6.7 Zusammenfassungen zu Kapitel 6

6.7.1 Merkpunkte zu Kapitel 6: Dielektrika und Optik

Spannung und Strom sind aus Materialsicht bedeutungslos, was zählt ist Feldstärke E und Stromdichte j.  
Feldstärke und Stromdichte
In Dielektrika = Isolatoren fällt die Spannung ab. Das Dielektrikum wird durch das elektrische Feld polarisiert.  
Dielektrika werden gebraucht für.
  • Generelle Isolierung - von nm dicken "Gateoxiden" in IC's zu cm dicken Hochspannungsisolatoren.
  • Kondensatoren - nicht nur als Bauelemetne sodern auch in unerwünschten parasitären Kapazitäten.
  • Kritischer Teil von MOS Transistoren.
  • Wärmen mit Mikrowellen
  • Als Piezomaterialien und Elektrete für viele Anwenungen.
  • Als optische Materialien ("Linse" bis Glasfaser und Laser).
 
Der Brechungsindex n als bestimmende Kenngröße der Optik ist direkt mit der (relativen) Dielektrizitätskonstanten er verknüpft.  
n2  =  er
Der DC-Wert der Dielektrizitäts"konstanten" für Wasser ist er(H2O) » 80; der Brechungsindex von Wasser ist n(H2O) » 1,3. Der größtmögliche Brechungsindex liegt um nmax » 2,4 (Diamant).  
Þ er = er(w).
Die Dielektrizitäts"konstante" ist frequenzabhängig und wird tendenziell mit wachsender Frequenz kleiner.
 
     
Es sind drei Fragen zu beantworten  
  1. Was bestmmt die kritische Feldstärke Ekrit eines Dielektrikums?
  2. Was bestimmt er, die "DK"
  3. Warum und wie ist die DK frequenzabhängig?
Nicht einfach.  
Aber machbar.  
         
In Bezug auf elektrischen Durchbruch gilt der 1. Hauptsatz der Materialwisseschaft!  
Material Durchbruchfeldstärke
[kV/cm]
Öl 200
Glas, Keramiken (Porzellan) 200...400
Glimmer (früher viel verwendet) 200...700
Ölpapier 1800
Polymere 50...900
SiO2 in ICs > 10 000
Es gibt einige feldstärkeabhängige Mechanismen, die sofort oder im Laufe der Zeit zum Durchbruch führen können:  
  • Thermischer Durchschlag.
  • Lawinendurchbruch.
  • Lokale Entladungen.
  • Elektrolytischer Durchschlag
 
Die maximale Durchbruchfeldstärke (in sehr dünnem (d < 10 nm) und sehr perfektem (amorphem) SiO2) liegt bei ca. 15 MV/cm.  
"Normale" Materialien halten deutlich weniger aus.  
     
Ideale Dielektrika sind perfekte Isolatoren charakterisiert durch ihre DK er oder durch die Suszeptibilität c  
Sinnvolles
Materialgesetz
P   =  e0 · c · E
Sinnvolle neue
Materialkonstante
c   =  dielektrische
Suszeptibiltät
Alte
Materialkonstante
(DK oder Permittivität)
er    =  c + 1
Beziehung
D Û P
D  =  e0 · E  +  P
Die DK oder die Suszeptibilität eines Dielektrikums folgt aus seiner Polarisation.  
Die Beziehung zwischen Feld E und Polarisation P ist aus Materialsicht sinnvoller als die Beziehung zwischen Feld und Verschiebungsdichte D  
Umrechnungen sind einfach Þ  
         
Reale Dielektrika haben eine endliche Leifähigkeit  
Ersatzschaltbild Dielektrikum
j(w)  =  w · e'' · E(w)   +  i · w · e' · E(w)
Das läßt sich am einfachsten wie gezeigt beschreiben. Der insgesamt fließende Wechselstrom wird durch eine komplexe dielektrische Funktion e(w) erfaßt Þ  
Der Realteil e' beschreibt den um 90o phasenverschobenen Teil der Stromdichte j(w) und der Imaginärteil e'' den Teil, der in Phase fließt.  
Damit sind Wirk- und Blindleistung proportional zu e'' bzw. e'.  
Dies gilt unabhängig davon von welchem Effekt der Imaginärteil resultiert.  
   
Ein externes elektrisches Feld wird in einem Dielektrikum immer Dipole induzieren und zusätzlich die eventuell vorhandenen Dipole verändern.  
m  =  q · x
Sign of dipole moment
Die Polarisation eines Dielektrikum ist die Vektorsumme der enthaltene Dipolmomente per Volumen  
Ein Dipolmoment ist definiert wie gezeigt Þ  
       
Viele Materialien enthalten Dipomomente (z. B. Ionenkristalle Oxide, Wasser, ...) andere (Edelgas, dielektrische Elementkristalle) sind neutral  
Dipolmomente im Material
Im ersten Fall addieren sich die vorhandenen Moment ohne Feld i.d.R. zu P = 0 C/cm2; mit Feld wird die Ausrichtung so geändert, dass P ¹ 0 C/cm2 resultiert.  
         
Es gibt neben der mathematisch schwer greifbaren Grenzflächenpolarisation drei wesentliche Polarisationsmechanismen.  

