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Wir betrachten jetzt nur noch
Halbleiter. Sie unterscheiden sich von
Isolatoren zunächst nur durch die
Möglichkeit, daß die bei Raumtemperatur verfügbare thermische
Energie kTRT » 1/40 eV
ausreicht, um einigen Elektronen den Sprung vom (vollen) Valenzband ins
Leitungsband zu ermöglichen. |
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Der Übergang von Elektronen vom Valenzband
ins Leitungsband sowie der umgekehrte Prozeß, der Übergang von
Elektronen im Leitungsband zu freien Plätzen im Valenzband, sogenannte
Band-Band-Übergänge, sind also
unmittelbar verantwortlich für die elektrische Leitfähigkeit der
Halbleiter. Wir müssen sie etwas näher betrachten. |
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Jeder solcher Übergang bedeutet einen
Wechsel von einem Zustand mit einem Wellenvektor k zu
einem neuen Zustand mit einem Wellenvektor k'. Dabei
ändert sich die Energie und der
Impuls des Elektrons. |
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Da aber der Energie- und Impulserhaltungssatz
auch in der Quantentheorie gilt, müssen wir uns mit den damit verbunden
Konsequenzen beschäftigen. |
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Wir betrachten zunächst den
Energieerhaltungssatz. Um von der etwas
undeutlichen "thermischen Energie" wegzukommen, nehmen wir Photonen, also Licht, mit der eindeutig definierten
Energie EPhoton = h · n, um Elektronen aus dem Valenz- ins Leitungsband zu
lupfen. |
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Wir betrachten nun das Schicksal
eines von einem Photon getroffenen Elektrons im Detail, sowohl im
E(k)-Diagramm als auch im Banddiagramm. |
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Das Photon trifft ein Elektron
irgend"wo" im Valenzband. Das "wo" bezieht sich dabei
sowohl auf den Ort im Ortsraum als auch im k-Raum. In der
Zeichnung hat das "getroffene" Elektron den Zustand
k; damit ist alles über den Zustand
"vorher" gesagt. Es gibt nun zwei Möglichkeiten: |
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1. Die Energie des Photons
hn reicht aus, um das Elektron mindestens bis
zur Leitungsbandunterkante zu heben. Dann wird das mit einer gewissen
Wahrscheinlichkeit auch passieren. Im Bild reicht die Energie sogar um ein
Elektron deutlich über die Leitungsbandkante zu heben (roter Pfeil nach
oben). |
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Im E(k)-Diagramm gibt es
aber hn über dem Zustand k gar keinen Zustand; wir müssen das
Elektron also in den energetisch passenden Zustand in der 2. BZ
"transferieren" (roter Pfeil nach rechts). Dadurch hat das Elektron
jetzt aber einen anderen (größeren) Wellenvektor. |
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Wir folgen den beiden roten Pfeilen; das Elektron
sitzt nun im Zustand k'1 im sonst leeren
Leitungsband. |
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Es gibt jetzt jede Menge freie Plätze bei
kleineren Energien für unser Elektron - es wird also nicht lange auf
seinem ersten Platz bleiben, sondern sich von Platz zu Platz "nach
unten" sinken lassen, bis es das Energieminimum des Leitungsbandes bei
k'2 erreicht hat;
angedeutet durch die kleinen roten Pfeile nach unten. |
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Die Überschußenergie geht dabei
portionsweise ins Gitter - der Kristall wird ein bißchen wärmer. In
der Zeichnung ist das formal-abstrakt so dargestellt, daß das Elektron
beim Hinunterhüpfen ins Leitungsband
Phononen
emittiert. |
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Dieser Prozeß heißt
Thermalisierung
oder dielektrische Relaxation. Er
erfolgt sehr schnell - in (10–
11 - 10– 13) s ist alles vorbei. |
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2. Die Energie des Photons ist
zu klein; sie reicht nicht aus, um einen
Übergang Valenzband - Leitungsband zu induzieren. |
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Dies bedeutet, daß es
für hn < EG keine Absorption des Photons geben kann. Für
Photonen mit kleinerer Energie ist der (perfekte) Kristall komplett
durchsichtig. |
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Wir haben also auch fundamentale optische
Eigenschaften im Banddiagramm enthalten! |
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Die Darstellung im Banddiagramm
rechts ist natürlich viel einfacher, weil wir uns nicht um die
k-Werte kümmern. Wir können dafür eine
andere wichtige Sache besser wiedergeben als im
E(k)-Diagramm: |
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Das ins Leitungsband transferierte Elektron
hinterläßt einen unbesetzten Platz im
Valenzband, ein "Loch"; als kleines blaues Quadrat
eingezeichnet. |
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Das gibt dem energetisch direkt über dem
Loch sitzenden Elektron die
Möglichkeit, energetisch etwas tiefer zu sinken, indem es den freien Platz
besetzt. Die freiwerdende Energie geht wieder als Wärme ins Gitter. |
