 |
Der Elastizitätsmodul
E ist sowohl eine der wichtigsten (und leicht meßbaren)
Materialeigenschaften als auch eine direkt die atomare Natur der Materie
demostrierende Größe. |
|
 |
Der
E-Modul resultiert, wie wir bereits wissen,
direkt aus dem
Bindungspotential, das wiederum die Lösung der
Schrödingergleichung für die betrachtete Bindung
repräsentiert. |
|
|
Betrachtet werden dabei immer nur ein
paar der äußeren Elektronen der betrachteten Atome. Bedenkt man,
daß der Radius der 1. Bohrschen Bahnen oder die Maxima der
Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der betrachteten Orbitale gut 10.000 mal
größer sind als die Größe des Atomkerns oder der
Elektronen (ein typischer
Wert für die Größe eines Atomkerns ist 3.4 ·
10–15 m, ein Elektron hat den
"klassischen" Radius 2.8 · 10–15
m, der Bohrsche Radius liegt bei ca. 5.3 ·
10–11 m), besteht die Materie im wesentlichen aus
leerem Raum, mit ein paar geladenen "Punkten" darin. |
|
|
Na ja - nicht ganz richtig! Der
"leere" Raum ist angefüllt mit den elektrischen Feldern der
geladenen "Punkte". Jede der "Punktladungen"
q produziert im Abstand r ein elektrisches Feld
E, das gegeben ist durch |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wir sind natürlich inzwischen
schlau genug, E und E
nicht zu verwechseln! |
|
In der Nähe eines Elektrons wird
man im wesentlichen nur das Feld dieses Elektrons spüren. Dieses Feld hat
wie jedes elektrische Feld eine Energiedichte E (wir nehmen hier, aus reiner Bosheit, dreimal
das gleiche Symbol, nur in anderen Farben!), die gegeben ist durch |
|
|
|
|
|
| E = |
e0 · E2
2 |
= |
2300 GPa
p r4 |
|
|
|
|
|
|
|
Der Ausdruck rechts resultiert, wenn
man die erste Gleichung für das Feld und die Werte für die
Elementarladung und e0 einsetzt
und den Radius in Å angibt. Die Energiedichte hat dann die Einheit
GJ/m3. |
|
Die Energiedichte E hat die Einheit [J/m3]. Die
Energie des elektrischen Felds ist die Ursache für die Kraft zwischen zwei
Ladungen - die Coulombkraft - weil Kraft mal Weg die Arbeit beschreibt, die man
aufbringen muss, um die Energiedichte des Gesamtfeldes für den
gewählten Abstand zu bekommen. |
|
|
Andersherum ausgedrückt, die
Kraft ist die (negative) Ableitung der potentiellen elektrostatischen Energie
für diesen Fall. Auch nichts
wirklich Neues. |
|
Jetzt zurück zum
E-Modul. Er beschreibt, was passiert, wenn wir ein Stück
feldgefüllten Raum mit "Punktladungen drin (= ein Material) nehmen,
und jetzt die Ladungen etwas dichter beisammen haben wollen. Wir
"drücken" oder, wenn wir es etwas weniger dicht haben wollen,
"ziehen" (= Zugversuch) am Material. |
|
|
Die Einheit des
E-Moduls ist Pascal [Pa]; normalerweise
nehmen wir Gigapascal, GPa. Ein Pascal war definiert als 1 Pa =
1N/m2. Wir können da aber noch einen Meter
reinmultiplizieren, und erhalten genauso gut 1 Pa = 1Nm/m3 =
1J/m3. |
|
Aha! Der E-Modul
beschreibt also auch eine Energiedichte!
Welche wohl? |
|
|
Genau! es kann sich nur um die
Energiedichte des elektrischen Feldes der an der Bindung beteiligten Elektronen
handeln. Und zwar in Abständen r die so rund und roh einen
Bindungsabstand beschreiben. |
|
|
Das kann man nun schnell ausrechnen,
was man bekommt sieht so aus: |
|
|
|
|
|
| Abstand r vom Elektron
[Å] |
Elektrische Energiedichte E [GPa] |
Kommentar |
| 4.0 |
2.8 |
Größenordnung E-Modul
von Polymeren |
| 1.37 |
208 |
Größenordnung E-Modul
von Metallen |
| 1.0 |
732 |
Größenordnung E-Modul
von Keramik / Diamant |
|
|
|
|
|
Nochmal Aha! Der E-Modul beschreibt wohl
tatsächlich den Teil der elektromagnetischen Energiedichte, den wir
mechanisch noch ein bißchen ändern können. |
|
|
Das sind letztlich die Felder, die
von den äußeren Elektronen herkommen. Die inneren Elektronen werden
von "normalen" mechanische Drücken nichts merken. |
| |
|
|
|
|
Nach "The Curious World of
Conact Angles and Particle Adhesion" von Robert Lacombe; in
"Materials Science and Technology Newsletter", Vo. 2 No. 3 March
2006. |
© H. Föll (MaWi 1 Skript)
Zum Index
2.4.1 Ableitung des E-Moduls