2.2.3 Zustandsdichte des freien Elektronengases

Ableitung der Zustandsdichte

Im vorherigen Unterkapitel haben wir die möglichen Zustände des Elektrons und die möglichen Energien des Elektrons bestimmt. Im folgenden werden wir uns der Frage widmen, wieviele Zustände es zu einer Energie gibt und zeigen, daß diese Anzahl der Zustände für verschiedene Energien unterschiedlich ist.
Die Anzahl der Elektronenzustände pro Energie(intervall) und pro Volumeneinheit wird als Zustandsdichte bezeichnet. Zustandsdichten sind fundamentale Bestimmungsgrößen von Systemen wie z.B Kristalle, amorphe Körper, Hohlraumresonatoren für Schallwellen oder Lichtwellen, usw.
Nochmal. weil's so wichtig ist: Die hier angesprochen Zustandsdichte ist ein reale Eigenschaft realer Materialien und Systeme, und nicht nur eine mathematische Definition in einem skurrilen Modell eines Kristalls. Sie inkorporiert die zentralen elektronschen Eigenschaften des Materials; ihre reale Wichtigkeit kann kaum überschätzt werden. Hier rechnen wir halt so gut wir können, wenn's nicht gut genug sein sollte, werden wir Zustandsdichten, wie immer, einfach messen!
Für unser Modell des freien Elektronengases können wir die Zustandsdichte im Prinzip durch abzählen erhalten.
Versuchen wir es mal. Gleichzeitig tabellieren wir, wieviele Elektronen in den Zuständen, die zu einer Energie gehören, Platz haben. (wobei wir immer daran denken, daß wegen des Pauli-Prinzips ein Zustand mit maximal zwei Elektronen ("Spin up" und "Spin down") besetzt werden kann.
Quantenzustand Energie
(× Konstante )
Zustände Zahl der e
pro E
nx ny nz
0 0 0 0
1 2
±1
0
0
0
±1
0
0
0
±1

1
2
2
2

6

12
±1
±1
0
±1
0
±1
0
±1
±1

2
4
4
4

12

24
±1 ±1 ±1 3   8 16
±2
0
0
0
±2
0
0
0
±2

4
2
2
2

6

12
Weiter ohne Details
2 1 0 5     48
2 1 1 6     ?
2 2 0 8     ?
2 2 1
9
   
?
3 0 0    
und so wie weiter?
Damit das ganz klar wird, zeichnen wir jetzt das Energie- und Besetzungsschema für die ersten 5 Zustände:
Zustandsdichte
Spannend - offenbar ist weder die Abfolge der Energieneiveaus noch die Zustandsdichte eine triviale Größe; jedenfalls ist aus der Abzählerei kein sofort erkennbares einfaches Bildungsgesetz ableitbar!
Wir müssen anders vorgehen - wir brauchen den Zustandsraum. Wir definieren ihn erst mal, und sehen uns dann an, was man damit machen kann.
Der Zustandsraum (auch k-Raum, Phasenraum oder Impulsraum genannt) ist der Raum, der von den Wellenvektoren aufgespannt wird. Man stellt sich ihn am einfachsten vor als ein kubisches Gitter mit den Basisvektoren
kx  =  æ
è
2p
L
   0    0 ÷
ø
                 
