Wahrscheinlichster Abstand beim dreidimensionalen "Random Walk"

Wenn wir nicht wie bei der Ableitung der Einstein - Smoluchowski Beziehung nach <r2>, oder eindimensional nach <x2>, fragen, sondern nach dem wahrscheinlichsten r, müssen wir eine andere Betrachtung anstellen.
Wir kennen die (absolute) Wahrscheinlichkeit W(x,y,z) = w(x,y,z) · DV, das Teilchen im Volumenelement DV bei (x,y,z) zu finden; w(x,y,z) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte.Wir wollen aber nur die Wahrscheinlichkeit als Funktion des Abstandes |r| vom Ursprung.
Das heißt, wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in dem Volumen einer Kugelschale mit der Dicke Dr im Abstand r zu finden; wir müssen für DV das Volumen also das Volumen der differentiell dünnen Kugelschale einsetzen und entsprechend zu Polarkoordinaten übergehen. Im Exponent von w(x,y,z) ist das einfach; dort steht schon r2 = (x2 + y2 + z2).
Es bleibt noch DV in Polarkoordinaten auszudrücken; wir haben das bei Wellenfunktionen schon mal betrachtet. Für die gewünschte Kugelschale gilt:
DV = Oberfläche der Kugel mit Radius r multipliziert mit Dr , der Dicke der Schicht (für Dr gegen 0) oder
DV = 4p · r2 · Dr
Damit erhalten wir zunächst für die absolute Wahrscheinlichkeit des radialsymmetrischen dreidimensionalen "Random Walks" W(r) = W'(r) · Dr mit W'(r) = Wahrscheinlichkeitsdichte für den radialsymmetrischen Fall. Ausgeschrieben haben wir:
W(r)  =  W'(r) · Dr  =  4p · r2  ·  æ
è
1
2p · N
ö
ø
3/2  ·  exp – r2
2N
· Dr

oder

W'(r) · Dr  = 2r2
N
 ·  æ
è
1
2pN
ö
ø
1/2   · exp – r2
2N
· Dr

Was ist nun der wahrscheinlichste Abstand? Offenbar der spezielle Wert rwahr, für den W'(r) ein Maximum hat, d.h. dW'/dr = 0 gilt.
rwahr ist nun schnell berechnet . Es gilt (mit (1/2pN)½ = b) um Schreibarbeit zu sparen
dW'(r)
dr
 =  æ
è
4b · r
N
 ·  exp – r2
2N
ö
ø
  –    æ
è
2b · r3
N2
· exp – r2
2N
ö
ø
 =  0
Daraus ergibt sich

rwahr  =  (2N)1/2

Ein, nach der langen Rechnerei, erstaulich simples Ergebnis für den dreidimensionalen Fall. Wir können rwahr wie gehabt jetzt auch sofort als Funktion der physikalischen Sprungweite a und/oder der Sprungfrequenz n ansetzen.
Zunächst zur Sprungweite a. Bei unserer Betrachtung haben wir einen Sprung der Einheit "1" angenommen, springt das Teilchen stattdessen a cm, müssen wir mit a multiplizieren und erhalten
rwahr  =  a · (2N)1/2
Die Zahl der Sprünge ist gegeben durch N = Sprünge pro Sekunde mal Zeit = n · t. Damit erhalten wir für als Funktion der Sprungfrequenz n und der verstrichenen Zeit t
rwahr  =  a · (2n · t)1/2
Wir haben in anderem Zusammenhang bereits die Diffusionslänge L, d.h. den mittleren Abstand <r> nach N Sprüngen berechnet; das Ergebnis war (für dreidimensionale Diffusion)
<r>  = L   a · (3N)1/2
Die Diffusionlänge L und der wahrscheinlichste Abstand rwahr sind sich im dreidimensionalen also recht ähnlich und werden oft nicht mehr deutlich unterschieden.
Das gilt aber überhaupt nicht für eindimensionale Diffusion! Man muß also immer aufpassen, welche Fälle man betrachtet.
 

Mit Frame Mit Frame as PDF

gehe zu Ableitung der Gauss Verteilung

gehe zu Eigenschaften des Random Walks in ein- zwei- und drei Dimensionen

gehe zu Wahrscheinlichkeitsdichte und Verteilungsfunktion

gehe zu Statistische Thermodynamik

gehe zu Übung 6.3-3

© H. Föll (MaWi 1 Skript)