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Die Schrödingergleichung
für das Wasserstoffatom zu lösen
ist nicht ganz einfach, aber auch nichts besonderes. Auszurechnen was passiert,
wenn man in eine Flöte bläst, ist erheblich komplizierter. |
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Aber man muß doch tief in die Systematik
der Lösung von partiellen Differentialgleichungen eintauchen,
Kugelkoordinaten bemühen; Reihenentwicklungen vornehmen - eben das
Instrumentarium der höheren Mathematik anwenden. Das braucht erheblichen
Platz für lange Formeln, und erheblichen Zeitaufwand um die
Lösungsermittlung abzuspulen. Wir wollen das hier nicht tun; ein
Kurzabriß der
Lösung findet sich in einem "advanced" Modul. |
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Was aus der "mathematischen
Übung" herauskommt (es wird so gut wie keine Physik mehr
benötigt!), sind vollständige Lösungen der Gleichung |
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| – |
 2
2m |
æ
ç
è |
¶2y(x,y,z)
¶x2 |
+ |
¶2y(x,y,z)
¶y2 |
+ |
¶2y(x,y,z)
¶z2 |
ö
÷
ø |
+ |
æ
ç
è |
e2
4pe0r |
– E |
ö
÷
ø |
· y(x,y,z) = 0 |
mit r = (x2 + y2 +
z2)1/2 |
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Und nur auf die Lösungen yn,l,m,s(x,y,z) wollen wir uns jetzt
konzentrieren. |
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Wir betrachten zunächst die einfachsten Wellenfunktionen, man erhält sie
für die "s-Zustände",
d.h. für die Kombinationen n = 1,2,3,.. und l = s, d.h. l
= 0 für alle n. Die magnetische Quantenzahl m ist dann
automatisch auch = 0. |
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Die entsprechende Lösung ist
kugelsymmetrisch, d.h. ihr Wert ist nur vom
Abstand r des Punktes (x,y,z) vom Nullpunkt
abhängig. Die zugehörigen Energien E sind exakt die
Energien aus dem Bohrschen
Atommodell! |
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Wir erhalten
folgende Funktionen, denen gemeinsam ist, daß sie mit wachsendem
r gegen Null streben. |
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Radialwellenfunktionen y von Wasserstoff für n = 1, 2, 3.
Die r - Skala gilt für alle Graphiken;
in was für Einheiten y aufgetragen ist
spielt hier noch keine Rolle. |
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Wenn wir nun die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Elektron
in einem Volumenelement dV graphisch darstellen, also y·y* multipliziert mit
dem differentiellen Volumen dxdydz, erhalten wir
für die s-Zustände, also für
alle Lösungen der Schrödingergleichung für die l =
0 ist, ebenfalls radialsymmetrische
Funktionen. |
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Radialsymmetrisch heißt,
daß der Wert von y nur von
r abhängt, und damit nur vom Wert des Potentials am Abstand r vom Atomkern.
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Es empfiehlt sich dann natürlich, nicht nach der Wahrscheinlichkeit zu fragen, das
Elektron in einem Würfelchen mit
Kantenlänge dx zu finden, sondern nach der Wahrscheinlichkeit, es in der
Kugelschale zwischen den Radien
r und r + dr, also in einem bestimmten
Abstandsintervall, zu finden. Wegen der Radialsymmetrie ist das unabhängig vom genauen Ort auf der
Kugelschale. |
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Damit wird das Volumenelement dV proportional zu
r2dr (genau ist es 4pr2dr) und die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit in diesem dV ist proportional zu
y · y* ·
r2 · dr. |
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Dieser
Übergang von cartesischen zu radialen Wahrscheinlichkeitsdichten ist durchaus
trickreich und nicht trivial! Der Übergang von cartesischen Koordinaten zu
Kugelkoordinaten wegen der Radialsymmetrie ändert ganz entscheidend die
Betrachtungsweise: |
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y
· y*dxdydz hat ein
Maximum am Ort des Atomkerns, während y
· y* r2dr am Ort
des Atomkerns = 0 ist aber dafür ein Maximum bei einem bestimmten
r hat. Dies ist in einem
besonderen Modul
ausführlich dargestellt. |
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Es lohnt sich, diesen Übergang genau zu
studieren; er wird noch häufiger vorkommen! |
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Wir erhalten die folgenden Graphiken: |
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In einer dreidimensionalen
Darstellung ist das "s-Elektron", das
durch diese Wellenfunktionen beschrieben wird, radialsymmetrisch um den
Nullpunkt, d.h. den Ort des Atomkerns "verschmiert". |
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Dieses "Verschmieren" ist aber nicht als eine Art zeitlicher Mittelwert zu sehen,
den wir bemühen weil wir nicht schnell genug hinschauen (so ähnlich
wie ein "verschmierter" Propeller beim Flugzeug), sondern das
Elektron ist diese
"Verschmierungswolke", oder, um endlich einen Namen ohne
Anführungszeichen zu haben, das Elektron ist das s - Orbital,
falls es sich in diesem Zustand befindet. |