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Das Loch ist
jetzt energetisch eins höher gerutscht. Das direkt darübersitzende
Elektron.... - der Prozeß wiederholt sich, bis das Loch an der
Valenzbandoberkante sitzt. |
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Im Banddiagramm haben wir jetzt ein Elektron an
der Leitungsbandkante (wir meinen dann
immer die untere Kante) und ein Loch an der
Valenzbandkante (wir meinen dann immer die
obere Kante). |
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Die Position von Loch und Elektron ist dann
irgend"wo" - denn die Ordinate des Banddiagramms trägt keine
Bezeichnung; wir lassen alles unspezifiziert. Das ist auch richtig, denn obwohl
Elektron und Loch gleich nach der Generation einen definierten Ort besitzen,
sind sie ja beweglich und laufen - per "random walk" - irgendwo
hin. |
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Damit haben wir energetisch alles im Griff. Der Energiesatz ist in
jedem Moment erfüllt, die Energie des gesamten System aus Photon, Elektron
und Kristall (mit Phononen) ist konstant. |
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Wie steht es mit dem
Impulserhaltungssatz? |
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Wir müssen nun den Impuls des
Systems vorher und nachher betrachten. Das ist erheblich schwieriger
als die Betrachtung der Energie, da der quantenmechanische Impuls von Photon,
Kristall und Elektron nicht so unmittelbar klar ist wie die Energie. |
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Wir müssen hier etwas an der Oberfläche
bleiben, und werden einige "Dinge" einfach postulieren. Trotzdem
läßt sich eine wichtige
Beziehung leicht verständlich machen. |
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In der Quantenmechanik ist der Impuls immer gegeben durch |
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| Impuls |
= p =
 ·
k |
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- und das gilt für Elektronen, Photonen und
Phononen. Da die Wellenlängen von (Licht)Photonen immer sehr viel
gößer sind als die der Elektronen und
Phononen
(Photonen liegen im 1 µm Bereich, Elektronen und (die hier
wichtigen) Phonen eher im nm Bereich); der Wellenvektor dann
entsprechend viel kleiner, können wir den Impuls
der Photonen in 1. Näherung schlicht
vernachlässigen. |
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Im
Link ist das ein
bißchen genauer aufgeführt. Es ist hilfreich, sich in diesem
Zusammenhang schlicht folgende Regel zu merken: |
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Photonen haben Energie, aber kaum Impuls.
Phononen haben Impuls, aber kaum Energie.
Elektronen haben Impuls und Energie. |
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Damit können wir den Impuls der
Photonen erst mal "vergessen"; und Phononen sind bei der
primären Generation auch noch nicht beteiligt. Es geht damit nur noch um
den Impuls des Elektrons vorher (im Valenzband; Wellenvektor
k) und nachher (im Leitungsband; Wellenvektor
k'); dafür schreiben wir Dp, die Differenz des Impulses vorher –
nachher. |
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Wir haben |
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| Dp = |
· (k –
k') |
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Diese Differenz ist auf jeden Fall ungleich Null,
d.h. der Impulserhaltungssatz ist für das Elektron ohne dritten Partner nicht zu erfüllen. |
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Der dritte Partner in einem perfekten
Kristall kann aber nur der Kristall selbst sein. Er hat die Masse ¥
verglichen mit einem Elektron, und könnte eigentlich damit jeden
beliebigen Impuls aufnehmen - so wie die Hauswand beim Ballspiel. |
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Kann er aber
nicht. In der Quantenmechanik sind die Dinge gequantelt, und die
Differenz (k – k') kann nur diskrete Werte annehmen. |
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Welche das sind können wir hier nicht
herleiten. Wir können aber das Ergebnis, auch als
Kristallimpulserhaltungssatz
bekannt, zur Kenntnis nehmen; es lautet |
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k – k' =
G
G = reziproker Gittervektor |
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Das sollte uns nun sehr bekannt
vorkommen. Es ist die gute alte
Bragg-Bedingung mit einer Verallgemeinerung:
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|k| = |k'|
muß nicht mehr erfüllt sein!,
wir lassen jetzt auch inelastische
Streuung zu. |
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Das ist nun wirklich einfach, hat aber
einschneidende Konsequenzen. |
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Wenn wir die Darstellung des
Band-Band-Übergangs im E(k)-Diagramm
oben wieder betrachten, bedeutet
Impulserhaltung nun, daß der nach rechts weisende rote Pfeil die Länge eines reziproken Gittervektors haben
