9.5 Zusammenfassungen zu Kapitel 9

9.5.1 Merkpunkte zu Kapitel 9: Halbleiter

Die einfache Formel für die Ladungsträgerdichte (effektive Zustandsdichten und Boltzmann-Näherung) in intrinsischen Halbleitern ist ziemlich gut.  
n »  Neff  · exp( ELEF
kBT 
)
       
n »  Neff  · exp( EFEV
kBT 
)
Wir werden deshalb nur noch mit dieser Formel rechnen (bis wir eine noch einfacherer Formel haben werden). Þ  
Für die jetzt vertrauten Löcher ergeben sich (immer mit entsprechendem Vorzeichenwechsel) völlig symmetrische Beziehungen.  
     
Die Fermieenergie EF für intrinsische Halbleiter folgt aus ne=nh oder – allgemeiner – der notwendigen Ladungsneutralität.  
EF  =  EL + EV
2
Fermienenergie in intr. Halbleitern
Die Fermienergie liegt in der Mitte der Bandlücke.  
Das läßt sich sowohl leicht errechnen, als auch graphisch sofort erkennen: Die "Zwickel" müssen gleich groß sein.  
   
Löcher benehmen sich im wesentlichen wie positiv geladene Elektronen. Ihr Beitrag zur Leitfähigkeit ist damit Þ  
sh  =  +e · nh · mh
     
stotal  =  se  +  sh »  2se 
Löchern kann neben einer Dichte und einer pos. Ladung auch eine Beweglicheit mh zugeordnet werden; sie ist ähnlich zu der der Elektronen.  
Während Elektronen, wenn sie können, energetisch tiefer sinken, steigen Löcher aber auf - wie Luftblasen im Wasser!  
         
Das Massenwirkungsgesetz ergibt sich aus obigen Konzentrationsgleichungen; es ist sehr wichtig!  
ne · nh=ni2
Halbleiter Ge Si GaAs
Energielücke [eV] 0,661 1,12 1,424
ni(RT) [cm–3] 2·1013 1·1010 2,1·106
Dabei ist ni=ne=nh die intrinsische Ladungsträgerdichte für ideal-perfekte Halbleiter, bei denen Elektronen- und Löcherkonzentration per definitionem gleich groß sind.  
ni ist eine Materialkonstante, direkt verknüpft mit der Energielücke EG.  
   
Legt man eine Spannung U an einen Halbleiter, addiert (oder, je nach Vorzeichen, subtrahiert) man die Energie eU.  
Bandverbiegung und Strom
Die Bandkanten rutschen entsprechend hoch oder tief  
Fällt die Spannung gleichmäßig über den Halbeiter ab, erhält man eine Bandverbiegung wie gezeigt. Þ  
Entscheidende Punkte sind:
  • Leitungs- und Valenzband sind "verbogen".
  • Grund: Zusätzliches elektrisches Potential.
  • Verbiegung=elektrisches Feld E.
  • Elektronen laufen abwärts, Löcher aufwärts.
  • Falls Nettostrom, kein Gleichgewicht mehr.
  • Gründe für Bandverbiegungen sind: Nettoladungen irgendwo im System.
 
         
Dotieren=gezieltes Einbringen von Dotierstoffen (als substitutionelle Fremdatome) mit Elektronenzuständen in der Energielücke dicht an den Bandkanten.
Dotieren
Donatoren (in Si entweder P oder As) haben einen am Atom lokalisierten besetzten Zustand dicht unterhalb der Leitungsbandkante. Das dort "sitzende" Elektron kann leicht ins Leitungsband springen und ist dann frei beweglich. Zurück bleibt ein ortsfestes positiv geladenes P+-Ion.  
Akzeptoren (in Si immer B) haben einen am Atom lokalisierten unbesetzten Zustand für Elektronen dicht oberhalb der Valenzbandkante. Elektronen aus dem Valenzband können leicht auf diesen Zustand springen und ihn besetzen. Wir haben insgesamt ein frei bewegliches Loch im Valenzband und ein negativ geladenes ortsfestes B-Ion.  
     
Entscheidend ist, wie immer, die Lage der Fermienergie.  
Dotieren und Fermienergie
Bei n-Dotierung kommen für kleine T alle Elektronen in L von den Dotierniveaus; EF muss zwischen Dotierniveau ED und dem Leitungsband sitzen.  
Das gilt auch noch bei höheren Temperaturen: EF ist in der Nähe des Dotierniveaus.  
Wir haben mit Dotieren sehr viel mehr Ladungsträger einer Sorte als im undotierten intrinsischen Halbleiter, bei dem beide Dichten gleich groß sind.  
         
