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Ohmsches
Gesetz |
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Elektrischer Strom
je = mechanischer Strom
jT geladener Teilchen |
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| je |
= |
q ·
jT |
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q = Ladung
des Teilchens |
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| jT |
= |
Zahl Teilchen N pro
Fläche F und Zeit t |
= |
N
F · t |
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Es zählt nur der
Nettostrom = Differenz der
Teilströme. Der Nettostrom ist bestimmt durch die Driftgeschwindigkeit
vD |
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Damit ergibt sich die
"Mastergleichung" für die
Leitfähigkeit;
µ ist der Materialparameter "Beweglichkeit" =
vD/E |
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Die Existenz einer konstanten
Driftgeschwindigkeit trotz einer konstante Kraft erfordert die Existenz von
"Reibung" =
Stöße
im Mikroskopischen. |
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| vD |
= – |
E · e · t
m |
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| l |
= |
2t(v0 +
vD) |
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| µ |
= |
vD
E |
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= |
e · t
m |
= |
e · D
kT |
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| s |
= |
n · e2 ·
t
m |
= |
n · e2 · l
2 · m · (v0 + vD) |
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Stoßpartner für die
Elektronen sind Phononen, Kristallgitterdefekte
und andere Elektronen. |
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Die entscheidenden Parameter sind die mittlere
Stoßzeit t und die damit verknüpfte
mittlere
freie Weglänge l |
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Es ergeben sich die nebenstehenden Beziehungen.
Dabei ist die Einstein-Smoluchowski Beziehung zwischen µ und
Diffusionkonstante D schon eingetragen, |
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Die mittlere thermische
Geschwindigkeit v0 folgt aus der klassischen
Thermodynamik: |
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| E = Ekin =
½ m · v02 = 3/2 kT |
| v0 |
= |
æ
ç
è |
3 kT
m |
ö
÷
ø |
1/2 |
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Für Metalle mit bekannter
Konzentration n der Elektronen und gemessenen
Leitfähigkeiten lassen sich die interessanten Größen
ausrechnen; man erhält |
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| v0 |
» |
5 · 104 m/s |
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| t |
» |
4 · 10–14 s |
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| vD |
» |
6 · 10–1 m/s |
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| l |
» |
3 nm |
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Das kann nicht stimmen - insbesondere
l ist viel zu klein! |
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Offenbar ist
Quantentheorie erforderlich! |
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Der Hall Effekt
betrachtet Stromfluß im Magnetfeld Bz. Bei
orthogonaler Geometrie wird senkrecht zu Ex und
Bz eine Hallspannung Ey ·
Breite induziert. |
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| Ey |
= |
sgn(q) · µ ·
Ex · Bz = RHall
· Bz · jx |
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| RHall |
= ± |
µ
s |
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Damit sind Beweglichkeiten direkt meßbar;
das Vorzeichen der Hallkonstante gibt direkt das Vorzeichen der
fließenden Ladungen. |
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Gelegentlich findet man positive Ladungen; klassisch nicht
erklärbar.Offenbar ist Quantentheorie
erforderlich! |
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© H. Föll (MaWi 2 Skript)