ky  =  æ
è
0    2p
L
   0 ÷
ø
                 
kx  =  æ
è
0   0   2p
L
÷
ø
Die Einheitszelle hat dann ein Volumen
VEZ  =  æ
ç
è
2p
L  
ö
÷
ø
3
Jeder erlaubte Zustand des freien Elektronengases entspricht damit einem Translationsvektor in diesem Gitter, der ja identisch ist mit einem der erlaubten Wellenvektoren
k  =   2p
L
 · ( nx, ny, nz )
Nochmal: Der Endpunkt des k-Vektors definiert eine bestimmte Zelle des Zustandsraums und damit einen bestimmtem Zustand.
In jede Zelle des Zustandraumes passen nach dem Pauli-Prinzip genau zwei Elektronenzustände, außerdem hat jede Zelle eine definierte Energie gegeben durch die bereits abgeleitete Formel
E  =  2 · k2
2me
Damit sehen wir sofort: Alle Zellen im Zustandsraum, die den gleichen Abstand zum Nullpunkt haben, d.h. dasselbe k2, gehören zur gleichen Energie. Anders ausgedrückt:
Kugelschalen im Zustandsraum sind Flächen identischer Energie.
Das schauen wir uns mal an:
Zustandsdichte und Phasenraum
Darstellung eines Achtels des Zustandsraumes, der sich aus den
eingezeichneten Zellen mit dem Volumen (2p / L)3 zusammensetzt.
Das Kugelschalensegment ist eine Fläche konstanter Energie.
Das Rezept zur Berechnung der Zustandsdichte ist jetzt klar - oder?
Die Zahl der Zustände mit derselben Energie im Energieinterval E, E + DE ist schlicht die Zahl der Zellen in diesem Intervall. Im Zustandsraum entspricht das Energieintervall einer "Zwiebelschale" mit Dicke Dk. Das wollen wir mal berechnen.
Wir betrachten eine Kugel im Zustandsraum mit dem Radius k und dem Volumen
V(k)  =  (4/3) · p · k3
Die Zahl N der Elektronenzustände in dieser Kugel ist gleich der doppelten Zahl der Zellen die in die Kugel passen, dividiert durch das Volumen der Einheitszelle; wir haben N = 2V(k)/VEZ oder
N(k)  =  2 · 4p · k3
3
= Vkrist · k3
3p2 

æ
ç
è
2p
L
ö
÷
ø
3
Vkrist = L3 ist dabei das Raumvolumen des betrachteten Kristalls; nicht zu verwechseln mit den Volumina im k-Raum!
 
Wir definieren jetzt formal dieZustandsdichte D(E):
Sie ist gegeben durch die Zahl der Zustände in einer Kugelschale (= 2 × Zahl der Einheitszellen in der Kugelschale) pro Energieintervall und pro Volumen.
Das ist aber nichts anderes als die Differenz der Zahl der Zustände in einer Kugel mit Radius E + DE und einer Kugel mit Radius E dividiert durch Energieinterval DE und (Kristall)volumen V = L3. In Formeln haben wir
D(E)  =   1 
Vkrist
 · N(E + DE) – N(E)
DE
= 1 
Vkrist
 · dN(E)
dE
Wir müssen jetzt nur noch N(k) von oben durch N(E) ersetzen - die Beziehung zwischen k und E haben wir - und erhalten
N(E)  = Vkrist
3p2 
æ
ç
è
2 · me · E
2
ö
÷
ø
3/2
Damit ergibt sich (durch Differenzieren) für die Zustandsdichte des freien Elektronengases
D(E)  =   (2 · me)3/2
2 · p2 · 3
· E 1/2
Das ist, wie wir noch sehen werden, ein erstes übergreifendes und sehr wichtiges Ergebnis aus unserem Modell des freien Elektronengas.
Sehr befriedigend ist, daß sich das Volumen V = L3 des Kristalls herauskürzt - unser Ergebnis ist ganz allgemein, und nicht mehr von der willkürlichen Größe des Kristalls abhängig.
Ansonsten haben wir eine Proportionalität von D zur Wurzel aus E - das sollten wir uns merken.
Die Einheit der Zustandsdichte ist
[D(E)]  =  1
eV · cm3
Wenn man das Konzept des Zustandsraums erst mal kapiert hat, und sich an einige Grundbegriffe der Quantentheorie erinnert, wie z. B. die Heisenbergsche Unschärferelation, kann man die Zustandsdichte auch in wenigen Zeilen direkt ableiten; der Link zeigt wie es geht.
Mit der so definierten Zustandsdichte D(E) und der obigen Formel (oder mit jeder anderen quantitativen Beziehung) können wir jetzt zum Beispiel die Volumendichte ze(E) der Elektronenzustände im Energieintervall {E, E + DE} oder die Zahl der Elektronenzustände g(E) in diesem Energieintervall DE ausrechen, es gilt einfach
ze(E)  = D(E) · DE 
     
g(E)  =  L3 · D(E) · DE 
Aussehen tut das ganze wie unten gezeigt. Aber zwei Punkte müssen noch erwähnt werden:
   
