9.5.2 Was man wissen muss

Wir kennen auswendig, weil verstanden, die wichtigsten Gleichungen für reale (= dotierte) Halbeiter im Gleichgewicht.
nMaj  =  NDot
nMin(T)  =  ni2(T)
NDot 
 
R  =  G  =  nMin
t
 
Wir wissen, dass bei Si die Energielücke EG = 1,1 eV beträgt.
Wir haben ein Gefühl für Dotieren: Womit (in Si: P und As für n-Typ, B für p-Typ), wieviel man so nimmt (1015 cm–3 . . . 1019 cm–3 ), und wie's ungefähr gemacht wird.
Wir wissen, was Generationsrate G, Rekombinationsrate R und Lebensdauer t bedeuten. Löcher im Valenzband und Elektronen im Leitungsband sowie ihr Verhalten bezüglich Energie und Feld sind uns vertraut.
Was in den nachfolgenden Bildern / Gleichungen gezeigt ist, haben wir also total verstanden:
Generation und Rekombination
R  =  nMin
t
  = G
L  =  (D · t)½
Wir wissen, was direkte und indirekte Halbleiter unterscheidet, und dass Si ein indirekter Halbleiter ist.
Der Weg zu diesen Erkenntnissen war steinig.
Wir könnten aber noch Gleichungen wie die unten gegebenen zumindest zuordnen, und wir haben vor allem verstanden, was die Position der Fermienergie in der Bandlücke bestimmt – und warum das so wichtig ist.
 
ne   =  ¥
ó
õ
EL
  D(E) · f(E; EF, T) · dE
         
    »  Neff  · exp( ELEF
kBT 
)
nh   =  EV
ó
õ
¥
  D(E) · [1 – f(E; EF, T)] · dE
           
    »  Neff  · exp( – EFEV
kBT 
)
ne · nh = ni2
ni     =  Neff  · exp( –  EG
2kBT 
)
 
Bandkrümmungen wie dargestellt sind (semi-)quantitativ und qualitativ verstanden.
 
Bandverbiegung und Strom Bandverbiegung
Wir wissen, dass zwischen der Beweglichkeit µ und dem Diffusionskoeffizienten D der Ladungsgträger eine simple Beziehung existiert und erinnern uns zumindest an µ µ D.
Damit ist die Leitfähigkeit s = qnµ der Halbleiter klar, und auch wie sie im Prinzip von der Dotierkonzentration NDot abhängt.
Die Bedeutung von Kontakten ist klar; wir können einige konstruieren, denn wir kennen das 3-Schritte-Rezept.
Der Zusammenhang zwischen Ladungen, Bandverbiegung, Raumladungszone und elektrisches Feld im Kontakt ist klar.
Das Kondensatormodell für die Weite der Raumladungszone ist klar; mit einigen Hinweisen könnten wir es rekonstruieren.
Wir können das Banddiagramm eines pn-Übergangs konstruieren, Ladungsträger und Ströme einzeichnen, die Ströme benennen und auch noch die Ladungsverteilung im Ortsraum skizzieren (wir sehen auch, dass im Bild unten was vertauscht ist gegenüber dem darüber).
pn Übergang Strom der Majoritäten in das jeweils andere Gebiet:
  • Diffusionsstrom oder
  • Rekombinationsstrom oder
  • Durchlaßstrom.
Beispiel: Elektronenstrom vom n-Si zum p-Si.

