Lösung zur Übung 5.3-1

Eigenschaften der Fermiverteilung

1. Zeige, daß das Aufweichungsintervall der Fermieverteilung in etwa den Wert 4kT hat.
Die Ableitung der Fermieverteilung nach der Quotientenregel ergibt unmittelbar
df(E, T)
dE
  =  – 1
kT
exp(..)
{exp(..) + 1}2
Für E = EF wird der Exponent = 1 und wir bekommen
 
df(E = EF, T)
dE 
  =  – 1
4kT
Ersetzen wir die Fermiverteilung um EF durch eine Gerade mit der Steigung –(1/4kT), definiert sie gerade ein Aufweichungsintervall von 4kT wie unten gezeigt.
Aufweichungszone der Fermiverteilung
 
2. Zeige, daß für E >> EF die Boltzmannnäherung gilt.
Für E >> EF und (EEF) >> kT steht im Exponent eine Zahl >> 1
Damit ist exp(EEF)/kT  >>  1 und die +1 im Nenner kann vernachlässigt werden. Man erhält
f(E >> EF, T)   »  1  
exp(E – EF)/kT
  =   exp– (E – EF)/kT
Das ist die Boltzmannverteilung!
Für welchen Wert E - EF ist die Abweichung der Boltzmann-Näherung von der exakten Formel im Bereich < 10 %? Was folgt daraus?
Mit E - EF = DE haben wir.
exp– DE/kT
 =  1.1  =  1 + exp– DE/kT
    1  
expDE/kT + 1 
       
Man erhält sofort
DE  ³  2.3 kT
Sobald man also energetisch einige kT oberhalb der Fermienergie "sitzt", ist die Boltzmann-Näherung völlig OK.
     

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)