Zustandsdichte
Die Zustandsdichte ist, wenn man so will, eine doppelte Dichte: Sowohl Zahl der Zustände pro Energie als auch pro Volumen.
Der letzte Punkt ist aber trivial, denn wir verwenden ja durchgehend spezifische Größen, also auch (fast) immer Volumendichten. Das Wort "Dichte" in Zustandsdichte meint deshalb immer die Dichte bezüglich der Energie.
 
Damit ist eigentlich alles gesagt, aber es ist manchmal bequemer, die Zustandsdichte in einer Form auszudrücken, die N(E), d.h. die Gesamtzahl der Zustände bis zur Energie E als Variable enthält.
Die entsprechende Formel ist mit einem kleinen Trick leicht abzuleiten. Wir nehmen den ln aus der Formel für die Zahl N(E) der Elektronenzustände bis zur Energie E und erhalten
ln N(E)  =  3
2
 · ln E  +  const.        Þ   dN
N  
 =  3
2
 ·   dE
E
Daraus folgt sofort
D(E)  =  1
V
dN
dE
  =  1
V
3N(E)
2E
Das ist jetzt zwar ein geschachtelter Ausdruck, da N ja von E abhängt, aber viel einfacher (und allgemeiner) als die volle Formel.
Wie realistisch ist die berechnete Zustandsdichte des freien Elektronengases, oder, in anderen Worten: Wie sehen die Zustandsdichten realer Elektronen in realen Materialien aus?
Nun ja - meist ziemlich kompliziert; wir werden noch auf viele Beispiele stoßen. Der Verlauf über die Energie ist nicht eine schöne Parabelfunktion, sondern ein mehr oder weniger wildes Gezappel, bei dem aber die Parabel immer noch zugrunde liegt.
Aber das macht nichts! Entscheidend ist: Es gibt eine wohldefinierte Zustandsdichte und sie errechnet sich im Prinzip auch wie gehabt. Nur unsere Wellenfunktionen, und damit die Verteilung der Zustände im k-Raum, sind komplizierter.
Wir werden bald sehen, daß es für die meisten Fragestellungen auf die genaue Form der Zustandsdichte sowieso nicht ankommt - im Zweifel nehmen wir immer die einfache Funktion für das freie Elektronengas.
 