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Auch den Lateinern sei gesagt: Obwohl in diesem
Wort noch die "Umkreisung" des alten Bohrschen Planetenmodells
steckt, hat die lateinische Wurzel hier ihre Bedeutung verloren. Nichts
kreist mehr. |
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Das Elektron ist mit gleicher Wahrscheinlichkeit (zu jeder Zeit) an jedem
Punkt zu finden, der den Abstand r vom Ursprung hat. Dicht am
Ursprung, oder weit weg, ist die Wahrscheinlichkeit beliebig klein, sie ist am
größten (aber keinesfalls = 1) bei einem bestimmten Radius
r0, wie es aus obiger Figur hervorgeht. |
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Was bedeutet: "Wahrscheinlichkeit, das Elektron zu
finden"? |
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Es bedeutet, daß nur das Eingreifen von außen, eine Messung mit
einem geeigneten Gerät, durchgeführt von einem "Beobachter", eine eindeutige Aussage
darüber machen kann, wo die
durchgeführte Messung das Elektron gefunden hat. |
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Für diese
Messung (und nur für diese) ist der Ort, an dem das Elektron
war, dann präzise bekannt. Wiederholt
man die Messung mit exakt denselbem
Ausgangsbedingungen, findet man einen anderen Ort. |
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Das ist zwar in der Wirkung so ähnlich wie beim Würfeln, aber es ist
vom Prinzip her total anders! Würde man ein Würfelexperiment mit exakt denselbem Ausgangsbedingungen wiederholen,
würde man exakt dieselbe Zahl würfeln! Die "Statistik" beim
Würfeln kommt vom "Nicht wissen", sie ist nicht ein integraler Teil des Systems. |
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Wiederholt man die Messung oft und
zeichnet die gefundenen Positionen (zur Vereinfachung nur zweidimensional) in
ein Koordinatensystem ein, erhält man für ein
"s"-Elektron folgende Bilder: |
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"Experimentelle" Darstellung der s -
Orbitale.
Hier wurde ein Experiment durchgeführt (per Simulation im Computer): Mit
einer geeigneten Anordung wird der exakte Ort eines Elektrons
"gemessen". Der gefundene Ort wird als Punkt in ein
x,y,z - Koordinatenkreuz eingetragen. Danach wird das Experiment
wiederholt, der jetzt gefundene Punkt eingetragen, usw. Die entstehende
Punktwolke gibt dann einen unmittelbaren visuellen Eindruck über die
Wahrscheinlichkeit, das Elektron bei der Koordinate x,y,z zu
finden. |
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Alle s-Orbitale sehen
ähnlich aus, sie haben jedoch verschiedene räumliche Ausdehnungen und
verschiedene Energien E. Für n = 1 ist das
Elektron mit größter Wahrscheinlichkeit näher am Atomkern zu
finden als für größere n; es hat überdies
die kleinste Energie (d.h. die
betragsmäßig größte
negative Zahl), d.h. ist am stärksten an den Kern
gebunden. Für größere Hauptquantenzahlen ist es
"weiter weg" und schwächer gebunden. |
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Das Bild gibt exakt
die Wahrscheinlichkeiten wieder, die man mit der Schrödingergleichung
ausgerechnet hat. Und mehr als Wahrscheinlichkeiten
kann man nicht ausrechnen. In der Quantentheorie gibt es nur noch
Gewißheit bezüglich der (direkt
nicht meßbaren) Wellenfunktion, aber nicht mehr bei den beobachtbaren
(d.h. direkt meßbaren) Größen! |
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Diese Tatsache hat bis heute zu ungelösten
philosophischen Fragen über das Wesen der Quantentheorie geführt. Die
tiefste Frage ist vielleicht aber, um mit Steven Weinberg zu sprechen, ob all diese
"tiefen" philosophischen Fragen in Wahrheit vielleicht völlig
bedeutungslos sind, und uns nur durch unsere
Sprache, die in einer
"klassischen" Welt evolutionär entstand, suggeriert werden! |
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Da aber noch nie, seit mit der
Quantenmechanik gerechnet wird, irgendetwas
falsch herausgekommen ist, d.h. irgendetwas in einem Experiment anders gemessen
wurde als vor- oder nachher berechnet, brauchen wir uns um die "Bedeutung" der Quantenmechanik nicht
weiter zu kümmern, falls wir "nur" verstehen wollen, was die
Welt im Innersten zusammenhält, wie ein Transistor funktioniert,oder warum
Glas bricht, wenn man mit dem Hammer draufhaut, Gummi aber nicht. |
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Trotzdem gehört es zur Allgemeinbildung -
wenigstens in der naturwissenschaftlich-technischen Welt - ein Minimum an
Einblick in die metaphysischen, d.h. philosophischen Fragen nach der Bedeutung
der Quantenmechanik zu besitzen. Ein Schlagwort wie "Schrödingers Katze" sollte zumindest
so weit bekannt sein, daß man es den ungelösten (philosophischen)
Paradoxa der Quantentheorie zuordnen kann. Die aufgeführten
Bücher zur
Quantentheorie geben dazu reichlich Material. |
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Aber nochmals soll
betont werden: Wie auch immer diese Fragen beantwortet (oder
neuformuliert) werden; sie sind für die Ausübung der
Materialwissenschaft nicht wichtig.