muß. |
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Das hat er aber sicher nicht, denn in der
Zeichnung wäre der kürzestmögliche reziproke Gittervektor so
lang wie beide Brillouinzonen zusammen (man betrachte ein
früheres Bild, falls das nicht
unmittelbar einsichtig ist). |
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Die Konsequenz is einfach: der
oben gezeichnete Band-Band-Übergang kann gar
nicht stattfinden, er verletzt den
Kristallimpulserhaltungssatz! |
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Um Energie- und Kristallimpulserhaltung gleichzeitig zu
erfüllen. müssen wir nun im E(k)-
Diagramm solange mit zwei vorgegeben
Strecken (den beiden roten Pfeilen) an der Dispersionskurve rauf- und
runterfahren, bis wir einen k-Wert finden, bei dem alles
paßt. |
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Das tun wir aber nicht, sondern wir lassen uns
etwas einfallen, was die Arbeit sehr stark erleichtert: Wir benutzen ab sofort
ein reduziertes Bandschema oder
Banddiagramm. |
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Die
E(k)-Diagramme wie schon mehrfach gezeigt, lassen sich
sehr viel platzsparender zeichnen, wenn man eine kleine Vereinbarung
bezüglich eines zeichentechnischen "Tricks" trifft: |
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Wir malen alle Zweige
der E(k) Kurven in den diversen Brillouin Zonen in die
1. Brillouin Zone. Man weiß ja, zu welcher BZ irgendein Ast
gehört - man muß nur von unten kommen abzählen. |
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Praktisch geht das ganz einfach: Wir
verschieben jeden Ast solange um reziproke Gittervektoren nach innen, bis er in
die 1. BZ fällt. Das sieht so aus: |
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Diese "Spar"version der
Dispersionkurven heißt reduzierte Darstellung
oder reduziertes Banddiagramm. |
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Nebenbei erwähnt: Die reduzierte
Darstellung des Banddiagramms ist nicht nur ein Zeichentrick, sondern geht
etwas tiefer. Man kann zeigen, dass die Addition eines reziproken Gittervektors
zum Wellenvektor einer beliebigen Kristallwellenfunktion (fast) nichts
ändert. Das ist hier aber nicht so wichtig, wer will kann sich das Ganze
im Link noch etwas genauer
anschauen. |
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Damit sparen wir nicht nur eine Menge
Platz, sondern die von Impuls- und Energieerhaltungssatz aus erlaubten Übergänge liegen jetzt einfach senkrecht
übereinander. |
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Das ist leicht einzusehen: Jeder Übergang
der energetisch paßt, erfüllt automatisch den
Kristallimpulserhaltungssatz, denn die diversen Äste der
E(k) Kurve unterscheiden sich ja genau durch einen
reziproken Gittervektor. |
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Die Absorption eines Photons sieht jetzt also so
aus wie links dargestellt. Die Länge des Pfeils mit der Energie hn muß nur noch an die passende Stelle zwischen
den zwei Ästen gezeichnet werden. |
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Wir wollen diese Vereinbarung, für
Band-Band-Übergänge das reduzierte Bandschema zu verwenden, zukünftig
automatisch einhalten. Sie ist im übrigen auch durch die harte Theorie zu
rechtfertigen, die unter der Bezeichnung "Bloch
Theorem"
bekannt ist. |
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Band-Band-Übergänge zeichnen wir
zukünftig auch im einfachen Banddiagramm nur noch senkrecht nach oben -
und nach unten. |
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Die typischen Kurve eines reduzierten
Banddiagramms wie nebenstehend gezeigt, taucht in der Natur häufiger auf.
Wir beobachten sie bei genauem Hinsehen auch bei
Objekten, die der
Halbleiterphysik eher fern stehen. Ein aufmerksamer Betrachter kann auch
noch Hinweise auf Komplikationen finden, die wir erst in den folgende Kapiteln
behandeln werden. |
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Denn alles was wir
bisher gelernt haben gilt selbstverständlich nicht nur für die
Generation von
Elektronen, d.h. für die Schaffung eines Elektron-Loch Paares durch den
Übergang eines Elektrons vom Valenz- ins Leitungsband, sondern auch
für die Rekombination, die
Wiedervereinigung von Elektron und Loch. |
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Versuchen wir, das
im obigen Bild einzutragen, bekommen wir ein
Problem. |
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Nach der
Thermalisierung von
Elektron und Loch, sitzen sie im gezeichneten Beispiel nicht mehr
senkrecht übereinander! Ein
Übergang nach unten und damit Rekombination ist ohne Verletzung des
Kristallimpulserhaltungssatzes nicht möglich! |
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Das ist eine ziemlich aufregende
Erkenntnis - mit weitreichenden Konsequenzen. Wir werden ihr ein eigenes
Unterkapitel widmen. |
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© H. Föll
