Lösungen zur Übung 5.1-1

Berechne die mittlere thermische Energie der nachfolgenden Systeme und ziehe Schlussfolgerungen wie angegeben. Über diesen Link kann man die benötigten Daten finden.
1. Luft bei 300 K. Es genügt, Stickstoff und Sauerstoff im Verhältnis 80 : 20 zu betrachten; man darf dann auch eine mittlere Masse der Moleküle annehmen.
Betrachte zunächst nur eine Komponente der Geschwindigkeit, z. B. vx. Bestimme daraus den Mittelwert von v. Diskutiere den erhaltenen Wert im Lichte bekannter Geschwindigkeiten.
 
Die Massen sind:
  • Sauerstoff O: 16 atomare Einheiten (u) = 16 · 1,7 · 10–27 kg = 2,7 · 10–26 kg.
  • Stickstoff N: 14 atomare Einheiten = 14 · 1,7 · 10–27 kg = 2,4 · 10–26 kg.
Die Moleküle haben die doppelte Masse; für das Durchschnittsmolekül ergibt sich damit ca. 30 · 1,7 · 10–27 kg = 5.1 · 10–26 kg.
Für Elektrotechniker, so steht's im Skript, reicht die ungefähre Beziehung Utherm » kT, mit Utherm(300 K) » 1/40 eV. Für eine Komponente der Geschwindigkeit haben wir dann 1/3 der thermischen Energie oder
½mvx2 = 1/120 eV
vx = (1 eV/[60 m])½ = 5,72 · 1011(eV/kg)½
Die Dimension (eV/kg)½ ist nicht unbedingt das, was man für Geschwindigkeiten erwartet, aber wir müssen nur die eV zu Joule (J) konvertieren (der Link hilft im Zweifel). Wir haben 1 eV = 1,6 · 10–19 J = 1,6 · 10–19 kg · m2 · s–2 und erhalten damit
vx = 5,72 · 11 · (1,6 · 10–19 kg · m2 · s–2/kg)½ = 229 m/s
Für die Gesamtgeschwindigkeit v gilt v2 = vx2 + vy2 + 2 + vz2 = 3vx2 da alle drei Geschwindigkeitskomponenten gleich groß sein müssen.
  Damit ist v = 3½vx = 396 m/s
Na ja - die bekannte Schallgeschwindigkeit in Luft liegt so um 330 m/s; wir sind mit dem obigen Wert da nicht so weit weg. Rechnet man genauer (mit Zahl der Freiheitsgrade = 5) bekommt man die Schallgeschwindigkeit auch nicht viel besser raus - Details dazu in diesem Link.
   
In welcher Größenordung muss die Belichtungszeit einer (fiktiven) hochauflösenden Kamera sein, damit ein scharfes Bild entsteht? Hinweis: Während der Belichtunsgzeit sollte sich das Teilchen nur um einen Bruchteil seiner Dimension bewegt haben.
   
Ein Molekül ist etwa 1 nm groß (es ist hier etwas kleiner). Damit es nicht verschwommen auf dem "Photo" erscheint, darf es sich höchstens um 0,1 nm bewegen.
Die maximale Belichtungszeit (gleich mit der richtigen Schallgeschwindigkeit) ist damit
tmax = 0,1 nm · s/330 m = 3 ·10–13 s.
   
Wie weit kommt ein Luftmolekül im Mittel, bevor es mit einem anderen Luftmolekül kollidiert? Hinweis: Mittlerer Abstand folgt aus Dichte und Molekülgewicht. Was folgt daraus für die mittlere Zeitdauer zwischen Kollisionen?
 
Die Dichte von "Luft" ist 1,3 kg/m3. In 1 m3 sind damit 1,3 kg/5.1 · 10–26 kg = 2,54 · 1025 "Luft"- Moleküle enthalten.
Jedes Molekül hat damit 1/2,55 · 1025 m3 = 1/2,55 · 1025 · 1027 nm3 = 39,3 nm3 Platz zur Verfügung. Der mittlere Abstand dMol zum nächsten Molekül ist damit
dMol = 23 nm1/3 nm = 3.4 nm
Um diesen Abstand zurückzulegen braucht das Molekül im Mittel die Kollisionszeit tKol = 3,4 · 10–9 ms/330 m = 1,03 · 10–11 s.
Um das Gewusel der Moleküle in einem Stück Luft zu "sehen", muss man also recht schnell gucken.
     
Berechne die mittlere thermische Energie der nachfolgenden Systeme und ziehe Schlussfolgerungen wie angegeben. Über diesen Link kann man die benötigten Daten finden.
2. Wasser bei 300 K.
Gehe analog zur Luftaufgabe vor.
Berechne zusätzlich die ungefähre Rotationsgeschwindigkeit des Moleküls. Hinweis: Finde die Formel für die Energie eines mit der Kreisfrequenz w rotierenden kugelförmigen Körpers.

Die Masse eines H2O Moleküls ist 2 u + 16 u = 34 u = 3,06 · 10–26 kg. Damit kann man wie oben wieder die Geschwindigkeit rechnen. sie kann nicht sehr verschieden sein vom vorherigem Ergebnis.
Um die Rotationsgeschwindigkeit zu bekommen müssen wir etwas genauer hinschauen.
Die Rotatiosnenergie Erot einer homogen Kugel mit Radius r, Masse m und Rotationsgeschwindigkeit w ist gegeben durch Erot = 1/5 · m · w2 · r2, oder w = (5Erot/mr2)½.
Mit r = 0,3 nm (typische Atomgröße), thermische Energie in Elektrotechnik Näherung = kT = 1/40 eV bei Raumtemperatur und der Masse wie oben geben, erhalten wir w = ((5/40 eV)/ 3,06 · 10–26 kg · 9 · 10–2 nm–2)½.
Wenn wir gleich noch die Umrechnung eV - J einsetzen, ergibt sich w = ((5/40 eV)/ 3,06 · 10–26 kg · 9 · 10–2 nm–2)½ » 1 · 1012 s–1.
Das sind recht hohe Drehraten im THz Bereich. Wir haben aber nicht sehr genau gerechnet, und für größere und schwerere Moleküle sind die Drehraten entsprechend kleiner - man kommt in den Mikrowellenbereich (GHz) und kann dort Molekülspektroskopie treiben!
     

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