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Schauen wir uns die allgemeinste (und
schwierigste) Aufgabe der Elastizitätstheorie an. Ein
beliebig geformter Körper, anisotrop und nicht homogen, wird beliebigen
Kräften ausgesetzt. Die einzigen Einschränkungen sind |
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1. Alle Verformungen sind
elastisch. |
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2. Die Summe aller Kräfte
und Drehmomente ist Null, da der Körper sich nicht bewegen soll. |
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Die einfache Frage ist jetzt:
Wie ändert sich die Gestalt des
Körpers? |
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Wir verformen sozusagen eine
Kartoffel, ein Auto, oder einen optoelektronischen Chip (der aus vielen
Schichten verschiedener Einkristalle besteht). |
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Beliebige Kräfte und Kraftfelder (nicht nur
"Punktkräfte" wie gezeichnet) sind zugelassen. |
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Wie ändert sich die Gestalt? Man
bedenke, daß in obiger "Kartoffel" noch Hohlräume sein
könnten - gefüllt mit Vakuum oder Gasen unter irgendeinem Druck! |
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Das ist so
ungefähr das schwierigste Problem, das die klassische Physik zu bieten
hat. Die Elastizitätstheorie ist vergleichsweise viel schwieriger (und
mathematisch anspruchsvoller) als die Elektrodynamik mit den
Maxwellgleichungen. |
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Wir werden hier jedoch nur einige der
notwendigen Zutaten und einige ganz allgemeine Schlußfolgerungen
betrachten, da wir uns letztlich viel mehr für die plastische Verformung interessieren. |
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Zur mathematischen Beschreibung des
Problems unterteilen wir den Körper in lauter (differentiell) kleine
Volumenelemente, d.h. kleine Würfelchen. |
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Vor Anlegen der verformenden Kräfte und
Kraftfelder sind diese Volumenelemente perfekte kleine Würfelchen; wenn
man will: kubische Gitter. |
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Durch die Verformung werden aus den Würfeln
deformierte Körper; das Gitter ist jetzt triklin. |
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Der Verformungszustand des gesamten Körpers
ist durch die Angabe der Verformungszustände aller Volumenelemente
eindeutig festgelegt. |
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Als Einstieg in die Gesamtproblematik
ist es also sinnvoll, sich den allgemeinsten Verformungszustand eines
würfelförmigen Volumenelementes zu betrachten. Dies wird direkt zu
einer weitreichenden Erkenntnis führen. |
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Wir betrachten jetzt also einen Elementarwürfel und überlegen,
welche Spannungen wir auf den Flächen des Würfelchens anbringen
müssen, um es in einen beliebigen
verformten Zustand zu überführen. Das ist im Bild unten gezeigt.
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Wir müssen auf jede Fläche des Würfels eine
Normalspannung und eine Scherspannung
wirken lassen. Die Scherspannung kann in eine beliebige Richtung wirken; es ist
aber sinnvoll, sie in zwei Komponenten parallel zu den Koordinatenachsen zu
zerlegen. |
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Die Spannungen sind durch Pfeile
dargestellt - aber Vorsicht: Spannungen sind keine
Vektoren; wir werden gleich sehen, was sie sind. Die Richtung der
Pfeile gibt deshalb die Richtung der wirkenden Kraftkomponente an. |
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Für die effektive Buchführung haben die
Spannungen zwei Indizes; d.h. wir schreiben
tij für die Scherspannung die
auf der Ebene i in Richtung j wirkt; die Normalspannungen sind
dann automatisch mit sii
indiziert. |
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Es liegt nun nahe, die diversen
Komponenten der Spannungen zu ordnen; wir fassen sie in einer Matrix
zusammen |
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| sij(x,y,z) = |
æ
ç
è |
s11
t12 t13
t21 s22 t23
t31 t32 s33 |
ö
÷
ø |
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Offenbar brauchen wir alle 9
Komponenten dieser Matrix um den allgemeinen Spannungszustand des
Elementarwürfels zu beschreiben. |
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In anderen Worten: Wir müssen an jedem Punkt
(x,y,z) des Körpers neun Zahlen kennen, um seinen Spannungs- und
Verformungszustand zu beschreiben. Das mathematische Gebilde das diese Aufgabe
meistert heißt Tensor; es ist die
Weiterführung des Begriffs des
Vektors. |
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sij(x,y,z) ist der
Spannungstensor des Verformungszustandes.