Solarzellen, Chips, Farbfernseher, Flugzeugturbinen, Laser, Lambdasonden usw. -
alles Produkte der Quantentheorie - funktionieren unabhängig davon, wie
man zur "Philosophie" der Quantentheorie steht. |
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Ein Bild sagt mehr als 1.000
Worte. Eine sichtbare Lösung einer komplizierten Gleichung überzeugt
uns doch mehr als die mathematische Formel. |
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Kann man Wellenfunktionen sehen? Nein - wie soll
den was komplexes aussehen? Aber y(x,y,z)
· y*(x,y,z) kann man seit wenigen
Jahren sehen - wie, steht im Link. |
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Als nächstes sind die
d-Orbitale zu betrachten. Wir brauchen
mindestens die Hauptquantenzahl n = 3, damit die Nebenquantenzahl
den Wert l = 2 annehmen kann. |
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In der jetzt (hoffentlich) vertrauten
y Darstellung ergibt sich folgendes
Bild: |
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Darstellung der Maxima
von y für die l = 2 oder
d - Orbitale.
Beim Übergang zu Aufenthaltswahrscheinlichkeiten gibt es wieder
Verzerrungen, doch bleibt die Symmetrie erhalten. |
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Das sieht alles ganz kompliziert aus.
Ist es auch - aber, wie schon bemerkt, es ist nicht komplizierter als eine
Darstellung der Schwingungsbäuche oder -knoten derLuft in einer Okinara,
einem Cello oder sonst einem Musiklinstrument. |
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Es ist sogar einfacher, da wir hier perfekte Kugelsymmetrie
haben, was in einem Musikinstrumente nicht gegeben ist. |
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Im Zweidimensionalen kennen wir das alles. Betrachten wir die
Schwingungsmoden einer eingespannten Membran (z.B einer Trommel), erhalten wir
experimentell die altbekannten Chladnischen Klangfiguren; im
Link zu sehen. |
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Auch wenn wir das nicht so ganz leicht ausrechnen können:
Das Experiment zeigt sehr einfach, dass 1. (viele) Lösungen
existieren, 2. darunter komplexe Figuren sind, die mathematisch nicht
ganz einfach dargestellt werden können, und 3. Die Trommelmembran
(im Gegensatz zu uns) aber keine Probleme hat, die entsprechende
Differentialgleichung zu lösen. |
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Eine Frage drängt sich jetzt
vielleicht auf: Kann man all diese schönen berechneten Orbitale und Wellenfunktionen auch
irgendwie direkt sehen? Mit einem Elektronenmikroskop oder sowas
ähnliches? |
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Auf diese Frage gibt es keine einfache Antwort,
aber ganz vorsichtig und mit Einschränkungen kann man ein leises
"Ja" sagen. Mehr dazu in einem
eigenen Modul. |
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Es wird langsam kompliziert. Deshalb
hören wir hier auf, denn für unsere Zwecke müssen wir die
möglichen Orbitale nicht im Detail verstehen; wer will kann sich das im
Link genauer anschauen. Wir
fragen uns lieber, was die magnetische
Quantenzahl m und die
Spinquantenzahl s noch
bewirken. |
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Einfach ist die Spinquantenzahl
s. Sie bewirkt - soweit es uns an dieser Stelle interessiert -
noch gar nichts. Jede Lösung der Schrödingergleichung für das
Wasserstoffatom ist eine Lösung für ein Elektron mit Spin +1/2
und eine Lösung für ein Elektron
mit Spin –1/2. Die Energie ist (ohne Magnetfelder) immer entartet, d.h. für jeden der beiden
möglichen Spins gleich groß. |
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Aber bitte jetzt nicht denken, der
Spin ist unwichtig! Er ist - unter anderem- verantwortlich für so wichtige
Materialeigenschaften wie Magnetismus! |
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Außerdem ist die schlichte Tatsache,
daß der Spin der Elektronen halbzahlig ist, letzlich dafür verantwortlich,
daß es überhaupt Atome gibt -
wir werden das gleich sehen. |
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Ähnliches gilt für die
magnetische Quantenzahl m. Sie ändert zwar, wie man oben
sieht, die Form der Orbitale; die Energie ist jedoch beim Wasserstoffatom bezüglich m
ebenfalls entartet, d.h. alle möglichen Zustände mit verschiedenen l und
m haben dieselbe Energie. |
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Wir haben ein wichtiges Wort nebenbei
eingeführt: Den Zustand des Elektrons. Der
Zustand beschreibt die eine spezifische Lösung von den vielen
möglichen, die beim betrachteten
Elektron greift. Der Zustand eines Elektrons im Wasserstoffatom ist durch die
4 Quantenzahlen hinreichend beschrieben. |
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Fassen wir zusammen,
was wir für das Wasserstoffatom
gelernt haben: |
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Es gibt schon für ein Elektron (und ein
Proton) viele Lösungen der
Schrödingergleichung.
