Übung 2.1-5

Lösung der Schrödingergleichung für eine Potentialstufe

Wir betrachten ein Teilchen, das sich in dem dargestellten Potential eindimensional bewegt. Das Teilchen habe eine Gesamtenergie E, für die gelten soll: E < V0.
Das ist eine wichtige Beschränkung! Ein klassisches Teilchen kann sich deshalb nur im Bereich (1) aufhalten. Wenn das nicht glasklar ist, unbedingt darüber nachdenken!
Die Potentialstufe sieht also so aus:
Links ist das Potential - also die potentielle Energie des Teilchens - Null, rechts hat es den endlichen Wert V0
Wir fragen uns im wesentlichen, was einem Teilchen passiert das sich im Bereich (1) aufhält, wenn es auf die Potentialschwelle trifft.
 
Fragen:
1. Wie lautet die Schrödinger-Gleichung für das Teilchen in Gebiet (1)?
2. Zeige, daß y1(x) = A · exp (ikx) + B · exp –(ikx) eine Lösung der Schrödinger-Gleichung in Gebiet (1) ist.
A und B sind von 0 verschiedene Konstanten, und i ist die imaginäre Einheit; i2 = –1.
Was wird durch k physikalisch beschrieben? Hinweis: Beachte die Dimension und die allgemeine Form der Lösung (verwende den Eulerschen Satz).
3. Wie lautet die Schrödinger-Gleichung für das Teilchen in Gebiet (2)?
4. Zeige, daß y2(x) = C · exp –(a · x) eine Lösung der Schrödinger-Gleichung in Gebiet (2) ist.
C ist wieder eine von null verschiedene Konstante.
Weiterhin gilt:
a2   =   2m · (V0E)
2
5. Berechne die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |y2(x)|2 des Teilchens in Gebiet (2) und vergleiche das Ergebnis mit deiner Erwartung für ein klassisches (nicht quantenmechanisches) Teilchen?
6. Was könnte passieren, wenn statt einer Potentialschwelle eine dünne Barriere genommen wird?
7. Warum macht die Lösung y1'(x) = C' · exp –a · x für Gebiet (1) physikalisch keinen Sinn?
8. Welcher Grenzfall führt bei diesem Problem auf das klassische Ergebnis?
 
Lösung


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© H. Föll (MaWi 1 Skript)