(Hinweis: In dieser Abbildung sind die Teilströme noch englisch beschriftet: Diffusionsstrom = forward current jF, Feldstrom = reverse current jR)
pn-Kontakt im Ortsraum Strom der Minoritäten in das jeweils andere Gebiet:
  • Feldstrom oder
  • Driftstrom oder
  • Generationsstrom oder
  • Sperrstrom.
Beispiel: Elektronenstrom vom p-Si zum n-Si.
Wir haben im Detail verstanden, dass im Gleichgewicht gilt:  jD = –jF  und   |jF| = e · L · G = e · L · ni2/t · NDot
Wie die Banddiagramme mit externer Spannung ausssehen und wie daraus die Diodengleichung folgt, ist klar (Hinweis: In der folgenden Abbildung sind die Teilströme noch englisch beschriftet: Diffusionsstrom = forward current jF, Feldstrom = reverse current jR).
pn Übergang gesperrt  pn Übergang vorwärts
j(Uex)  =   æ
ç
è
e · L · (ni)2
NA · t
+ e · L · (ni)2
ND · t
ö
÷
ø
· æ
ç
è
exp( eUex
kBT
) – 1 ö
÷
ø
Wenn bis dahin wirklich alles klar ist, versteht sich der Rest von selbst.
 
Zahlen und Formeln
   
Unbedingt erforderlich:
Anmerkung: In der Regel reichen "Zehner"-Zahlen (Größenordnungen); genauere Werte sind in Klammern gegeben.
Zahlen neu
Größe   Zehnerwert Besserer Wert
       
Energielücke EG Si = 1 eV 1,1 eV
       
Lebensdauer
Diffusionslänge
 »  Direkte HL (z.B. GaAs):
ns und nm
Indirekte HL (z.B. Si):
ms und mm
     
Typische
Dotierkonzentrationen:
 »  As od. P für n-Typ; B für p-Typ:
(1015 . . . 1019) cm–3
Zahlen alt
Größe   Zehnerwert Besserer Wert
       
Typische spez. Widerstände r   r Metall: » 1 µWcm
r Halbleiter (dotiert): » 1 Wcm
r Isolator: >> 1 Wcm
       
Typische Energielücken EG   Metall: » 0 eV
Halbleiter: » (0,5 . . . 2,5) eV
Isolator: > 2,5 eV
       
Permeabilität mr   Diamagnete: <» 1
Paramagnete: >» 1
Ferromagnete: >> 1; bis >1000
       
Frequenzabhängigkeit
Magnetismus
  relevant nur <» GHz;
darüber mr » 1
       
Durchschlagsfestigkeiten Emax  »  (0,1 . . . 10) MV/cm » 15 MeV/cm (Limit)
       
Maximale Stromdichten jmax  »  (103 . . . 105) A/cm2  
       
Einige Dielektrizitäts-
konstanten er
  er(H2O): » 80
er(SiO2): » 3,7
er(Halbleiter): » 10 . . . 20
       
"Interessante" Frequenzen   » 10 GHz: Relaxation H2O
» 1013 Hz: Resonanz Ionenpolarisation
» 1015 Hz = "Optik": Resonanz Elektronenpolarisation
       
Daten Licht:
   Wellenlänge
   Frequenz
   Energie

  » 
  » 
  » 

1 µm
1014 Hz
1 eV

500 nm
5 · 1014 Hz
2,5 eV
       
Avogadrokonstante   1024 mol–1 6 · 1023 mol–1
       
Bildungs- und Wanderungs-
energie Leerstelle
 »  1 eV ca. (0,5 . . . 5) eV
       
(kBT)RT   =   1/40 eV = 0,025 eV
       
Typische Gitterkonstante a  »  1 Å = 0,1 nm 2 Å . . . 5 Å
       
Größe eines Atoms  »  1 Å = 0,1 nm 1 Å . . . 3 Å
       
Photonenenergie (sichtbares) Licht  »  1 eV (1,6 . . . 3,3) eV
       
Vibrationsfrequenz Atome
im Kristall
 »  1013 Hz  
Formeln neu
Größe Formel
Konzentration
Majoritäten (Si, RT)
nMaj  =  NDot
   
Konzentration
Minoritäten (Si, RT)
nMin(T)  =  ni2(T)
NDot 
   
Generationsrate,
Rekombinationsrate,
Gleichgewichtsbed.
R  =  G  =  nMin
t
  =   ni2
NDot · t
   
Intrinsische Ladungsträgerdichte
ni  =   Neff  · exp( –  EG
2kBT 
)
   
Sperrstrom beim pn-Übergang
= Generationsstrom
j(UR)  =   ±e · G · L  =   ±e · L · (ni)2
NDot · t
 =   const.
   