Die Lösungen werden durch einen Satz von 4 Quantenzahlen (n, l, m, s) charakterisiert,
zu jedem Satz gehört eine bestimmte Gesamtenergie und eine bestimmte Orbitalform.
Die Orbitalform ist durch n,
l und m gegeben;
sie gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist,
das Elektron in einem gegebenen Raumsegment zu finden.
Beim Wasserstoffatom sind die Energien bezüglich l, m, s entartet; d.h. werden
nur durch n bestimmt. Sie sind identisch
mit den Energiewerten aus dem Bohrschen Modell. |
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Welchen Zustand hat oder
"besetzt" nun das Elektron, oder,
präziser gefragt, welche der mögliche Lösungen "sucht es
sich aus"? |
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Ganz auf sich gestellt, wird es immer den Zustand
mit der kleinsten Energie aufsuchen, den
sogenannten Grundzustand, also den
1s1 - Zustand mit n = 1, l = 0 (or "s"), m
= 0, s = +½ oder –½ |
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Da die Quantenzahlen m
und s hier unwichtig sind, vergessen wir sie und kürzen den Zustand
ab wie folgt:
Ein Elektron im Grundszustand ist ein
1s1 Elektron. Die hochgestellte 1 numeriert
die Elektronen; d.h. hier haben wir 1 Elektron im 1s
Zustand. |
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Steht unser Elektron in Wechselwirkung mit dem Rest der Welt, z.B. durch
elektromagnetische Strahlung (inkl. Licht), wird es hin- und wieder genau die
richtige Energie aus dem Strahlungsfeld aufnehmen können, um zu einem der
höheren Zustände gelangen zu können. |
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Dort wird es einen Weile "sitzen", um
dann "von alleine" auf einen
energetisch niedrigeren Zustand zu springen - unter Aussendung eines Photons
mit exakt der Energiedifferenz der beiden Zustände. |
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Haben wir genügend viele Wasserstoffatome,
die bei genügend Energiezufuhr - z.B. in einer elektrischen Entladung oder
im Strahlungsfeld einer Sonne - das ziemlich häufig tun, sehen wir ein
leuchtendes Gas. |
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Schauen wir das leuchtende Gas durch
ein Spektrometer an, sehen wir scharfe Spektrallinien bei Frequenzen, die exakt den
Energiedifferenzen der möglichen Zustände entsprechen. |
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Man findet aber nicht alle
Frequenzen, die eigentlich vorkommen könnten. Denn nicht alle Übergänge zwischen Zuständen
sind erlaubt; es gibt sogenannte
Auswahlregeln, die
angeben welche Übergänge vorkommen und welche nicht. |
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Auf diesen beiden Prinzipien: Übergänge zwischen verschiedenen
Zuständen und Auswahlregeln beruht die
komplette Spektroskopie. Wir wollen sie hier
jedoch nicht näher verfolgen, sondern uns als nächstes mit den
verbliebenen 91 Atomsorten beschäftigen |
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Vorher machen wir aber noch zwei
Übungen, eine mehr zum Nachdenken, und eine richtige, sehr schwere
Rechenübung, die uns ein Grundphänomen der Quantentheorie
erschließt: Den Tunneleffekt |
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© H. Föll (MaWi 1 Skript)
