3.2.1 Richtungen und Ebenen im Gitter

3.2. Richtungen und Ebenen im Gitter

3.2.1 Definitionen und Anwendungen

Mathematische Beschreibung von Richtungen

Wir brauchen eine Notation, die uns erlaubt, bestimmte Richtungen und Ebenen in einem beliebigen Gitter eindeutig anzusprechen, d.h. eine mathematische Formulierungen für Aussagen wie "entlang der Flächendiagonalen" oder "auf der Würfelebene".

Man könnte mehrere Arten von Rezepten angeben, mit denen man eine Richtung (d.h. einen Vektor) oder eine Ebene in einem Gitter eindeutig indizieren kann. Es gibt aber ein besonderes System, die sogenannten Miller Indizes, die zwar vielleicht nicht sofort einleuchten, mit denen man aber (später) sehr bequem rechnen kann.

Wir betrachten zunächst die Miller Indizierung für Richtungen:

Definition (und Rezept)
Eine Richtung in einem Gitter wird durch drei ganze Zahlen indiziert, indem
Der Ursprung der EZ auf die gewünschte Richtung gelegt wird, Ein Vektor in der gewünschten Richtung in kleinstmöglichen ganzzahligen Komponenten der Basisvektoren ausgedrückt wird Auftauchende negative Zahlen durch einen Überstrich darstellt werden (in html nicht leicht darstellbar, wir schreiben stattdessen mit dem Minus ("–") oder Strich (" ' ") Zeichen) und Das erhaltene Zahlentripel uvw in eckige Klammern [uvw] gesetzt wird wenn es sich um eine spezifische Richtung handelt, und in spitze Klammern <uvw>, wenn die Gesamtheit aller kristallographisch gleichwertigen Richtungen gemeint ist.

In dem unten gezeigten zweidimensionalen Gitter erhalten die Richtungen 1 - 5 damit folgende Miller Indizierung


Richtung 1	[1, –1]	=	[1 1']

Richtung 2	[1, –1/3]	=	[3 1']

Richtung 4	[–1, 1]	=	[1' 1]

Richtung 5	[1, 0]

Richtung 6	[–1, –1]	=	[1' 1']

Ausgesprochen wird z.B. die <110>-Richtung nicht als "einhundertzehn Richtung", sondern als "eins, eins, null Richtung" oder noch genauer als: "eins, eins, null Richtungstyp".

Man kann das Zahlentripel <uvw> in einer der spezifichen Ausprägungen z.B. [uv'w] natürlich auch als Vektor auffassen, der in die gewünschte Richtung zeigt. Wir haben dann einen simplen Translationsvektor des Gitters, dessen Betrag allerdigs keine relevante Information enthält (die haben wir durch das Kürzen auf kleinstmögliche Zahlen "beseitigt"). Bei Ebenen wird das aber anders sein.

Damit ist die Systematik bei spezifischen Richtungen klar. Wir müssen nur noch die Bedeutung der "Gesamtheit aller kristallographisch gleichwertigen Richtungen" klären, d.h. wann wir <...> Klammern verwenden

Wir schauen uns das in einem dreidimensionalen kubischen Gitter an und lernen dabei gleich die Indizierung der wichtigsten Richtungen (die man "auswendig" kennen muß) im kubischen Gitter kennen

Anschließend eine kleine Übungsaufgabe

Übung 3.2 -1
Richtungen im Gitter

Was kristallographisch gleichwertig ist, hängt vom Gittertyp ab!

Im kubischen Gitter sind alle möglichen Permutationen (inkl. Negation) der Indizes immer gleichwertig; aber schon im hexagonalen Gitter gilt das nicht mehr.

Andererseits sind gerade im hexagonalen Gitter Richtungen kristallographisch gleichwertig, die verschiedene Miller-Indizes haben. Die in der Basisebene liegenden Richtungen, die zu den Ecken des gleichseitigen Sechseckes zeigen, das die Basisebene definiert, haben Indizes wie z.B. [110], [100], [010], d.h. die Miller Indizes sind nicht Permutationen einer allgemeinen Richtung wie z.B. <100>. Für Ebenen (siehe unten) ist es ähnlich.

Wer das nicht versteht, hat die Übungsaufgabe nicht gemacht! Das sollte man her unbedingt tun, und sei es nur, dass man sich Aufgabe und Lösung anschaut.

Man hat deshalb für das hexagonale Gitter (das in der Praxis sehr wichtig ist), eine eigene Abart der Miller-Indizes erfunden, die auch in diesem Fall die vorhandenen Symmetrien direkt aufzeigt: Man nimmt einfach zu den Basisvektoren a₁, a₂ und c noch einen weiteren (an sich unnötigen) "Basisvektor" dazu, der als a₃ = – (a₁ + a₂) definiert wird (damit ist a₃ mathematisch gesehen natürlich kein Basisvektor, da nicht linear unabhängig!), und indiziert dann mit 4 Indizes.