Von einem Elektron zu vielen Elektronen
   
Im Prinzip haben wir für ein Elektron gerechnet. Wir haben aber auch unterstellt, daß die Elektronen sich gegenseitig nicht "sehen", d.h. wir dürfen wie bei der Behandlung der Atome, jetzt viele Elektronen auf die vorhandenen Zustände verteilen, denn das Ergebnis gilt für jedes Elektron unabhängig von den anderen.
Entsprechend dem Pauli-Prinzip werden alle Zustände des Zustandsraumes mit Elektronen besetzt, bis alle in dem betrachteten Festkörper vorhandenen Elektronen untergebracht sind.
Es werden also alle Zustände einer Kugel mit einem maximalen Radius kF im Zustandraum aufgefüllt. Fängt man bei kleinen k- Werten an, hat man irgendwann - eben beim Radius kF - alle Elektronen untergebracht. Dann ist kF der maximale Impuls den ein Elektron haben wird.
Dem maximalen Impuls kF der Elektronen entspricht dann eine maximale Energie; das ist die Energie des "letzten" Elektrons, das wir einfüllen (immer bei T = 0 K; wir werden gleich sehen warum das betont wird). Diese Energie nennen wir Fermienergie EF.
Die Fermienergie eines Systems ist eine Zahl mit einer Einheit [eV], sie ist wie die Zustandsdichte (die eine Funktion ist) eine, wenn nicht sogar die fundamentale Größe eines Systems mit Elektronen.
In der Kugel mit Radius kF lassen sich damit alle N Elektronen des Festkörpers der Größe L3 auf Elektronenzuständen unterbringen. Damit können wir die Fermienergie auch über kF ausdrücken, denn wir haben im freien Elektronengasmodell eine feste Beziehung zwischen E und k. Wir erhalten
EF  =  2
2me
 · kF2
Wir können kF noch durch N/Vkrist = ne, der Volumendichte der Elektronen im System ausdrücken.
Dazu müssen wir lediglich bemerken, dass der "Fermiewellenvektor" kF identisch ist mit dem Radius der Kugel im k-Raum, die gerade N Zustände (oder halb so viel Gitterpunkte) enthält. Die Gleichung dazu haben wir bereits, eingesetzt erhalten wir
EF  =  2
2me
æ
ç
è
3p2 · ne ö
÷
ø
2/3
Mit ne = N0/ L3 = (Volumen)dichte der freien Elektronen (in m– 3) des betrachteten Systems. Da wir die Volumendichten der freien Elektronen halbwegs kennen (wir haben z.B ein Elektron pro Atom für Alkalikristalle, 2 für Erdakalikristalle usw.) könnten wir die Fermienergie jetzt sogar ausrechnen bzw. abschätzen. Das könnte aber (noch) nicht besonders sinnvoll sein, da sie sich ja auf einen recht willkürlich definierten Nullpunkt der Energieskala beziehen würde.
Aber was soll's; Übung macht bekanntlich den Meister oder besser Master; man kann ja mal schnell rechnen
Übung 2.2-2
Zahlenwerte für Fermienergie
Weiterhin können wir (hier noch mehr spasseshalber) eine Fermitemperatur definieren, indem wir einfach die allgemeine thermische Energie kB·T gleich der Fermienergie setzen, das ergibt
TF  =  EF
kB
kB ist dabei die Boltzmannkonstante; nicht zu verwechseln mit dem Wellenvektor!!! Wir werden aber das B an kB zukünftig wieder weglassen - k und k unterscheiden sich durch kursive und nicht kursive Schreibweise.
Stellen wir die Ergebnisse noch schnell graphisch dar, erhalten wir das folgende Bild:
Besetzung von Energieniveaus
Da sich im "Potentialtopf" sehr viele freien Elektronen befinden (bei einem Metallstück mit der Masse im Gramm-Bereich ca. 1023 Elektronen), liegen die Energieniveaus sehr dicht. Die Energien des freien Elektronengases sind daher letztlich quasikontinuierlich verteilt.
Das sieht zwar im obigen Bild nicht so aus (es gibt eher weniger Zustände mit zunehmender Energie), aber das ist (mal wieder) ein Artefakt der vereinfachten, nämlich eindimensionalen Darstellung. Dreidimensional sähe es ganz anders aus!
Wir haben jetzt natürlich noch eine wesentliche Frage:
Wir haben die Zustände von "unten" her kommend systematisch aufgefüllt, d.h. wir haben die Energie des Systems minimiert. Dies ist aber nur bei T = 0 K die richtige Minimierungsvorschrift! Wie ist nun die Besetzung der Zustände bei endlicher Temperatur, d.h. wenn wir dem System etwas thermische Energie zuführen und dann die Entropie, d.h. die für das Minimum der freien Enthalpie notwendige Unordnung, berücksichtigen müssen?
Wir müssen jetzt die freie Enthalpie minimieren (wir setzen konstanten Druck voraus) - und das ist eine ganz andere Sache, wie wir schon früher gesehen haben.
Die Frage ist leicht, die Antwort schwierig; sie führt uns auf das nächste Unterkapitel
Fragebogen / Questionaire
Multiple Choice Fragen zu 2.2.3

Mit Frame Zurueck Weiter als PDF

© H. Föll (MaWi 2 Skript)