Eigenschaften des Random Walks in ein- zwei- und drei Dimensionen

Eindimensional

Zweidimensional

Dreidimensional

Wahrscheinlichkeitsdichte Teilchen nach N Sprüngen bei (x,y,z) zu finden
mit Sprungweite "1".

w(x,y,z) =

æ è	1 2pN	ö ø	1/2	· exp –	x² 2N

æ è	1 2pN	ö ø	· exp –	x² + y² 2N

æ è	1 2pN	ö ø	3/2	· exp –	x² + y² + z² 2N

(2)

Breite auf 0,607 facher
(= e^–1/2) Höhe = 2s

s_x = N_x^1/2

s_x = N_x^1/2
s_y =N_y^1/2

s_x = N_x^1/2
s_y = N_y^1/2
s_z = N_z^1/2

(2a)

Damit:
"Normaldarstellung " von (1)

w(x,y,z) =

æ è	1 2s²p	ö ø	1/2	· exp –	x² 2s²

æ è	1 2s²p	ö ø	· exp –	x² + y² 2s²

æ è	1 2s²p	ö ø	3/2	· exp –	x² + y² + z² 2s²

(3)

Volumenelement DV bei Übergang zu Abständen r

DV =

2Dr
(der Faktor 2 ist wichtig!)

2prDr

4pr²Dr

(4)

Absolute Wahrscheinlichkeit W(r), Teilchen im Abstandsintervall r, r + Dr zu finden mit dimensionloser Sprungweite "1"
W'(r) ist die Wahrscheinlichkeitdichte bezogen auf Abstände

W(r) = w(r)DV =W'(r)Dr

æ è	2 pN	ö ø	1/2	· exp –	r² 2N	· Dr

æ è	r N	ö ø	· exp –	r² 2N	· Dr

2r² N	·	æ è		1 2pN	ö ø	1/2	· exp –	r² 2N	· Dr

(5)

Absolute Wahrscheinlichkeit Teilchen im Abstandsintervall r, r + Dr zu finden mit Sprungweite a₀ cm

W(r,a₀) =
w(r,a₀)DV =
W'(r)Dr

æ è	2 a₀²pN	ö ø	1/2	· exp –	r² 2Na₀²	· Dr

æ è	r Na₀²	ö ø	· exp –	r² 2Na₀²	· Dr

2r² a₀³·N	·	æ è	1 2pN	ö ø	1/2	· exp –	r² 2Na₀²	· Dr

(6)

Mittleres Verschiebungsquadrat <r²> =

r²W'(r,a₀)dr (mit Sprungweite a₀ cm) = Diffusionlänge L

<r²> =

N·a₀²

2N·a₀²

3N·a₀²

(6a)

Diffusionlänge L = {<r²>}^1/2

L =

a₀N^1/2

a₀(2N)^1/2

a₀(3N)^1/2

(7)

Mittleres Verschiebungsquadrat
mit dimensionloser Sprungweite "1"

<r²> =

(8)

Wahrscheinlichstes r_wahr aus
dW'/dr(r_wahr) = 0 (mit Sprungweite "a₀")

r_wahr =

a₀·N^1/2

a₀(2N)^1/2
siehe auch den Link

Erklärungen und Mathematik

	1. Sprungweiten
		Solange wir nur Würfelspiele betrachten, gibt es keine Sprungweiten. Assoziieren wir das gewürfelte Ergebnis mit der Bewegung von irgendetwas ("bei +1 eins nach rechts, bei -1 eins nach links"), haben wir die dimensionlose Spurngweite "1"
		Ist die Sprungweite jedoch eine physikalische Größe, d.h. zum Beispiel a₀ cm , müssen wir a₀ wie folgt in die Formel einbauen r [Zahl] wird ersetzt durch r /a₀ dr [Zahl] wird ersetzt durch 1/a₀ · dr
		Es ist erkennbar sehr wichtig, auch beim dr das 1/a₀ nicht zu vergessen!


