Potential

Der Begriff der potentiellen Energie oder des Potentials ist außerordentlich wichtig. Hier sollen kurz die wichtigsten wichtige Begriffe und Merkmale wiederholt werden
Abweichend von der sonst eher schlampigen Schreibweise sind hier Vektoren fett und unterstrichen, Skalare fett und rot dargestellt,
Wirkt auf einen Massenpunkt am Ort r eine Kraft, die nur von den Koordinaten (und evtl. von der Zeit) abhängt, aber nicht z.B. von seiner Geschwindigkeit, wenn also gilt F = F(r), dann sprechen wir davon, daß in dem betreffenden Gebiet ein Kraftfeld vorliegt. (Eine bekannte Ausnahme sind z.B. Reibungskräfte, die es aber im atomaren schlicht nicht gibt).
Wird der Massenpunkt von r1 nach r2 bewegt, muß Arbeit A geleistet werden; es gilt
A( r1,r2)  =  r2
ó
õ
r1
F · dr

Es ist im allgemeinen nicht ausgeschlossen, daß die zu leistende Arbeit davon abhängt, auf welchem Weg man von r1 nach r2 geht, bei Arbeit gegen die Reibungkräfte wird das so sein.
Bei allen Kräften, die als Kraftfeld dargestellt werden können (d.h.als Ableitung eines Potentials, z.B. das Gravitationsfeld und das elektrische Feld), tritt diese Komplikation jedoch nicht auf, d.h. es ist egal, auf welchem Weg man von r1 nach r2 gekommen ist.
Wenn man nun zur Ermittlung der Arbeit immer vom gleichen Ort r1 ausgeht, ist die zu leistende Arbeit nur noch eine Funktion des Zielortes r2, man nennt die zu leistende Arbeit dann die potentielle Energie oder das Potential Apot des Ortes r2.
Man muß sich aber immer bewußt sein, daß bei Angaben von Potentialen im Prinzip immer der Bezugspunkt oder Nullpunkt, d.h. der Ausgangspunkt r1 mit angegeben werden muß. Wählt man einen anderen Bezugspunkt, ändert sich das Potential!
Bei Änderungen des Bezugspunktes ändert sich das Potential um eine konstante Größe, die der Arbeit entspricht um vom ersten zum zweiten Bezugspunkt zu kommen.
Die Angabe aller Potentialwerte A(x,y,z) definiert ein Skalarfeld, das die gleiche Information enthält wie das Vektorfeld der Kräfte. Durch Umkehrung des Linienintegrals für die Arbeit erhält man das Kräftefeld aus dem Potential durch Differenzieren, es gilt
F = – grad Apot

oder ausgeschrieben

Fx = – A
x
,   Fy = –   A
y 
,    Fz = – A
z
 
Das Vorzeichen ist wichtig! Es beschreibt das Vorzeichen der Kraft, die ein "Probeteilchen" zum Potentialminimum treibt, d.h. die "rücktreibende" Kraft.
Falls wir die Kraft betrachten, die gegen das Potential wirken muß, um ein Teilchen "nach oben" zu bringen, ist das Vorzeichen positiv.
Besonders einfach wird das Potential bei Zentralkräften, z.B. bei der Schwerkraft oder der Coulombkraft, bei der nur der Abstand |r| = r vom Bezugspunkt wichtig ist, d.h. wir A(x,y,z) =  A(r) haben
 
 
 
Der Begriff des Potentials läßt sich noch viel weiter fassen, insbesondere verallgemeinern auf thermodynamische Potentiale. Mehr dazu im Link auf das "Defects" Hyperskript.


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© H. Föll (MaWi 1 Skript)