
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Denn in der Welt der Quantenphysik
gilt das nach dem Physiker Wolfgang
Pauli benannte Pauli
Prinzip, auch Paulisches
Auschließungsprinzip genannt. Es ist von ungeheurer
Wichtigkeit und besagt etwas sehr einfaches: |
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Teilchen mit halbzahligem Spin
(und dazu gehören die Elektronen)
dürfen nie Zustände einnehmen,
die in allen Quantenzahlen übereinstimmen.
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Was ist der Spin eines Teilchens? Am besten ist es, sich den
Spin als ist eine elementare Eigenschaft
vorzustellen, die ein Teilchen hat, und die nicht ohne Zerstörung des
Teilchens geändert werden kann. |
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Es ist so ähnlich wie bei der
(Elementar)ladung oder der Masse eines Elektrons (oder anderen
Elementarteilchens): Es sind Eigenschaften des Teilchens, die es hat und die
wir messen können. Was aber eine
Ladung "eigentlich" ist - das
"weiß" niemand. |
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Ähnlich wie die Ladung oder die Masse, gibt
es auch den Spin auch nur in festen,
unabänderlichen und unzerstörbaren (in diesem Fall dimensionslosen)
Werten |
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Entdeckt wurde der Spin 1926, mehr dazu im
Link. |
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Der Spin ist nicht direkt meßbar, er erscheint je nach
experimenteller "Blickrichtung" entweder als Drehimpuls oder als magnetisches Moment. |
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Im Gegensatz zur elektrischen Ladung ist der Spin s
aber so etwas ähnliches wie ein Vektor; man denke sich dazu einen kleinen Pfeil der
Länge 1/2 und Richtung "up" oder "down",
"links" oder "rechts" - wie es beliebt. |
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Mit einem Spin verkoppelt ist immer ein
mechanischer Drehimpuls S. Dieser Spindrehimpuls ist sehr einfach zu berechnen;
wir haben (etwas salopp formuliert) |
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| S |
= |
s ·
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Für ein Elektron (oder Proton, oder Neutron
, oder ....) findet man S relativ zu einer willkürlichen
Achse immer nur mit den Werten +
/2 oder –
/2; d.h. unser
kleiner Pfeil zeigt in die gewählte Richtung (+) oder in die
Gegenrichtung (–); aber nie
woanders hin. . |
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Das Plancksche Wirkungsquantum hat
hier die Funktion des elementaren
Drehimpulsquants. Man ist damit versucht, sich das Teilchen als
kleinen Kreisel vorstellen; aber das ist eine Analogie die nicht weit
trägt. |
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Denn das kleine Magnetchen, oder genauer gesagt,
das magnetische Moment, das sich beispielweise bilden müßte, wenn
eine Ladung im Kreis herumläuft - wie es bei einem geladenen
Kügelchen, als das man sich ein Elektron mit Drehimpuls ja vorstellen
müßte - liegt zwar in Form des magnetischen Moments des Elektrons
vor, aber es hat den "falschen" Zahlenwert |
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Magnetisches Moment heißt, daß das
Elektron (oder ein anderes Elementarteilchen) sich wie ein kleiner Stabmagnet
mit Nord- und Südpol benimmt. Jede Ladung die sich im Kreis bewegt hat ein
magnetisches Moment, aber interessanterweise hat auch das elektrisch neutrale
Neutron ein magnetisches Moment. Wir nehmen einfach mal hin, daß auch das
magnetische Moment eines
Elementarteilchens
gequantelt ist und einen bestimmten Teil einer elementaren Einheit besitzt, dem
Bohrschen Magneton mB =
1.1654 · 10– 29 Vsm. Mehr im
Link. |
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Alle Elementarteilchen besitzen einen
halb- oder ganzzahligen Spin (wenn man, etwas sophistisch, Spin = 0 als
ganzzahlig mitrechnet). Der Spin eines Teilchens ist wie die elektrische Ladung
immer gequantelt, d.h. kommt immer nur als Vielfaches von + ½ oder
– ½ vor. |
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Elementarteilchen haben damit immer
eine halbzahlige oder ganzzahlige Spinquantenzahl, oder salopp
ausgedrückt, Spin, z.B. s = 1/2, s = 3/2, oder
s = 0, s = – 1, s = 2. Teilchen mit halbzahligem Spin - die Fermionen - sind insbesondere: |
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Elektronen: Ihr Spin ist ± ½. |
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Protonen und
Neutronen: Ihr Spin ist ebenfalls ±
½. |
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Exoten, wie
das Omega -Teilchen mit Spin
±3/2. |
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Alle diese Teilchen haben den Spin 1/2
oder ein Vielfaches von ½; man nennt alle Teilchen mit
halbzahligem Spin Fermionen (nach dem Physiker Enrico
Fermi) - in der
Einführung in die Materialwissenschaft Teil II werden wir lernen, warum.