	2. "Halb"wertsbreite
		Die Breite der Gaußkurve auf "ungefähr" halber Höhe heißt 2s, hat einen besonders einfachen Wert (und markiert die Wendepunkte der Kurve).
		Häufig benutzt man den numerischen Wert für s als ein Maß für die Streuung eines Parameters, z.B. bei Meßwerten, die einer Gaußverteilung gehorchen.
		Unter Benutztung von s lassen sich die Funktionen einfacher schreiben, man spricht von der Normalform der Gaußverteilung.

3. Volumenelement

Wir beziehen uns nur auf Abstände. Die Volumenelemente sind dann

Eindimensional: Das Intervall r, + dr auf der Abstandsachse r
Zweidimensional: Die Fläche zwischen den Kreisen mit Radius r und r + dr -ein Ringsegment
Dreidimensional: Das Volumen zwischen den Kugeln mit mit Radius r und r + dr - ein Kugelsegment oder eine "Zwiebelschale"

Ein beliebter Fehler beim Übergang von cartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten für den eindimensionalen Fall liegt im Übersehen des Faktors "2" in der Beziehung
dV = 2 dr, den ein Wert für r = |x| deckt sowohl den Wert +x als auch -x ab, wie die nachfolgende Zeichnung klar macht.

Volumenelement bei eindimensionaler Diffusion

Es gibt keine negativen Abstände und damit keine negativen r. Teilchen die sich im "Volumen"element bei x oder bei -x befinden, sind alle im Volumenelement bei r = |x|.

Der hier eventuell einfließende Fehler mag sich kompensieren (oder verstärken?), wenn man einen anderen Faktor 2 Fehler macht, indem man Standardlösungen der Fickschen Diffusiongleichungen, die fast immer für einen Halbraum gegeben werden (d.h. aus der Quelle diffundieren die Teilchen nur nach links oder nur nach rechts; die Quelle sitzt auf der Oberfläche), mit den Random walk Ergebnissen vergleicht, bei denen die Teilchen nach rechts und nach links diffundieren können (die Quelle sitzt im Inneren).

4. und 5. Absolute Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichten

Die absolute Wahrscheinlichkeit für irgendetwas muß sich immer auf ein endliches (wenn auch differentiell kleines) Volumen beziehen. Denn die absolute Wahrscheinlichkeit, eine endliche Anzahl von irgendwas bei einem von unendlich viel mathematischen Punkten zu finden ist immer = 0.

Sind die Variablen in Wahrheit diskret (z.B. beim Würfelspiel, wo man schlicht keine 3,27 oder 7,005 würfeln kann), muß man immer die Wahrscheinlichkeitsdichte über das Intervall um die diskrete Variable herum integrieren. Die Wahrscheinlichkeit eine 7 zu würfeln ist dann beispielsweise

w(7) =	7,5 ó õ 6,5	w(r) · dV

Die angegebene Formel erhält man also einfach durch Multiplikation der Formeln in Reihe 1 mit den Formeln in Reihe 3.

Nach der Umrechnung auf Wahrscheinlichkeiten für Abstände übernimmt W'(r) = W(r)/Dr die Rolle der Wahrscheinlichkeitsdichte - es ist jetzt eine radiale Wahrscheinlichkeitsdichte.

6. Mittleres Verschiebungsquadrat mit Sprungweite a₀

Diese Integrale können leicht berechnet werden indem man sie auf eine Form bringt, die in Tabellen zu finden ist. Der jeweilige Wert des Integrals ist in der Formel durch rote Schrift immer getrennt ausgewiesen.

