Lösung zur Übung 8.1-2

Berechne Zahlen für v0, vD, t, und l der freien Elektronen

1. Aufgabe: Berechne die mittlere thermische Geschwindigkeit v0(T) klassischer Elektronen.
Einfach. Einsetzen in die gegebene Formel ergibt:
v0   =  æ
ç
è
3kBT
m
ö
÷
ø
1/2  =  æ
ç
è
3 · 8,6 10–5 · 300
9,1 · 10–31
eV · K
K · kg
ö
÷
ø
1/2  =   2,92 · 1014 · æ
ç
è
eV
kg
ö
÷
ø
1/2
Die Einheit "Wurzel aus eV/kg" für die Geschwindigkeit ist ein bißchen daneben. Wir haben die "mechanischen" 1 kg · m2/s2 = 1 J mit kBT in eV ("atomar") gemessen gemischt; wir müssen also eV zu J konvertieren (benutze den Link). Wir haben 1 eV = 1,6 · 10–19 J = 1,6 · 10–19 kg · m2 · s–2 und erhalten:
v0   =  2,92 · 1014 · æ
ç
è
1,6 · 10–19 kg · m2
kg · s2
ö
÷
ø
1/2  =  1,17 · 105 m/s =  4,2 · 105 km/h
Das ist wohl etwas überraschend. Unsere Elektronen sind nicht langsam. Wir haben einenWert im Bereichkm/s, wie schon mal behauptet.
Andererseits: Für T ® 0 würde v0® 0 gehen – und das sollte uns zu denken geben!
 
2. Aufgabe: Berechne die mittlere Stoßzeit t der Elektronen.
Die passende Formel ist:
t  =   s · m
n · e2
Zunächst brauchen wir Zahlen für die Konzentration n der Elektronen pro m3. Dafür vervollständigen wir die gegebene Tabelle. (Achtung! jetzt immer m statt cm!) Für die Zahl der Atome = Zahl der Elektronen pro m3 müssen wir die Dichte durchs Atomgewicht teilen:
Atom Dichte
[kg · m–3]
Atomgewicht
[1,66 · 10–27 kg]
spezif. Leitfähigk. s
[107 W–1 · m–1]
atomare Konzentration [1028 m–3]
Na 970 23 2,4 2,54
Cu 8.920 64 5,9 8,40
Au 19.300 197 4,5 5,90
Wir nehmen 5 · 1028 m–3 als eine gute Größenordnung für n und einen Wert s = 5 · 107 W–1 m–1 als eine mittlere Leitfähigkeit. Wir erhalten:
t  =   5 · 107 · 9,1 · 10–31
5 · 1028 · (1,6 · 10–19)2
kg · m3
W · m · A2 · s2
 =  3,55 · 10–14 kg · m2
V · A · s2
In Sekunden [s] würde es besser aussehen. Also wieder Einheiten umrechnen!
Leicht: Volt mal Ampere = Watt = Leistung = Energie pro Zeit mit der Einheit 1 J · s–1 = 1 kg · m2 · s–3. Einsetzen gibt:
t  =  3,55 · 10–14 kg · m2 · s3
kg · m2 · s2
 =  3,55 · 10–14 s =  36 fs
Das sind recht kurze Zeiten. Für ein klassisches Teilchen viel zu kurz – sagen die Lehrbücher. Aber woher sollen wir wissen, was angemessen wäre? Schauen wir mal weiter, dann wird's klarer.
 
3. Aufgabe: Berechne die oberer Grenze für eine Driftgeschwindigkeit vD der Elektronen – indem wir eine sehr hohe Feldstärke von E = 100 V/m = 1 V/cm nehmen.
Einsetzen in die Gleichung mit den jetzt geläufigen Umrechnungen der Maßeinheiten gibt:
vD   =   E · e · t
m
 =   100 · 1,6 · 10–19 · 3,55 · 10–14
9,1 · 10–31
V · C · s
m · kg
 =   6,24 · 10–1 V · A · s2
m · kg
                 
vD  =   6,24 · 10–1 kg · m2 · s2
m · kg · s3
 =  6,24 · 10–1 m/s  =  624 mm/s
Das ist so ungefähr das Höchste der Gefühle, aber verglichen mit der thermischen Geschwindigkeit fast nichts!
Man solte sich klarmachen, dass eine Feldstärke von1 V/cm in einem Metall gigantisch groß ist. Wir rechnen mal schnell die zugehörige Stromdichte j aus:
Wir haben j = s · E = 5 · 107 W–1 m–1 · 100 V/m = 5 · 109 A/m2 = 5 · 105 A/cm2!
Für eine praktikablere Stromdichte von, sagen wir, 5 · 103 A/cm2 müssen wir die Feldstärke hundertfach reduzieren und erhalten gerade noch vD = 6,24 mm/s.
 
4. Aufgabe: Berechne die mittlere freie Weglänge l.
Die Formel ist einfach (und vD können wir in der Tat getrost vergessen):
l  = v0 · t  =  1,17 · 105 · 3,55 · 10–14 m   =  4,2 · 10-9 m   =  4,2 nm
 
Das ist Unsinn!
Die Elektronen können sich nicht auf Distanzen, die nicht viel größer als ein Atom sind, mit Defekten etc. stoßen! Die mittlere freie Weglänge sollte deutlich größer sein als errechnet.
Was haben wir falsch gemacht? Hier steht's!
Elektronen können nicht alle bei T ® 0 K beliebig langsam werden und dann alle denselben Zustand besetzen. Ein Teil muss wg. des Pauli-Prinzips auf höheren Zuständen = bei höheren Energien sitzen, d. h. höhere Geschwindigkeiten besitzen – bei jeder vernünftigen Temperatur. Im Endeffekt sind unsere Elektronen deshalb noch viel schneller als hier klassisch ausgerechnet.
Sind sie viel schneller, wird die mittlere freie Weglänge größer Þ Also: Don't worry, be happy; die Quantentheorie bekommt's hin!
     

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