Aus den oben aufgezählten Richtungen wird dann [1,1,2',0], [2,1',1',0], [1',2,1',0]; die Symmetrie in den Indizes wird sichtbar.

Wir wollen uns damit aber nicht weiter befassen (außer, dass wir noch eine Übung machen); alles Wissenswerte zur Vierer-Indizierung bei hexagonalen Gittern findet sich im Link

Übung 3.2 -4
Richtungen im hexagonalem Gitter

Mathematische Beschreibung von Ebenen im Gitter

Wir brauchen jetzt eine Notation, die uns erlaubt bestimmte Ebenen in einem beliebigen Gitter eindeutig anzusprechen, zum Beispiel die "Würfelseite" bei einem kubischen Gitter, oder die "Basisebene" bei einem hexagonalen Gitter.

Man könnte sich zunächst denken, daß man dafür das Zahlentripel nehmen könnte (evtl. auf kleinste ganze Zahlen reduziert), das sich aus den Schnittpunkten einer Ebene mit den Basisvektoren des Gitters ergibt - wie bei den Richtungen

Könnte man auch, aber es gibt nicht immer einen Schnittpunkt. Die Würfelseite eines kubischen Gitters schneidet immer nur einen der Basisvektoren; zu den anderen liegt sie parallel (bzw. enthält sie).

Deshalb, aber auch aufgrund anderer Vorzüge die wir noch kennenlernen werden, wählt man eine zunächst etwas umständlich erscheinende Definition:

Definition (und Rezept)
Eine Ebene in einem Gitter wird durch drei ganze Zahlen indiziert, indem man
Den Ursprung der EZ nicht in die zu indizierende Ebene legt, sondern in eine Nachbarebene. Die Schnittpunkte der Ebene mit den Basisvektoren bestimmt (wenn kein Schnittpunkt vorhanden ist, entspricht das "¥"). Das erhaltene Zahlentripel reziprok darstellt, und die resultierenden Brüche durch Erweitern ganzzahlig macht; aus ¥ wird dadurch 0. Nicht erlaubt ist Kürzen, falls die reziproken Zahlen keine Brüche sind (Aus den Schnittpunkten 1/2, 1/2, 1/2 erhält man 2, 2, 2 und nicht 1, 1, 1). Auftauchende negative Zahlen durch einen Überstrich darstellt (in html nicht darstellbar, wir schreiben stattdessen mit '- Zeichen) Das Zahlentripel hkl in *runde* Klammern (hkl) setzt, falls es sich um eine spezifische Ebene handelt, und in geschweifte Klammern {hkl}, falls die Gesamtheit aller kristallographisch gleichwertigen Ebenen mit denselben Indizes gemeint ist.

Dazu drei Beispiele, die absichtlich etwas unklar gezeichnet sind, um nicht sofort falsche Assoziationen hervorzurufen.

Insbesondere ist es wichtig sich klarzumachen, daß mathematische Ebenen in einem mathematischen Gitter ¥ ausgedehnt sind. Die Begrenzungslinien sind also immer nur zeichentechnisch bedingt.

	Kubisches Gitter Schnittpunkte bei 1, 1, ¥ Indizes (110)
	Kubisches Gitter Schnittpunkte bei ¥, 1, ¥ Indizes (010)
	Triklines Gitter Schnittpunkte bei 1, 1, 1 Indizes (111)

Wichtig ist: Alle Ebenen die man in gleicher Weise in eine EZ einzeichnet, haben die gleiche Indizierung.

Das Kürzel (112) bezeichnet also nicht eine Ebene, sondern einen Satz von ¥ viele parallel laufende Ebenen; {112} entsprechend mehrere Sätze ¥ vieler, ¥ ausgedehnter, parallel laufender Ebenen.

Das Kürzel (hkl) kann man aber auch als die Komponenten eines Vektors auffassen, der dann per Definitionem senkrecht auf der Ebene steht, die er charakterisiert. Der Betrag dieses Vektors - nennen wir ihn mal reziproken Gittervektor - hat denn eine wichtige Bedeutung; wie wir weiter unten noch lernen werden.

Eigentlich ist damit alles gesagt; vielleicht ist noch der Hinweis hilfreich, daß man bei hexagonalen Gittern natürlich auch bei den Ebenen eine Vierer-Indizierung wie bei den Richtungen einführt.

Erfahrungsgemäß wird der Anfänger (und nicht selten auch der Experte) beim Arbeiten mit den Miller Indizes von Ebenen aber Probleme haben und Fehler machen. Deshalb hier noch einige Bemerkungen.

Eine gewisse Konfusion kann entstehen, weil es in der Kristallographie eigentlich zwei Konzepte von Ebenen gibt:

Die mathematische Definition von oben, bezogen auf mathematische Ebenen im mathematischen Gitter.
Die gegenständliche Definition, in der Kristalle als Stapelfolgen von einer Ebene zugeordneten Atomen oder Atomgruppen betrachtet werden.