Die Dichte nMaj der Majoritätsladungsträger ist in Si bei RT in guter Näherung identisch zur Dichte der Dotieratome NDot.
     
nMaj  =  NDot
     
nMin(T)  =  ni2(T)
NDot 
     
Die Dichte der Minoritätsladungsträger nMin folgt aus dem Massenwirkungsgesetz.  
Donatoren: P und As   Þ  n-Si
Þ   Majoritäten sind Elektronen im Leitungsband.
Minoritäten sind Löcher im Valenzband.
 
Akzeptoren: Nur B   Þ   p-Si
Þ   Majoritäten sind Löcher im Valenzband.
Minoritäten sind Elektronen im Leitungsband.
 
         
Die Leitfähigkeit s=Si qi · ni · mi umfaßt die jetzt bekannten Ladungsträgerdichten n und deren Beweglichkeit m  
D  =  µ · kBT
e
  Einstein-
Beziehung
              
µ  =  D · e
kBT
 
Die in ihren Bändern beweglichen Elektronen und Löcher diffundieren, d. h. führen einen "ramdom walk" aus, mit einer Diffusionskonstante D  
Diffusionskonstante und Beweglichkeit beschreiben beide "random walk", müssen also korreliert sein. Die Beziehung zwischen beiden heißt "Einstein-(Smoluchowski-)Beziehung".  
Beweglichkeiten sind an Stöße gekoppelt. Wichtige Stoßpartner waren "Phononen" (=thermische Gitterschwingungen) und Kristalldefekte.
Spez. Widerstand Si
Dotieratome sind Defekte. Sie verringern damit die Beweglichkeit (und damit die Leitfähigkeit ein bißchen) aber erhöhen die Ladungsträgerdichte (und damit die Leitfähigkeit enorm)  
Der Gesamteffekt der Dotierung von Si bei RT ist in der Masterkuve gezeigt: Þ  
Die "Beulen" im ansonsten ziemlich linearen Verlauf kommen von der Änderung der Beweglichkeit mit NDot; die Unterschiede zwischen n- und p-Dotierung stammen von verschiedenen Beweglichkeiten der Löcher und Elektronen.  
         
Ladungsträger in den Bändern werden durch Generation erzeugt (immer thermisch, bei Beleuchtung auch durch Licht), laufen etwa eine Diffusionslänge weit per "random walk" durch den Kristall, und verschwinden wieder durch Rekombination.  
Generation und Rekombination
Beide Prozesse werde durch Raten beschrieben; Maßeinheit: s–1cm–3
G=Generationsrate
R=Rekombinationsrate
 
Da im Gleichgewicht die Ladungsträgerdichte konstant ist, muss gelten: G=R sowohl für Minoritäten, als auch für Majoritäten.  
   
Von Interesse ist vor allem die Rekombinationsrate RMin der Minoritäten, da Änderungen der Ladungsträgerdichte bei den Minoritäten sehr viel stärker "durchschlagen"  
R =  nMin
t
L =  (D · t)½
Im Gleichgewicht:
        G=R =  nMin
t
        
Es gilt unmittelbar Þ  
Dabei ist t die Minoritätsladungsträgerlebensdauer (kurz Lebensdauer); leicht zu visualisieren und mit der Diffusionslänge L gekoppelt durch Þ  
Daraus folgt die dritte wichtige Halbleitergleichung Þ  
         
Es gibt bezüglich der Rekombination zwei Arten von Halbleitern.

Direkte Halbleiter:
L und t sind klein
(ungefähr ns / µm)
Prominente Vertreter: GaAs, InP, GaN.

Indirekte Halbleiter:
L und t sind groß und stark defektabhängig
(ungefähr µs . . . ms / 500 µm)
Prominente Vertreter: Si, Ge, SiC.

Direkte Halbeiter: Rekombination ist leicht; die Überschussenergie produziert ein Photon, d.h. es wird Licht mit hn=EG emittiert.
Direkte Halbleiter sind die Grundlage für die Optoelektronik
 
Indirekte Halbeiter: Rekombination ist schwer; die Überschussenergie produziert Phononen, d.h. es wird Wärme erzeugt.
Silizium ist ein indirekter Halbleiter.
 
