Lösungen zur Übung 4.2-2:

Anwendung des 2. Fickschen Gesetzes

Zeige, dass der folgende Ausdruck die Lösung des Diffusionproblems: Eindiffusion von außen; "unendliche Quelle ist
n(x, t)  =  (n¥  –  n0) · æ
ç
è
1 – erf æ
ç
è
x
2(D · t)1/2
ö
÷
ø
ö
÷
ø
 + n0
Der Ausdruck "erf " steht dabei für "Errorfunction" oder Gaußsche Fehlerfunktion; eine tabellierte Funktion mit folgender Definition:
erf (x) = 2
p1/2
 ·   x
ó
õ
0
exp – x' 2   · dx'

Erstmal definieren wir das Problem etwas schärfer und allgemeiner:
Wir betrachten n(x, t), d. h. wir werden das 2. Ficksche Gesetz benötigen:
n
t
 =  D · æ
ç
è
2n
x2
 +   2n
y2
 +   2n
z2 
ö
÷
ø
 =  D · Dn
In n¥ und n0 "verstecken" sich die Randbedingungen. Offenbar (nachdenken!) ist ihre Bedeutung wie folgt:
  • n0 = n(x, t = 0); d.h. es beschreibt die örtlich konstante As-Grundkonzentration im Si zu Beginn der Diffuison (muss ja nicht unbedingt = 0 sein).
  • n¥ = n(x = , t); d.h. es beschreibt die As-Konzentration auf der Oberfläche zu allen Zeiten. Da es konstant ist, haben wir eine unerschöpfliche Quelle.
Damit ist alles klar, die Lösung erhalten wir wie folgt:

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© H. Föll (MaWi für ET&IT - Script)