Vergleich von klassischen Teilchen und Fermionen im Phasenraum

Es ist illustrativ sich dieArt der möglichen Zustände und die Besetzung der Zustände im Phasenraum anzuschauen.
Links das freie Elektronengas in quantenmechaischer Beschreibung, rechts ein klassisches Gas - ob es Elektronen, Molelküle, oder Mückenschwärme sind, spielt dabei keine Rolle.
Die ausgefranste Form der Darstellung ist natürlich schematisch und symbolisch zu sehen.
Dem durch die möglichen Wellenvektoren aufgepannte Phasenraum links entspricht der Impulsraum rechts - Multiplikation mit  überführt den k-Raum auch quantenmechanisch in den Impulsraum. Da beim friene Elektronengas alle Energien rein kinetisch sind, ist der Phasenraum damitauch ein Geschwindigkeitsraum.
Links sind nur diskrete Werte für den Wellenvektor bzw. den Impuls zugelassen - das sind die blauen Punkte. Rechts sind beliebige Werte für Impulse erlaubt.
Vergleich klassiches Gas und Fermionengas im Phasenraum
Links gibt es eine feste, von der Temperatur unabhängige Fermienergie; sie ist durch den roten Kreis markiert.
Die Besetzung der vorhanden Zustände regelt links die Fermiverteilung, rechts die Boltzmann Verteilung. Eine Art "Momentaufnahme" der besetzten Plätze ist durch die rosa Wolke dargestellt.
Das ganz ist nicht maßstäblich! Rechts müßten, wenn alles auf Impuls normiert ist, die rosa Wolken viel, viel kleiner gemalt werden.
Die rosa Wolke wird rechts zum Nullpunkt hin immer röter um anzudeuten, daß sehr viele Elektronen bei den kleinen Energien sitzen; links sind sie sind der Fläche überall gleich verteilt.
Das Verhalten bei abnehmender Temperatur ist grob unterschiedlich. Links verringert sich nur der Grad der "Ausfransung" der rosa Wolke, rechts zieht sie sich auf einen Punkt zusammen.
Links ändert sich Gesamenergie und mittlere Geschwindigkeit kaum, rechts geht sie auf Null.
 

Mit Frame Mit Frame as PDF

gehe zu 2.4.2 Elektrische Leitfaehigkeit des freien Elektronengases

© H. Föll (MaWi 2 Skript)