         
Kontakte oder "junctions" machen Bauelemente.  
Junctiosn
Es gibt kein Halbleiterbauelement ohne Halbleiter-Metall-Kontakt und so gut wie keines ohne "pn-Kontakt".  
Kontakte bei Halbleiterbauelementen macht man nicht durch "kontaktieren" im Sinne von "Zusammendrücken", sondern durch (extrem trickreiche) Halbleitertechnologie.  
Ein pn-Kontakt liegt vor an der Stelle, an der die Akzeptor- und Donatorkonzentration gleich groß ist.  
"Ohmsche Kontakte", die man immer braucht, sind idealerweise eigenschaftslos, d. h. sie lassen bei jeder Spannung und Polarität den vollen Strom durch. Sie sind aber oft recht schwer zu machen.  
     
Links und rechts von einem Kontakt können vor Kontakt unterschiedliche Fermienergien vorliegen.
Kontaktsequenz
Þ Es gibt unterschiedliche Ladungsträgerkonzentrationen.  
Þ Es gibt unterschiedliche Zustände in der Energielücke bei "homo"-Kontakten wie dem Si pn-Übergang.  
Beispiel: "Kontakt" Si mit der Oberfläche des Si Kristalls.  
Es ist extrem wichtig, das Bild Þ zu verstehen!  
Vor Kontakt: "Irgendwie" verschiedene Si - Varianten=verschiedene Zustände in der Energielücke=verschiedene Fermienergien.  
In der (Pico)sekunde nach (gedachtem) Kontakt fließen Elektronen auf jetzt verfügbare Zustände mit niedrigerer Energie (im Beispiel nach rechts zu den Oberflächenzuständen); Löcher laufen auf neu verfügbare (mit Elektronen besetzte) Plätze mit höherer Energie.  
In der Nähe des Kontakts herrscht keine Ladungsneutralitität mehr. Im Beispiel lädt die Oberfläche sich negativ auf durch den Zustrom von Elektronen, die jetzt aber auf der Oberfläche lokalisiert sind.  
Im Volumen nahe der Oberfläche bleiben díe ortsfesten positiv geladenen Donatoratome zurück; sie bilden eine Raumladung mit der Dichte ND+.  
Dadurch entsteht ein elektrisches Feld, das die zur Oberfläche strebenden Elektronen zurücktreibt.  
Die rechte Seite des Banddiagramms geht deshalb energetisch "hoch", es entsteht eine Bandverbiegung.  
         
Entscheidend ist das Banddiagramm für Gleichgewicht. Einige Definitionen dazu, die alle im Grunde dasselbe sagen:  
Ü    Vollständig äquivalente Formulierungen
Damit Rezept für Banddiagramm-Erstellung:
1. Zeichne die Fermienenergie als horizontale Linie;
markiere den Kontakt.
2. Zeichne "weit" links vom Kontakt das Banddiagramm von Material 1, weit rechts das von Material 2 –
immer relativ zu der bereits festgelegten Fermienergie.
3. Verbinde Leitungs- und Valenzband
durch eine "gefühlsmäßig" gezeichnete Bandverbiegung.
Gleichgewicht liegt vor, sobald es genau so viel Energie kostet, gegen das Feld anzulaufen, wie man durch "Tieferfallen" an der Oberfläche gewinnen kann.  
Gleichgewicht liegt vor, sobald energetisch nichts mehr zu gewinnen ist. Þ Die Fermienergie ist überall dieselbe.  
Gleichgewicht liegt vor, sobald der nach rechts fließende Elektronenstrom genau so groß ist wie der zurückfließende Strom.  
Ströme fließen, weil es für Elektronen auf beiden Seiten eine Wahrscheinlichkeit exp[–DE/(kBT)] gibt, die Energiebarriere DE zur jeweils anderen Seite zu überwinden.  
         
Eine Darstellung im Ortsraum verdeutlicht das Konzept der Raumladungszone.  
Raumladungszone im Ortsraum
Es gibt "Ladungen im Raum", da die ionisierten Dotieratome nicht beweglich sind und "ihre" Ladungsgträger jetzt woanders sind.  
Das elektrische Feld beginnt und endet auf den jetzt separierten Ladungen.  
Wir haben unvermeidlich einen geladenen Kondensator mit der Kapazität CRLZ.  
   