Man redet im ersteren Falle auch von Netzebenen, im letzteren Fall von Kristallebenen. Die {111} - Kristallebene in einem Diamantgitter enthält dann beide Atome der Basis; mindesten eines davon liegt dabei nicht auf der Netzebene. Das ist ein wichtiger Unterschied, den man sich klarmachen sollte; hier ein Bild dazu für die Diamantstruktur.

Die gelb gezeichnete {100} Kristallebene enthält den ganzen Satz von Atomen, die schattiert gezeichnet sind. Aufeinanderstapeln solcher Kristallebenen produziert den Kristall.

Ähnlich ist es, wenn man eine mathematisch definierte Ebene in einen Kristall, und nicht in ein Gitter einzeichnen will. Im Si-Kristall kann man beispielsweise eine {100} Ebene auf zwei Weisen durch Atome legen (oben z.B durch die blauen oder roten Atome); sie erscheint damit als nicht eindeutig definiert.

Hat man obige Punkte nicht ganz sauber verstanden, wird man leicht falsche Zahlen generieren, wenn man z.B. die Zahl von Atomen pro cm² auf einer Ebenen ausrechnet, denn jetzt muß man die Ebene im Gitter mit dem Kristall, d.h. auch mit der Basis kombinieren.

Triviale, aber immer wieder gerne gemachte Fehler sind:

1. Als allgemeine Ebene nur eine Ebene zu sehen und nicht die Gesamtheit aller äquivalenten Ebenen - die Ebenenschar

2. Zu glauben, daß z.B. die {200} Ebenen nur die Ebenen sind, die zwischen den {100} Ebenen stecken. Hier kommt obige Bemerkung zum Tragen, daß nicht gekürzt werden darf. Die {200}-Ebenen sind etwas anderes als die {100}-Ebenen! Das ist hier illustriert:

3. Man hat immer die Tendenz, Beziehungen, Regeln und Vorstellungen, die von kubischen Gittern geprägt worden sind, kritiklos auf nichtkubische Systeme zu übertragen. Das kann sehr falsch werden! Zum Beispiel sind in nichtkubischen Kristallen nicht alle Ebenen zu den möglichen Indizespermutationen kristallographisch gleichwertig. Für Richtungen im hexagonalem Gitter haben wir das schon gesehen (siehe das hexagonal Gitter von oben); für Ebenen ist es nicht anders.

4. Nochmals: Vorsicht ist auch geboten, selbst bei kubischen Kristallen, wenn man nicht die mathematische Netzebene, sondern die mit Atomen belegte Kristallebene betrachtet. Wenn man die (111) Ebene oder die (1'1'1') Ebene in z.B. GaAs oder SiC betrachtet, sieht man einen großen Unterschied: Auf der einen Ebene sitzen Ga- oder Si- Atome, auf der anderen As- bzw. C-Atome. Dies sieht nicht nur anders aus, sondern führt oft zu dramatischen Unterschieden der Eigenschaften. Bei der Züchtung von SiC Kristallen erhält man völlig verschiedene Strukturen, wenn man einen Kristall auf der (111)- oder (1'1'1')-Ebene eines Keimlings wachsen läßt (vereinfacht gesagt wird das SiC in einem Fall kubisch, im anderen hexagonal - bei immer kubischem Keimling!).

Offensichtlich muß hier geübt werden!

Übung 3.2-2
Ebenen im Gitter und im Kristall

Rechnen mit Miller Indizes

Wir können bereits einige Vorteile (aber noch längst nicht alle) der auf den ersten Blick etwas seltsamen Miller Indizes ableiten und verwenden. Im folgenden sind sie für kubische Gitter nur postuliert und aufgelistet; die Ableitungen und Beweise sind in die Übung 3.2-3 verlegt.

1. Kristallographisch äquivalente Richtungen und Ebenen haben immer den gleichen Satz an Miller Indizes.

2. Die Richtung [hkl] steht immer senkrecht auf der Ebene (hkl).

3. Die Abstände d_hkl zwischen zwei benachbarten Ebenen sind direkt aus den Indizes berechenbar. Die Formeln für nichtkubische Gittersysteme können etwas kompliziert sein, aber im kubischen Gittersystem gilt ganz einfach:

d_hkl =	a (h² + k² + l²)^1/2

Im Zähler steht offensichtlich der Betrag des weite oben kurz angesprochenen reziproken Gittervektors mit den Komponenten (hkl)! Damit ist auch schon hinreichend klar, warum die gewählte "reziproke" Definition der Miller Indizes für Ebenen sehr vorteilhaft ist.

In der "Einführung in die Materialwissenschaft II" werden wir sehen, daß die Miller Indizes noch weiterführen. Zum Beispiel treten sie direkt in den Formeln auf, die die Beugung von Wellen, z.B. Röntgenstrahlen, in Kristallen beschreiben.

Aber zunächst wollen wir die obigen Beziehungen einüben

Übung 3.2-3
Beziehungen und Rechnungen mit Miller Indices

Fragebogen
Multiple Choice Fragen zu 3.2.1