Eindimensional

Wir haben für das mittlere Verschiebungsquadrat

<r²> =	æ è	2 a₀²pN	ö ø	1/2	·	¥ ó õ 0	r² · exp –	k · r²	· dr	=	æ è	2 a₀² · p · N	ö ø	1/2	·	p^1/2 2k^3/2

Mit k = 1/ 2Na₀² erhalten wir

<r²> =	æ è	2 a₀² · p · N	ö ø	1/2	·	N · a₀³	·	æ è	2p · N	ö ø	1/2	= N · a₀²

Zweidimensional

Wir haben für das mittlere Verschiebungsquadrat

<r²> =	æ è	1 N · a₀²	ö ø	·	¥ ó õ 0	r³ · exp – k · r² · dr	=	æ è	1 N · a₀²	ö ø	1 2k²

Mit

k =	1 2 · N · a₀²	;	1 2k²	=	4 · N² · a₀⁴ 2	= 2 · N² · a₀⁴

Damit ergibt sich

<r²> =	1 N · a₀²	·	2N² · a₀⁴	=	2N · a₀²

Dreidimensional

<r²> =	2 a₀³ · N	·	æ è	1 2p · N	ö ø	1/2	·	¥ ó õ 0	r⁴ · exp –	k · r²	· dr

Mit

k =	1 2N · a₀²	und			¥ ó õ 0	=	3p^1/2 8 · k^5/2	=	3p^1/2· (2N · a₀²)^5/2 8

erhalten wir

<r²> = 3 · a₀² · N

Es ist immer gut, mal die Integration zu üben, aber das ganze hätte man natürlich auch einfacher haben können:

Da die Hüpfe in x-, y- and z-Richtung unabhängig voneinander sind, und deshalb N_x = N_y sein muß, gilt

<r²(x,y)>	=	<r²(x)>² + <r²(y)>²

	=	(N_xa₀²) + (N_ya₀²)

	=	2Na₀²

Für den dreidimensionalen Fall folgt entsprechend

<r²(x,y)>	=	3 · N · a₀²

Unnötige Arbeit gemacht? Nein - nur dadurch läßt sich prüfen, ob die Ausgangsformeln stimmen (so wurden die diversen Fehler in Büchern entdeckt).


	7. Mittleres Verschiebungsquadrat mit Sprungweite "1"
		Das ist jetzt einfach: Ersetzen wir N · a_o² in den Formeln in 6. durch N, ist die Mathematik identisch - d.h. wir müssen bei <r²> nur N statt N · a_o² einsetzen.

8. Wahrscheinlichstes r

Der wahrscheinlichste Abstand r_wahr ist der Abstand, bei dem wir erwarten können die meisten Teilchen zu finden. Daß das nicht derselbe Abstand ist wie der mittlere Abstand
<r> = {<r²>}^1/2 wurde schon anderweitig klargemacht.

r_wahr ergibt sich offensichtlich aus dem Maximum der Verteilungskurve, d.h. wir haben

dw dr	(r = r_wahr)	= 0

Wir bekommen:

Eindimensional:

æ è	2 a₀² · p · N	ö ø	1/2	·	d dr	æ è	exp –	r² 2Na₀²	ö ø	=	æ è	2 a₀² · p · N	ö ø	1/2	· –	æ è	r Na₀²	ö ø	· exp –	r² 2 · N · a₀²	= 0

Und damit ganz schnell

r_wahr	=	0

Zweidimensional

d dr	æ è	r N · a₀²	· exp –	r² 2 · N · a₀²	ö ø	= 0

Und damit

r_wahr	=	a₀ · N^1/2

Dreidimensional

d dr	æ ç è	2r² a₀³ · N	æ è	1 2p · N	ö ø	1/2	· exp –	r² 2 · N · a₀²	ö ÷ ø	= 0

Und damit
=

r_wahr	=	a₀ · (2N)^1/2

Während r_wahr und der Mittelwert von r, also die Diffusionlänge L, bei eindimensionaler Diffusion fundamental verschieden sind, ist der Unterschied für dreidimensionale Diffusion vernachlässigbar. Für Diffusion in hohen Dimensionen - was immer das sein mag - wird der Unterschied offenbar immer kleiner.

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6.3.1 Random Walk

Kurzfassung der Ableitung der Gauss Verteilung

Ableitung der Gauss Verteilung

Statistische Thermodynamik

Wahrscheinlichster Abstand beim dreidimensionalen "Random Walk"