Die Weite dRLZ der Raumladungszone (RLZ oder "SCR" für "space charge region") ergibt sich sofort aus dem Kondensatormodell:  
CRLZ  =  2 · eSi · e0 · F
dRLZ  
CRLZ  =  Q 
UK
 =  Q 
DEF/e
         
 =  e2 · (ND · F · dRLZ)
DEF 
dRLZ  =  æ
ç
è
2 · er · e0 · DEF
e2 ·ND
ö
÷
ø
½
Wir haben Fläche F und (mittleren) Abstand der "Kondensatorplatten"=½dRLZ  
Der Potentialunterschied in Volt=anliegende Spannung ist DEF/e  
Die Ladung auf den Platten ist gleich der Zahl der ionisieten Dotieratome=gleich Dichte mal Volumen=ND · V der positiv geladenen Donatorionen im Volumen V=F · dRLZ.  
Aus den beiden Gleichungen für die Unbekannten dRLZ und CRLZ folgt sofort die Weite der RLZ Þ  
         
Legt man zusätzlich zu der "eingebauten" Spannung oder Kontaktspannung DEF/e noch ein externe Spannung Uex an, muss die Gesamtspannung U in die Formel eingesetzt werden
(Auf Vorzeichen aufpassen!)
 
U  =  DEF
– e 
 +   Uex
dRLZ  =  æ
ç
è

2 eSi e0 (DEF  + eUex)
e2 · ND
ö
÷
ø
½
           
CRLZ
F
 =  æ
ç
è

2 eSi e0 e2 ND
DEF  + eUex
ö
÷
ø
½
Falls jetzt Strom fließt, haben wir kein Gleichgewicht mehr!  
Falls kein (oder nur vernachlässigbar kleiner) Strom fließt, haben wir jetzt Þ  
         
Formal-mathematisch wird die Poisson-Gleichung gelöst (Grundgleichung der Elektrostatik).  
RLZ und Poisson Gleichung
Die Poisson-Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen Ladungsdichte r, elektr. Feld E und elektr. Potential V (bzw. φ).  
       
DV(x, y, z)  =  –  r 
ee0
    
     
V(x, y, z)  =  –  E(x, y, z)
 
       
Lösungsweg eindimensional:  
Ladungsdichte r=NDot in dRLZ=const.  
Feld E=einmal integrieren=Gerade. Randbedingung: E(x=dSCR)=0 V/cm  
Potential V=zweimal integrieren=Parabel. Randbedingung V(dSCR)=0 eV; Potentialdifferenz=DEF/e  
       
Das Banddiagramm eines pn-Übergangs im Gleichgewicht folgt sofort aus der Konstruktionsanleitung:  

(Hinweis: In dieser Abbildung sind die Teilströme noch englisch beschriftet: Diffusionsstrom=forward current jF, Feldstrom=reverse current jR)
Fermienergie ist überall gleich.  
Weit links und rechts vom Übergang liegt das Banddiagramm des "im Dunkeln rumliegenden" Halbleiters vor (=Gleichgewicht).  
Hier haben wir:
  • Links p-Typ-Material.
  • Rechts n-Typ-Material
Die Lage der Fermienergie zeigt die Dotierung eindeutig an. Außerdem haben wir dasselbe Material links und rechts, da die Energielücken identisch sind.
 
Im Übergangsbereich müssen die Bänder "irgendwie" verbogen sein. Damit gibt es ein elektrisches Feld im Übergangsbereich und so gut wie keine freien Ladungsträger.  
Wie zuvor wandern Elektronen vom n-Si zum p-Si, weil es dort jede Menge freie Plätze bei tieferen Energien gibt; für Löcher ist es entgegengesetzt.
Die ortsfesten ionisierten Dotieratome bleiben zurück; es entsteht eine Bandverbiegung mit Raumladungszone und elektrischem Feld.  
Es fließen ständig Elektronen- und Löcherströme ji von links nach rechts und zurück.  
Im Gleichgewicht gilt aber:
Sji=0.
 
         
Im Ortsraum sieht es so aus Þ  
pn-Kontakt im Ortsraum
Die Weite der RLZ is analog zum Fall der Oberfläche: Proportional zur Wurzel aus der Differenz der Fermienergien (oder der wirkenden Spannung) und umgekehrt proportional zu einer Art "Mittelwert" der Dotierkonzentrationen.  
 