  1. Atom- oder Elektronenpolarisation
  2. Ionenpolarisation
  3. Orientierungspolarisation

Orientierungspolarisation
Im 1. Fall wird die durch das Feld die Elektronenhülle relativ zum Atomkern verschoben und dadurch ein Dipolmoment induziert.
  • Sehr schwacher Effekt bei kugelförmigen Atomen (Beispiel Edelgase; auch als Kristall); er = 1,00...)
  • Starker Effekt bei gerichteten kovalenten Bindungen (Beispiel typische Halbleiter Si, Ge, GaAs, ...); er = 10 - 20.
 
Die Ionenpolarisation ist in allen Ionenkristallen und polaren Bindungen (Oxide, Keramiken) vorhanden. Mittel bis sehr stark.  
Orientierungspolarisation kommt nur bei Flüssigkeiten vor, da die (Molekül-)Dipole sich drehen können müssen. Recht stark: er(H2O) = 80.  
         
In allen Fällen ist die Polarisation proportional zum Feld.  
P   =  e0 · c · E
Damit ist die Grundgleichung "bewiesen"; die Suszeptibität c kann berechnet werden.
       
Frequenzabhängigkeit der Polarsation. Uns interssieren Frequenzen bis in Ultraviolette - d. h. jenseits 1015 Hz  
Eout   =  e(w) · Ein
DK messen
Die Grundbeziehung ist Þ  
Wie Eingang und Ausgang aussieht, hängt von der Frequenz ab.  
Bei optischen Frequenzen wird man z. B. Licht durch eine Linse schicken, bei RF reicht es, einen Kondensator zu vermessen.  
       
Es gibt nur zwei grundlegende Mechanismen, die die Frequenzabhängigkeit der DK bestimmen:
 
  1. Resonanz
  2. Relaxation
Elektronenpolarisation und ionische Polarisation zeigen Resonanz, die Orientierungspolarisation zeigt Relaxation.  
         
Resonanz erhält man beim getriebenen gedämpften Schwinger.  
m · d2x
dt2
 +  mkR · d x
d t
 +  kF · x   =  q · E0 · cos(wt)
Die Lösungen kann man als Amplitude und Phase oder als Real- und Imaginärteil einer komplexen Amplitude darstellen.  
Die Amplitude bestimmt das elektrische Dipolmoment, da in beiden Resonanzmechanismen die Ladungen gegeneinander schwingen.  
         
Die Lösungen der Differentialgleichung kann man für Amplitude und Phase angeben (unten) oder für Real- und Imaginärteil (rechts). Wir nehmen natürlich die komplexe Variante!  
Resonanz in komplexer Darstellung
   
Resonanz
 
       
Damit ist der Verlauf der komplexen DK im Bereich der Resonanzen grundsätzlich skizziert.  
     
In allen Materialien muss die Resonanz stets stark gedämpft sein, da die die Energie eines heftig schwingenden Dipols sofort auf Nachbarn dissipiert wird.  
       
Die Resonanzfrequenz w0 ist gegeben durch Þ  
w0  =  æ
ç
è
kF
m 
ö
÷
ø
1/2
In der Federkonstante der ionischen Polarisation steckt der E-Modul. Es schwingen "schwere" Atome, und wir wissen schon, dass
w0 » 1013
 
Bei der Atom- oder Elektronenpolarisation schwingen leichte Elektronen, daher
w0 » 1015
d.h. die Resonanz liegt im optischen Bereich.
 
         
Die Relaxation, d.h. allmähliche Rückkehr aus dem etwas orientierten Zustand nach Abschalten des Felds in den völlig ungeordneten Zustand, wird beschrieben durch Þ    
Dipolrelaxation
Aus der Grundgleichung in der Zeit  
   
P(t)   =   P0 · exp ( t
t
)
 
   
folgt durch Fourier-Transformation die Grundgleichung in der Frequenz.
Der Graph dazu sieht so aus Þ
 
Relaxation
Der Wert der typischen Relaxationszeitkonstanten t liegt im Bereich 1/t » 10 GHz  
Insbesondere der Imaginärteil erklärt die Funktionsweise der "Mikrowelle"  
       
Optik und Dielektrika. Licht fällt auf ein (dielektrisches) Material  
Optik
"Input" Größen sind die Frequenz (Größenordnung 5 · 1014 Hz), die Intensität I0, der Einfallswinkel und die Polarisationsebene.  
Alles was passieren kann ist:
  1. Brechung, d. h. Eindringen in das Material mit Intensität IM unter dem Winkel b
  2. Reflexion mit Intensität R = I0IM.
  3. Absorption mit IM(z) = IM(z = 0) · exp(–z/a); 1/a ist die Absorptionslänge
 
       
Die dielektrische Funktion des Materials enthält die die gesamte notwendige Information  

(n + ik)2  =  e' – i · e''


Blindleistung:   LB   =  w · e' · E2 
Wirkleistung:   LW   =  w · e'' · E2 

Dazu führt man einen komplexen Brechungsindex ein Þ  
Im Realteil n steckt die Information zu den Punkten 1 und 2.  
Im Imaginärteil k steckt die Information über die Absorption.  
         
Optik ist damit zurückgeführt auf die Polarisation von Dielektrika bei hohen Frequenzen.  
Þ In der (komplexen) dielektrischen Funktion eines Materials stecken alle elektrischen und optischen Eigenschaften des Materials.  

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)