Er verursacht an jedem Volumenelement V(x,y,z)
entsprechende Dehnungen, die dann völlig analog durch einen
Dehnungstensor eij(x,y,z) beschrieben werden. |
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Die Bedingung, daß der
Körper sich nicht bewegen soll,
erlaubt uns, den Spannungstensor etwas zu vereinfachen. Nehmen wir für den
Elementarwürfel einen Würfel mit Einheitsflächen, entsprechen
die einzelnen Komponenten des Spannngstensors direkt den wirkenden Kräften
Fij. |
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Die Bedingung SF = 0 und SM = 0 (M = Drehmomente) führt
auf die Bedingungen |
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| si j
= s–i
–j |
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| ti j =
tj i |
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Damit reduziert sich der Spannngstensor (und
damit auch der Dehnungstensor) auf die Angabe von 6 unabhängigen Komponenten. |
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Ein kurzes Wort zu Tensoren als
mathematische Objekte. Am einfachsten kann
man einen Tensor als Gebilde auffassen, das zwei Vektoren verknüpft. |
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Betrachten wir die Definition der
Spannung s,
Wir hatten s = F/A, und F war die auf
die Fläche A wirkende Kraft. |
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Dabei hatten wir stillschweigend vorausgesetzt,
daß die Kraft F senkrecht auf der Fläche A steht.
Zwischenzeitlich haben wir aber auch Spannungszustände behandelt, bei
denen die wirkende Kraft aus beliebiger Richtung auf die Bezugsfläche
wirkt. Wir müssen jetzt sowohl F als auch
A als die Vektoren
behandeln, die sie schließlich auch sind. |
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Die Division zweier Vektoren ist
nicht definiert, aber wir müssen obige Gleichung für s nur umschreiben um eine wohldefinierte
Vektorgleichung zu bekommen |
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Wobei der Vektor A der
Normalenvektor der betrachteten Fläche A ist. |
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Bisher waren bei Vektorgleichungen dieser Art die
betrachteten Vektoren alle colinear, d.h.
sie zeigten in dieselbe Richtung und unterschieden sich nur im Betrag. Man
denke z. B an das Newtonsche Grundgesetz F = m ·
a. |
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Die Verknüpfung der beiden Vektoren erfolgt
dabei zwangsweise über einen Skalar. |
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Falls wir diese Restriktion fallen
lassen wollen, d.h. nach gesetzmäßigen Verknüpfungen zweier
Vektoren suchen, die aber beliebige Richtungen zulassen, dann ist die einfachst
denkbare mathematischen Verknüpfung, daß jede Komponente des Vektors
F von allen Komponenten des Vektors A
abhängt, d.h. in formelmäßiger Darstellung |
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| Fx = sxx · Ax +
sxy ·
Ay + sxz
· Az |
| Fy = syx · Ax +
syy ·
Ay + syz
· Az |
| Fz = szx · Ax +
szy · Az
+ szz ·
Az |
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Die sij sind dann die Komponenten eines
Tensors, im Beispiel des Spannungstensors. Das Gleichungssystem oben legt auch
schon fest, wie ein Tensor mit einem Vektor
multipliziert wird. Im wesentlichen gelten die Regeln der
Matrixalgebra. |
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Ein Vektor ist mehr als drei Zahlen - er hat bestimmte
mathematische Eigenschaften die physikalische Realitäten widerspiegeln,
zum Beispiel transformieren sich seine Komponenten beim Wechseln des
Koordinatensystems, d.h. bei Koordinatentransformationen, in eindeutig
bestimmter Weise; siehe den
Basismodul dazu.
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Für Tensoren gelten ähnliche Regeln und
Bedingungen; auch die neun Komponenten eines Tensors müssen bestimmten
Transformationsvorschriften genügen. |
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Mehr dazu in einem
besonderen Modul, hier soll
nur eine daraus resultierende Eigenschaft
angesprochen werden: |
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So wie man für
einen gegebenen Vektor immer ein
Koordinatensystem finden kann, in der zwei Komponenten des Vektors
verschwinden, d.h. = Null sind, kann man für einen gegebenen Tensor immer
ein Koordinatensystem finden, in dem alle Nichtdiagonalelemente des Tensors =
Null sind. In diesem Hauptachsensystem
reduziert sich der Spannungstensor auf
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| s
= |
æ
ç
è |
s1
0 0
0 s2 0
0 0 s3 |
ö
÷
ø |
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(Ein Index genügt jetzt). |
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Das Hauptachsensystem spielt eine
große Rolle in der Elastizitätstheorie; seine Bestimmung für
ein gegebenes Problem ist immer der entscheidende Schritt zur Lösung des
Problems |
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Tensoren führen also den Begriff
des Vektors weiter; sie verallgemeinern Beziehungen zwischen (physikalischen)
Größen. |
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Wir haben jetzt skalare Größen - die Angabe einer Zahl an jeder Koordinate (x,y,z)
genügt, um die betrachtete skalare
Eigenschaft vollständig zu beschreiben. Ein Beispiel ist die
Temperatur. Die Angabe einer Zahl an jedem Punkt bildet dann ein Skalarfeld. |
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Vektoren
benötigen drei Zahlen; Beispiele sind
die Geschwindigkeit oder die elektrische Feldstärke. Wir ordnen jedem
Punkt des Raums einen Vektor, einen "Pfeil" zu und erhalten
Vektorfelder. Die Maxwell Gleichungen sind Angaben über die Beziehung
dieser Vektorfelder (sowie des Skalarfelds der Ladung) und ihrer zeitlichen
Änderungen. |
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Tensoren
benötigen neun Zahlen an jeder
Koordinate; wir erhalten ein Tensorfeld. |
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Da die Rechenregeln für diese
mathematischen Gebilde viele Gemeinsamkeiten haben, faßt man alle diese
Systeme zusammen unter dem Oberbegriff "Tensoren
der x-ten Stufe", mit x = 0 für Skalare, x = 1
für Vektoren und x = 2 für "gewöhnliche"
Tensoren. |
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Ein Verdacht regt sich. Wo hört das auf? |
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Die Antwort: In der Mathematik - Nimmermehr! In Physik und Materialwissenschaft zur
Zeit bei Tensoren der 4. Stufe. Einige derartige Tensoren der 4.