Die Ströme habe Namen Þ  
Strom der Majoritäten in das jeweils andere Gebiet.
Beispiel: Elektronenstrom vom n-Si zum p-Si:
  • Diffusionsstrom, oder
  • Rekombinationsstrom, oder
  • Durchlaßstrom.
Strom der Minoritäten in das jeweils andere Gebiet.
Beispiel: Elektronenstrom vom p-Si zum n-Si:
  • Feldstrom, oder
  • Driftstrom, oder
  • Generationsstrom, oder
  • Sperrstrom.
Im Durchlaßbereich einer Diode, die ein pn-Übergang immer darstellt, fließen die Ladungsträger letztlich per Diffusion von der hohen zur niedrigen Konzentration (1. Ficksches Gesetz).
Auf der "anderen" Seite sind sie jetzt überzählige Minoritäten und verschwinden durch Rekombination.
 
Im Sperrbereich einer Diode, die ein pn-Übergang immer darstellt, fließen die Ladungsträger letztlich per Drift im elektrischen Feld der RLZ zur anderen Seite – aber immer nur so viele, wie durch Generation ersetzt werden können.  
         
Die Größe der 4 Teilströme läßt sich bis auf einen Proportionalitätsfaktor (der sich zu 1 ergibt, wenn man aufwendig rechnet) sofort ableiten:  
jF(L)  =  – e · L· nMin(L)
t 
 =  – e · L · (ni)2
NA · t

jF(V)  =  – e · L · nMin(V)
t 
= – e · L · (ni)2
ND · t
jD =  jF        im Gleichgewicht,
d.h. für jext=0
Der (feldgetriebene) Sperrstrom jF ist proportional zu:
  • Einzugsgebiet des pn-Kontakts=Diffusionslänge L, weil Minoritäten weit weg von dem pn-Übergang per Rekombination verschwinden, bevor sie zun "Abhang" (=elektr. Feld der RLZ) kommen und dann unweigerlich "hinunterfallen".
  • Generationsrate G=nmin/t, denn mehr als das, was pro Sekunde generiert wird, kann pro Sekunde nicht abfließen.
  • Ladung q=±e
.
 
Der (diffusionsgetriebene) Durchlaßstrom jD ist im Gleichgewicht entgegengesetzt gleich groß wie der Sperrstrom, da im Gleichgewicht (Uext=0) der externe Strom jext=0 ist.  
       
Beim pn-Übergang mit amgelegter Spannung Uext verschieben sich die Bänder um ±eUext. Die Fermienergie ist kein waagrechter Strich mehr ndash; sie ist gar nicht mehr definiert, denn wir haben, da jetzt Netto-Strom fließt, kein Gleichgewicht mehr.  
pn-Übergang mit Spannung
(Hinweis: In dieser Abbildung sind die Teilströme noch englisch beschriftet: Diffusionsstrom=forward current jF, Feldstrom=reverse current jR)
Weit weg vom pn-Übergang hat sich aber nicht viel geändert, dort zeichnen wir die Bänder wie gewohnt.  
Was bei den Strömen passiert, ist leicht zu sehen:  
Nichts beim Sperrstrom. Ladungsträger, die zum "Abhang" gelangen, fallen runter, egal wie tief es runtergeht.  
Für den Durchlaßstrom hat sich die Energiebarriere, über die er fließen muss, um ±e|Uext| erhöht oder erniedrigt – je nach Vorzeichen der angelegten Spannung. Er wird sich dadurch gegenüber dem Durchlaßstrom jD(Uext=0=– jF) um exp[-eUext/(kBT)] erniedrigen oder erhöhen:  
       
jD(Uex)   =  | jF| · exp( + eUex
kBT 
)
 
         
Es ergibt sich sofort die Diodengleichung
         
   
j(Uex)  =  æ
ç
è
| jF(L) |   +  | jF(V) | ö
÷
ø
· æ
ç
è
exp( eUex
kBT 
)  –  1 ö
÷
ø
                       
j(Uex)  =  æ
ç
è
e · L · nMin(L)
t
+ e · L · nMin(V)
t
ö
÷
ø
· æ
ç
è
exp( eUex
kBT 
)  –  1 ö
÷
ø
         
Konventionen: Durchlaßstrom ist immer positiv.
  • Durchlaßrichtung für + an p-Teil, an n-Teil.
 
Diodenkennlinie
Üblich bei Profis: Diagramm log I vs. U.
Maximale Sperrspannung ist begrenzt durch Durchbruch.  
Durchlaßstrom ist begrenzt durch Serienwiderstände.

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)