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Teilchen mit ganzzahligem Spin - man nennt sie nach Chandraseka
Bose generell
Bosonen - sind: |
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Mesonen (die
Teilchen die die Bindungskräfte im Atomkern vermitteln). Ihr Spin ist
0 |
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Photonen, die
"Lichtteilchen". Sie sind in diesem Zusammenhang ganz wichtig; ihr
Spin ist 1. |
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Spätestens beim Beispiel des
Photons wird klar, daß die Vorstellung des Spins als ein sich drehendes
"Kügelchen" seine Tücken hat. Es ist besser, den Spin eines
Teilchens als elementare Eigenschaft zu akzeptieren, die ähnlich wie die
Ladung immer erhalten bleibt. |
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Das Pauli-Prinzip hat weitreichende
Konsequenzen; wir werden einige davon noch kennenlernen. |
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Aber warum gilt
es? Was ist so fundamental verschieden zwischen Fermionen und
Bosonen? |
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Hier liegt eine der tiefsten Fragen der Physik
versteckt. Selbst Richard
Feynman,
berühmt dafür, daß er selbst die kompliziertesten Dinge einfach
(und trotzdem richtig) erklären konnte, hat hier das
Handtuch geworfen - man
muß das Pauli-Prinzip einfach als Naturgesetz akzeptieren. |
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Die Besetzung der bei einem Atom
vorhandenen Zustände unter Berücksichtigung des Pauli-Prinzip ist nun
einfach: Wir starten mit der kleinsten Quantenzahl und füllen das dadurch
definierte Energieniveau mit einem
Elektron. Wir bekommen das Wasserstoffatom im Grundzustand. Die Quantenzahlen
des Elektrons sind |
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n = 1, l = 0, m =
0, s = +1/2. Da im Kontext des hier behandelten Atommodells der Spin
sich als Drehimpuls "zeigt", müssen wir das Vorzeichen
betrachten. Wir hätten auch s = – ½ nehmen können;
aber wir müssen uns für eine der beiden Möglichkeiten
entscheiden; welche ist egal. Zur leichteren Ansprache nennen wir es ein
1s1 - Elektron. |
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Das He - Atom braucht ein weiteres
Elektron; dieses hat nun dem Pauli-Prinzip folgend die Quantenzahlen
n = 1, l = 0, m = 0, s = - ½. In der
Kurzschreibweise ist es ein 1s2 - Elektron. Die 2 als
"Hochzahl" am s drückt dabei nur aus, daß es das
zweite Elektron ist, das diesen Zustand
besetzen kann - ob man ihm Spin ½ oder - ½ zuschreibt,
ist willkürlich. Alle zu n = 1 gehörenden Orbitale sind
jetzt besetzt, wir haben eine vollständig
gefüllte erste "Schale". |
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Für das Li -
Atom mit drei Elektronen hat es
auf den 1s-Niveaus, die durch n = 1 und l = 0 definiert
sind, keinen Platz mehr. Das nächste
Niveau ist durch s = 2, l = 0, m = 0, s = +1/2
definiert, wir bekommen das 2s1 - Elektron. Wir haben jetzt
begonnen, die n = 2 Schale zu besetzen; sie kann insgesamt
8 Elektronen aufnehmen. |
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Davon 2 für den s - Zustand,
und 6 im p - Zustand. Die Hochzahl gibt dabei immer an wieviele
der vorhanden Zustände s,p,d,... besetzt sind; sie kombiniert dabei
die Quantenzahlen m und s. |
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Und so weiter und so
fort. Dieses Bildungsprinzip ist im obigen Bild schon
berücksichtigt. |
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In der schematischen Grafik ist jeder
Zustand bei einer anderen Energie eingezeichnet, das kann, aber muß nicht
sein, da einige Zustände ja entartet sein können, d.h. dieselbe
Energie besitzen. |
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Uns fällt auf: Immer wenn in
einer Schale die p - Niveaus vollständig gefüllt sind, d.h.
alle möglichen Zustände durch Elektronen besetzt sind, ist das
zugehörige Atom ein Edelgas - wir reden von
einer vollbesetzten Schale. |
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Edelgase sind
edel, weil sie so gut wie
nicht mit anderen Elementen reagieren und keine Moleküle bilden - nicht
mal mit sich selbst. Deshalb sind sie Gase,
denn eine Flüssigkeit oder ein Festkörper verlangt per definitionem,
daß ein Atom sich an andere Atome "bindet". |
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Wir wissen, daß die Neigung Bindungen
einzugehen von der Temperatur abhängt;
bei hohen Temperaturen ist alles gasförmig. Aber Edelgase bleiben auch bei
extrem tiefen Temperaturen noch
gasförmig; Helium verflüssigt erst 4 K über dem
absoluten Nullpunkt (und wird überhaupt nie fest)! Sie sind also chemisch
inert. |
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Auch die Elemente, denen gerade noch
ein Elektron für eine vollbesetzte Schale fehlt, sind sich chemisch ähnlich; dasselbe
gilt für die Elemente, die eines zuviel besitzen. |
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Wir haben die chemischen Familien der
Halogenide beziehungsweise
Alkalimetalle - beides äußerst
reaktive und aggressive Elemente, die in der Natur deshalb auch nie elementar
vorkommen, sondern immer nur im Verbund mit anderen Atomen. |
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Offenbar gibt es Regeln, die
allgemeine chemische Eigenschaften und gefüllte Elektronenzustände
miteinander verknüpfen. Sie sollen im nächsten Unterkapitel
angesprochen werden. |
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© H. Föll (MaWi 1 Skript)