Stufe haben wir (unwissentlich) schon kennen gelernt. Schaun' mer mal. |
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Der Elastizitätsmodul
war
definiert als E = ds/de, oder, falls die Dehnung (wie wir immer
voraussetzen) der Spannung proportional ist, E = s/e. |
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Wir wissen jetzt aber, daß
s und e
Tensoren 2. Stufe sind. Falls wir den E-Modul E als Tensor 0.
Stufe, d.h. als Skalar auffassen, ist die in e enthaltene Richtung der Dehnung immer dieselbe wie
die in s enthalten Richtung der
Kraftkomponente. Das muß selbstverständlich nicht so sein. |
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In einem elastisch stark anisotropem Medium, das
beipielsweise nur in einer einzigen Richtung leicht dehnbar ist (ein
hexagonaler Einkristall?), wird der Hauptanteil der Dehnung immer in der
"leichten" Richtung zu finden sein - auch wenn wir schräg dazu
ziehen! |
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Wir schreiben also s = E · e, aber lassen zu, daß jede Komponente des Tensors
s von jeder Komponente des Tensors
e abhängen kann. Der
Elastizitätsmodul E
muß damit ein Tensor höherer, nämlich 4.Ordnung werden.
Ausgeschrieben sieht das so aus (mit c statt E weil
sich das so eingebürgert hat): |
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Es wird schnell langweilig, wir
schreiben deshalb einfacher in Matrixnotation und mit der Konvention, dass über gleiche Indizes
automatisch summiert wird |
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Wir haben also 81 Komponenten
cijkl des Tensors 4. Stufe, den wir als simplen
E-Modul kennen lernten. Um Verwechslungen auszuschließen,
werden sie mit c abgekürzt und heißen
elastische Koeffizienten. |
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Glücklicherweise haben Kristalle
immer noch gewisse Symmetrien - selbst das trikline Gitter. Bei einem kubischen
Kristall zum Beispiel, darf es auch für Probleme der
Elastizitätstheorie keinen Unterschied machen, ob ich das
Koordinatensystem um 90o drehe. |
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Spielt man das für die 14
Bravaisgitter durch, läßt sich die Anzahl der unabhängigen
elastischen Koeffizienten reduzieren. Was bleibt sind
- Maximal 21 unabhängige Koeffizienten für trikline Kristalle
- Minimal 2 unabhängige Koeffizienten für kubische Kristalle (und für vollständig
isotrope amorphe oder feinkristalline Stoffe).
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Deswegen reichten uns zwei unabhänge
elastische Moduln für isotrope Systeme, wie wir in dem
vorangehenden Kapiteln auch
immer betont (aber nicht
begründet) haben. |
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Selbstverständlich gilt das auch
für die anderen elastischen Moduln. |
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Allgemeine Gleichungen der
Elastizitätstheorie sind also Tensorgleichungen mit Tensoren 4.
Stufe - hier wird deutlich, warum Elastizitätstheorie
viel komplexer sein kann als z.B. die
Elektrodynamik mit den "simplen" Vektorgleichungen von Maxwell. |
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Nicht zufällig sind sich die allgemeine Relativitätstheorie und die
Elastizitätstheorie mathematisch ähnlich - erstere behandelt, wenn
man so will, die Verformung des Raums an sich unter dem Einfluß von
Massen. |
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Die implizit aber schon
ausgesprochene gute Nachricht ist aber:
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Meist reichen 2 elastische Koeffizienten,
die wir dann auch in geeigneter Kombination elastische
Moduln nennen, denn damit kann man alle kubischen Kristalle, alle
Polykristalle (in denen sich die Anisotropien der Körner wegmitteln) und
viele amorphe Materialien vollständig erfassen. |
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Wir wollen jetzt nicht mehr weiter in die
Elastizitätstheorie eindringen - wir haben alle grundlegenden Begriffe um
jetzt reale Materialien betrachten zu können - unter Einschluß der
plastischen Verformung und des Bruchs. |
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Vorher aber schauen
wir uns die im vorhergehenden
Kapitel besprochenen speziellen Spannungszustände im Lichte des
Spannungstensors noch einmal an. Hier sind die entsprechenden Zeichnungen; der
jeweilige Spannungstensor ist angegeben. |
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© H. Föll (MaWi 1 Skript)
