 | Der Elastizitätsmodul E ist sowohl eine der wichtigsten (und
leicht meßbaren) Materialeigenschaften als auch eine direkt die atomare Natur der Materie demostrierende
Größe. |
|  | Der
E-Modul resultiert, wie wir bereits wissen, direkt aus
dem Bindungspotential, das wiederum die Lösung der Schrödingergleichung für die betrachtete Bindung
repräsentiert. |
| | Betrachtet werden dabei immer
nur ein paar der äußeren Elektronen der betrachteten Atome. Bedenkt man, daß der Radius der 1.
Bohrschen Bahnen oder die Maxima der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der betrachteten Orbitale gut 10.000 mal
größer sind als die Größe des Atomkerns oder der Elektronen (ein typischer Wert für die Größe eines Atomkerns ist 3.4
· 10–15 m, ein Elektron hat den "klassischen" Radius 2.8 ·
10–15 m, der Bohrsche Radius liegt bei ca. 5.3 · 10–11
m), besteht die Materie im wesentlichen aus leerem Raum, mit ein paar geladenen "Punkten"
darin. |
| | Na ja - nicht ganz richtig! Der
"leere" Raum ist angefüllt mit den elektrischen Feldern der geladenen "Punkte". Jede der
"Punktladungen" q produziert im Abstand r ein elektrisches Feld E, das gegeben ist durch |
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| | Wir sind natürlich inzwischen schlau
genug, E und E nicht zu verwechseln! |
| In der Nähe eines Elektrons wird man im wesentlichen nur das Feld dieses Elektrons
spüren. Dieses Feld hat wie jedes elektrische Feld eine Energiedichte E
(wir nehmen hier, aus reiner Bosheit, dreimal das gleiche Symbol, nur in anderen Farben!), die gegeben ist durch |
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| E = | e0
· E2
2 |
= | 2300 GPa
p r4 |
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| | Der Ausdruck rechts resultiert, wenn man
die erste Gleichung für das Feld und die Werte für die Elementarladung und e0 einsetzt und den Radius in Å angibt. Die Energiedichte hat dann die
Einheit GJ/m3. |
| Die Energiedichte E hat die Einheit [J/m3]. Die Energie des elektrischen Felds ist die
Ursache für die Kraft zwischen zwei Ladungen - die Coulombkraft - weil Kraft mal Weg die Arbeit beschreibt, die
man aufbringen muss, um die Energiedichte des Gesamtfeldes für den gewählten Abstand zu bekommen. |
| | Andersherum ausgedrückt, die Kraft ist die
(negative) Ableitung der potentiellen elektrostatischen Energie für diesen Fall. Auch nichts wirklich Neues. |
| Jetzt zurück zum E-Modul. Er beschreibt, was passiert, wenn
wir ein Stück feldgefüllten Raum mit "Punktladungen drin (= ein Material) nehmen, und jetzt die
Ladungen etwas dichter beisammen haben wollen. Wir "drücken" oder, wenn wir es etwas weniger dicht
haben wollen, "ziehen" (= Zugversuch) am Material. |
| | Die Einheit des E-Moduls ist Pascal [Pa]; normalerweise nehmen wir Gigapascal, GPa. Ein Pascal
war definiert als 1 Pa = 1N/m2. Wir können da aber noch einen Meter reinmultiplizieren, und
erhalten genauso gut 1 Pa = 1Nm/m3 = 1J/m3. |
| Aha! Der E-Modul beschreibt also auch eine Energiedichte!
Welche wohl? |
| | Genau! es kann sich nur um die
Energiedichte des elektrischen Feldes der an der Bindung beteiligten Elektronen handeln. Und zwar in Abständen
r die so rund und roh einen Bindungsabstand beschreiben. |
| | Das kann man nun schnell ausrechnen, was man bekommt
sieht so aus: |
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| Abstand r vom Elektron [Å] | Elektrische Energiedichte E [GPa] | Kommentar | | 4.0 | 2.8 | Größenordnung E-Modul
von Polymeren |
| 1.37 | 208 | Größenordnung E-Modul
von Metallen | | 1.0 | 732 | Größenordnung
E-Modul
von Keramik / Diamant |
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| Nochmal Aha! Der E-Modul beschreibt wohl tatsächlich den Teil der
elektromagnetischen Energiedichte, den wir mechanisch noch ein bißchen ändern können. |
| | Das sind letztlich die Felder, die von den
äußeren Elektronen herkommen. Die inneren Elektronen werden von "normalen" mechanische
Drücken nichts merken. |
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| | Nach "The Curious World of Conact Angles and
Particle Adhesion" von Robert Lacombe; in "Materials Science and Technology Newsletter", Vo. 2 No. 3
March 2006. |
© H. Föll (MaWi 1 Skript)
Mit Frame
2.4.1 Ableitung des E-Moduls