Lösung zur Übung 8.1-1

Bestimme typische Zahlenwerte für die Beweglichkeit

1. Errechne einige typische Werte für die Beweglichkeit µ für Metalle
Wir expandieren zuerst die Tabelle imdem wir die Dichte der Atome pro m3 ausrechnen. Das sollte in etwa auch die Elektronendichte ergeben, da von jedem Atom so in etwa ein Elektron ins freie "Elektronengas" geht. Mal sehen ob das zu den angegebenen Zahlen paßt:
Material r [W cm] s [W–1 cm–1] Density
d × 103 [kg m–3]
Atomic weight
w × 1u
= 1,66 · 10–27 kg]
nA = d/w
[m–3]
ne [m–3]
Silver Ag 1,6·10–6 6.2·105 10,49 107,9 5,85 · 1028 » 1029
Copper Cu 1,7·10–6 5.9·105 8,92 63,5 8,46 · 1028 » 1029
Lead Pb 21·10–6 4.8·104 11,34 207,2 3,3 · 1028  
Paßt! Das heißt, für typische Metalle kennen wir dieGrößenordnung der Elektronendichte.
Zur Berechnung der Beweglickeit µ verwenden wir unsere "Mastergleichung"
µ   =    s
q · n
Mit q = Elementarladung = 1,60 10–19 C erhalten wir dann, z. B. für Silber
µ Ag =  6,2 · 105
1,6 · 10–19 · 5,85 · 1028
  m3
C · W · cm 
  =   66,2   cm2
C · W 
Die Einheit ist noch etwas daneben, aber mit [C] = [A · s] und [W] = [V/A], erhalten wir
µAg  =  66,2   cm2
Vs 
         
µCu  =  43.6   cm2
Vs 
         
µPb  =  9,1   cm2
Vs 
2. Betrachte dann typische Feldstärken für Metalle (einfach passende Stromdichten wählen) und berechne daraus die Größenordnung für die Driftgeschwindigkeiten vD.
Die Definition der Beweglichkeit war
µ   =   vD
E
  oder  
vD  =   µ · E
Was sind nun typische Feldstärken in Metallen?
Einfach. Wir betrachten einen Würfel mit l = 1 cm. Sein ohmscher Widerstand R ist gegeben durch
R   =   r · l
F
  =   r   [W]
Ein Cu or Ag Würfel hätte damit einen Widerstand um 1,5 ·10–6 W. Mit einer Spannung von 1 V, und damit einer Feldstärke von 1 V/cm produzieren wir einen Strom von I = U/R » 650 000 A und damit eine Stromdichte von j = 650 000 A/cm2.
Das scheint eine recht hohe Stromdichte zu sein. Ja schon, aber in integrierten Schaltungen kommt man trotz kleiner absoluter Ströme gerne mal in die Näher derartig hoher Stromdichten.
Trotzdem, normale Leitungsdrähte werden eher mit weniger als ca. 3 000 A/cm2 belastet, und das bekommen wir schon für U = 1,5 ·10–6 W · 3000 A = 4,5 mV.
Für eine Größenordnungsabschätzung nehmen wir also mal eine maximale Feldstärke von 5 mV/cm und eine Beweglichkeit von 50 cm2/Vs. Damit erhalten wir
vD  =   50 · 5   mV · cm2
cm · V · s
 = 0,25  cm
s
 = 2,5  mm
s
Das ist wohl schon eine Überraschung! Die Elektronen müssen sich nur  g a n z   l a n g s a m   durch den Draht bewegen um einen riesigen Strom fliessen zu lassen!
Stimmt das überhaupt - oder haben wir was falsch gemacht?
Haben wir nicht. Es stimmt soweit wir das ganze klassisch betrachten! Quantenmechanisch wird es übrigens noch schlimmer; siehe später. Und nicht vergessen: Die Driftgeschwindigkeit ist nur eine winzige Änderung an den sehr großen thermischen Geschwindigkeiten!
Es ist wie bei einem Fliegenschwarm, der manchmal im Sommer wie eineWolke in der Luft hängt. Die einzelnen Fliegen sausen wie wahnsinnig mit hoher Geschwindigkeit wild durcheinander. Der ganze Schwarm bewegt sich aber kaum, oder nur mit kleiner Driftgeschwindigkeit falls ein Wind als treibende Kraft auftritt.
 

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