Diodengleichung
j(Uex)  =   æ
ç
è
e · L · (ni)2
NA · t
+ e · L · (ni)2
ND · t
ö
÷
ø
· æ
ç
è
exp( eUex
kBT
)  – 1 ö
÷
ø
Formeln alt
Größe Formel
Ohmsches Gesetz
j  =  s · E  =  E
r
   
Spezif. Leitfähigkeit
s  =  q · n · µ
   
"Masterformel" für Teilchendichten;
hier Dichte e- im Leitungsband
neL(T)   =  ¥
ó
õ
EL
D(E) · f(E; EF,T) dE
       
  =  Neff · exp[–(ELEF)/(kBT)]
   
Dichte h+ im Valenzband nhV(T)  =  Neff · exp[–(EFEV)/(kBT)]
   
Massenwirkungsgesetz ne ·nh  =  ni2
   
Magnetische Größen
B  =   µo · H  +  J  =  µo · (H + M

M  =   J / µo  =  (µr - 1) · H  =  cmag  · H

mr    =  cmag + 1
   
Dielektrische Größen
m  =  q · x

P  =  S m
V
  =  P'
V
  =  <m> · N V

er    =  c + 1
   
Schwingungsgleichung
und
Resonanzfrequenz
m d2x
dt2
 +  mkR · dx
dt
 +  kFx   =  q E0 cos(wt)

w0'  =  æ
ç
è
kF
m 
ö
÷
ø
1/2
   
Komplexer Brechungsindex
n* = n + ik
(n + ik)2  =  e' – i · e''
   
Blindleistung LB
Wirkleistung LW
LB  =  w · e' · E2
LW  =  w · e'' · E2
   
Entropie S
Si  =   kB · ln pi
   
Freie Energie G
G  =   UTS
   
Stirling-Formel
ln x!  »   x · ln x
   
Dichte Teilchen bei E
n(E)  =  D(E) · w(E) · dE
   
Boltzmann-Näherung an
Fermiverteilung f(E)
für EEF >> kBT
f(E)  »  exp( EEF
kBT
)
   
Boltzmannfaktor (Wahrscheinlichkeit für E)
w(E)  =   exp[–E/(kBT)]
   
Boltzmannverteilung
n(E)
n(E0)
 =  exp( EE0
kBT
)
   
Leerstellenkonzentration
(EF: Bildungsenergie)
cV  =  exp[– EF/(kBT)]
   
Sprungrate r atomarer Defekte
(EM: Wanderungsenergie)
r  =  n0 · exp[– (EM/(kBT)]
   
Diffusionsstromdichte jDiff (Vektor!)
jDiff  =  D Ñn
   
Diffusionslänge L
L  =  (Dt)½
   
Coulombpotential
UCou  =   e2
4p · e0 · r
   
Beziehung Kraft F(r) — Potential U(r)
F(r)  =   U(r)
   
Mech. Spannung s, Dehnung e, E-Modul E
s  =  F
A
e   =   l(s)  –  l0
l0
E   =   ds
de
   
Innere Energie pro Freiheitsgrad
(Gleichverteilungssatz; einzelnes Teilchen)
UFreiheitsgrad  =  ½kBT
   
Mittlere thermische Energie
eines klassischen Teilchens
(innere Energie; Def. der Temperatur)
UTeilchen  =   ½fkBT
(f : Anzahl der Freiheitsgrade)
   
Thermische Energie
(Größenordnung von UTeilchen)
Etherm  =  kBT
(UTeilchen  »  kBT )

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)